\(\S1.\) XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Bài tập

Dạng 1. Lí thuyết về công thức tính xác xuất có điều kiện

Dạng 2. Tính xác suất bằng sơ đồ cây

Dạng 3. Tính xác suất có điều kiện

Dạng 1. Lí thuyết về công thức tính xác xuất có điều kiện

Câu 1:

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P(A)=0{,}3\); \(P(B)=0{,}5\) và \(P(A \mid B)=0{,}4\). Tính \(P(\overline{A} B)\) và \(P(\overline{A} \mid B)\).

Image

Theo công thức nhân xác suất, ta có \(P(A B)=P(B) \cdot P(A \mid B)=0{,}2\).

Vì \(\overline{A} B\) và \(A B\) là hai biến cố xung khắc và \(\overline{A} B \cup A B=B\) nên theo tính chất của xác suất, ta có \(P(\overline{A} B)=P(B)-P(A B)=0{,}3\).

Theo công thức tính xác suất có điều kiện,

\(P(\overline{A} \mid B)=\displaystyle\frac{P(\overline{A} B)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6.\)

Câu 2:

Cho hai biến độc lập \(A,B\) với \(\mathrm{P}(A)=0{,}8\), \(\mathrm{P}(B)=0{,}25\). Tính \(\mathrm{P}(A\mid B)\).

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, do đó

\[\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A)\cdot\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(B)}=\mathrm{P}(A)=0{,}8.\]

Câu 3:

Cho \(P(A)=0{,}2;P(B)=0{,}51;P(B\mid A)=0{,}8\). Tính \(P(A\mid B)\).

Ta có

\(P(AB)=P(A) \cdot P(B \mid A)=0{,}2\cdot 0{,}8=0{,}16\).

\(P(AB)=P(B) \cdot P(A \mid B) \Rightarrow P(A \mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0{,}16}{0{,}51}\approx 0{,}314\).

Câu 4:

Cho hai biến cố \(A\), \(B\) có \(\mathrm{P}(A)=0{,}6\); \(\mathrm{P}(B)=0{,}8\); \(\mathrm{P}(A\cap B)=0{,}4\). Tính các xác suất sau:

a) \(\mathrm{P}(B\mid A)\); \(\mathrm{P}(\overline{B}\mid A)\).

b) \(\mathrm{P}(A \cap \overline{B})\).

a) \(\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\displaystyle\frac{0{,}4}{0{,}6}=\displaystyle\frac{2}{3}

\Rightarrow \mathrm{P}(\overline{B}\mid A)=1-\mathrm{P}(B\mid A) = 1 -\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\(.

b) \(\mathrm{P}(A \cap \overline{B})=\mathrm{P}\left(\overline{B}\mid A\right)\cdot\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 0{,}6=0{,}2.\)

Câu 5:

Cho hai biến cố \(A\), \(B\) có \(P(A)=0{,}4\); \(P(B)=0,6\); \(P(A\cap B)=0,2\). Tính các xác suất sau: \(P(A|B)\); \(P(B|A)\).

\(P(A|B)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0,2}{0,6}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

\(P(B|A)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\displaystyle\frac{0,2}{0,4}=0,5\).

Câu 6:

Chứng tỏ rằng nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì

\(P(\overline{A} \mid B)=P(\overline{A})~\text{và}~P(A \mid\overline{B})=P(A) \text{. }\)

Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì \(\overline{A}\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.

Do đó, việc xảy ra \(B\) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(\overline{A}\).

Suy ra \(P(\overline{A} \mid B)=P(\overline{A})\).

Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì \(A\) và \(\overline{B}\) là hai biến cố độc lập.

Do đó, việc xảy ra \(\overline{B}\) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(A\).

Suy ra \(P(A \mid\overline{B})=P(A)\).

Câu 7:

Từ công thức tính \(P(A\mid B)\) ở trên, chứng minh rằng nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với \(P(A)>0\), \(P(B)>0\) thì \(P(A\mid B)=P(A)\) và \(P(B\mid A)=P(B)\).

Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\).

Vậy với \(P(A)>0,P(B)>0\) ta có

\(\begin{aligned}&P(A \mid B)=\displaystyle\frac{P(A B)}{P(B)}=\displaystyle\frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}=P(A);\\ &P(B \mid A)=\displaystyle\frac{P(B A)}{P(A)}=\displaystyle\frac{P(B) \cdot P(A)}{P(A)}=P(B).\end{aligned}\)

Câu 8:

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện và định nghĩa về tính độc lập của hai biến cố, hãy chứng tỏ rằng nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì \(P(A\mid B)=P(A)\) và \(P(B\mid A)=P(B)\).

Theo định nghĩa, \(P(A\mid B)\) là xác suất của \(A\), tính trong điều kiện biết rằng biến cố \(B\) đã xảy ra.\\ Vì \(A\), \(B\) độc lập nên việc xảy ra \(B\) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(A\).

Do đó:

\(P(A \mid B)=P(A)\).

Tương tự \(P(B\mid A)\) là xác suất của \(B\), tính trong điều kiện biết rằng biến cố \(A\) đã xảy ra.

Vì \(A\), \(B\) độc lập nên việc xảy ra \(A\) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(B\).

Do đó:

\(P(B \mid A)=P(B)\).

Dạng 2. Tính xác suất bằng sơ đồ cây

Câu 1:

Một hộp có \(8\) bi màu đỏ và \(5\) viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Có \(5\) viên bi trong hộp được đánh số, trong đó có \(3\) viên bi màu đỏ và \(2\) viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để viên bi được lấy ra, có màu đỏ, biết rằng viên bi đó được đánh số.

Xét các biến cố sau:

+) \(A \colon\) Viên bi được lấy ra có màu đỏ.

+) \(B \colon\) Viên bi được lấy ra có đánh số .

Khi đó, xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết ràng viên bi đó được đánh số, chính là xác suất có điều kiện \(P(A\mid B)\).

Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện \(P(A\mid B)\), được vẽ như sau:

Image

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó có đánh số, là \(\displaystyle\frac{3}{5}=0{,}6\).

Câu 2:

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi \(A\) là biến cố: ``An lấy được viên bi trắng''; \(B\) là biến cố: ``Bình lấy được viên bi trắng''.

Tính \(P(A\mid B)\).

Image

Biến cố \(A\mid B\) nghĩa là: An lấy được viên bi trắng sau khi Bình lấy được viên bi trắng.

Do Bình lấy được viên bi trắng nên đến lượt An lấy thì trong hộp có \(29\) viên bi, trong đó có \(19\) viên trắng.

Do đó xác suất cần tính là: \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{19}{29}\).

{\bf Cách 2.}

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp.

Do đó \(n(\Omega)=30\cdot 29\).

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

Do đó \(n(B)=20\cdot 29\) và \(P(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}\).

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Do đó \(n(AB)=20\cdot 19\) và \(P(AB)=\displaystyle\frac{n(AB)}{n(\Omega)}\).

Vậy \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{n(AB)}{n(B)}=\displaystyle\frac{20\cdot 19}{20\cdot 29}=\displaystyle\frac{19}{29}\).

Câu 3:

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi \(A\) là biến cố: ``An lấy được viên bi trắng''; \(B\) là biến cố: ``Bình lấy được viên bi trắng''.

Tính \(P(A\mid\overline{B})\).

Image

Biến cố \(A\mid \overline{B}\) nghĩa là: An lấy được viên bi trắng sau khi Bình lấy được viên bi đen.

Do Bình lấy được viên bi đen nên đến lượt An lấy thì trong hộp có \(29\) viên bi, trong đó có \(20\) viên trắng.

Do đó xác suất cần tính là: \(\mathrm{P}(A\mid \overline{B})=\displaystyle\frac{20}{29}\).

Cách 2.

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp, do đó \(n(\Omega)=30\cdot 29\).

Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

Do đó \(n(\overline{B})=10\cdot 29\) và \(P(\overline{B})=\displaystyle\frac{n(\overline{B})}{n(\Omega)}\).

Bình có 10 cách chọn một viên bi đen, An có 20 cách chọn một viên bi trắng trong 20 viên bi trắng còn lại.

Do đó \(n(A\overline{B})=10\cdot 20\) và \(P(A\overline{B})=\displaystyle\frac{n(A\overline{B})}{n(\Omega)}\).

Vậy \(P(A\mid \overline{B})=\displaystyle\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\displaystyle\frac{n(A\overline{B})}{n(\overline{B})}=\displaystyle\frac{10\cdot 20}{10\cdot 29}=\displaystyle\frac{20}{29}\).

Câu 4:

Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chì có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là \(20 \%\), còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là \(30 \%\). Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là \(0{,}7\).

Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào \mbox{?} ở sơ đồ hình cây sau:

Image

Gọi \(A\) là biến cố Ngày thứ Bảy trời nắng và \(B\) là biến cố Ngày Chủ nhật trời mưa.

Ta có \(P(A)=0{,}7 ; P(B \mid A)=0{,}2 ; P(B \mid \overline{A})=0{,}3\).

Do đó \(P(\overline{A})=1-P(A)=0{,}3 ;\, P(\overline{B} \mid A)=1-P(B \mid A)=0{,}8 ;\, P(\overline{B} \mid \overline{A})=1-P(B \mid \overline{A})=0{,}7\).

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ nhật là

\(P(A B)=P(A) P(B \mid A)=0{,}7\cdot 0{,}2=0{,}14.\)

Tương tự, ta có

\begin{eqnarray*}&&P(A \overline{B})=P(A) P(\overline{B} \mid A)=0{,}7\cdot 0{,}8=0{,}56; \\ &&P(\overline{A} B)=P(\overline{A}) P(B \mid \overline{A})=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09; \\&&P(\overline{A} \overline{B})=P(\overline{A}) P(\overline{B} \mid \overline{A})=0{,}3\cdot0{,}7=0{,}21.\end{eqnarray*}

Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo sơ đồ hình cây như sau:

Image

Câu 5:

Ở một sân bay, người ta sử dụng một loại máy soi tự động phát hiện hàng cấm trong hành lí kí gửi. Máy phát chuông cảnh báo với \(95 \%\) các kiện hành lí có chứa hàng cấm và \(2 \%\) các kiện hành lí không chứa hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là \(1 \%\).

Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

M: Kiện hành lí có chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo ;

N : Kiện hành lí không chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo.

Gọi \(A\) là biến cố Kiện hành lí có chứa hàng cấm và \(B\) là biến cố Máy phát chuông cành báo. Ta có

\(P(B \mid A)=0{,}95 ; P(B \mid \overline{A})=0{,}02 ; P(A)=0{,}01.\)

Do đó \(P(\overline{A})=1-P(A)=0{,}99\); \(P(\overline{B} \mid A)=1-P(B \mid A)=0{,}05\); \(P(\overline{B} \mid \overline{A})=1-P(B \mid \overline{A})=0{,}98\).

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Image

Do \(M=A B\) nên \(P(M)=P(A B)=0{,}0095\).

Do \(N=\overline{A} B\) nên \(P(N)=P(\overline{A} B)=0{,}0198\).

Câu 6:

Hộp thứ nhất có \(4\) viên bi xanh và \(6\) viên bi đỏ. Hộp thứ hai có \(5\) viên bi xanh và \(4\) viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên \(1\) viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên \(1\) viên bi từ hộp thứ hai.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

\(A\) : Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ ;

\(B\) : Hai viên bi lấy ra có cùng màu.

Gọi \(X\) là biến cố: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh.

\(Y\) là biến cố: Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ.

Ta có

\(P(Y|X)=0{,}4; P(Y \mid \overline{X})=0{,}5 ; P(X)=0{,}4\).

Do đó \(P(\overline{X})=1-P(X)=0{,}6\); \(P(\overline{Y} |X)=1-P(Y|X)=0{,}6\); \(P(\overline{Y} \mid \overline{X})=1-P(Y \mid \overline{X})=0{,}5\).

Ta có sơ đồ hình cây như sau

Image

Khi đó \(P(A)=P(XY)=0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}16\);

\(P(B)=P(X\overline{Y})+P(\overline{X}Y)=0{,}4\cdot 0{,}6+0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}54\).

Câu 7:

Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là \(85 \%\) đối với sinh viên tốt nghiệp loại giòi và \(70 \%\) đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác. Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giòi là \(30 \%\). Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

\(C\): Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành;

\(D\): Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành.

Gọi \(X\) là biến cố: Sinh viên tốt nghiệp loại Giỏi.

\(Y\) là biến cố: Sinh viên tìm được việc làm đúng chuyên ngành.

Ta có

\(P(Y|X)=0{,}85; P(Y \mid \overline{X})=0{,}7 ; P(X)=0{,}3\).

Do đó \(P(\overline{X})=1-P(X)=0{,}7 ; P(\overline{Y} |X)=1-P(Y|X)=0{,}15 ; \\P(\overline{Y} \mid \overline{X})=1-P(Y \mid \overline{X})=0{,}3\).

Ta có sơ đồ hình cây như sau

Image

Khi đó \(P(C)=P(XY)=0{,}3\cdot 0{,}85=0{,}255\); \(P(B)=P(\overline{X}Y)=0{,}7\cdot 0{,}7=0{,}49\).

Câu 8:

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.

Image

Vậy xác suất để Sơn lấy được bút đen, Tùng lấy được bút xanh là \(\displaystyle\frac{5}{12}\cdot\displaystyle\frac{7}{11}=\displaystyle\frac{35}{132}\).

Câu 9:

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Image

a) Xác suất Sơn lấy được bút bi xanh là \(\displaystyle\frac{7}{12}\).

Xác suất Tùng lấy được bút bi đen sau khi Sơn lấy được bút bi xanh là \(\displaystyle\frac{5}{11}\).

Xác suất cần tính là \(\displaystyle\frac{7}{12}\cdot \displaystyle\frac{5}{11}=\displaystyle\frac{35}{132}\).

b) Xác suất lấy được hai bút bi cùng màu đen là \(\displaystyle\frac{5}{12}\cdot \displaystyle\frac{4}{11}=\displaystyle\frac{5}{33}\).

Xác suất lấy được hai bút bi cùng màu xanh là

\(\displaystyle\frac{7}{12}\cdot \displaystyle\frac{6}{11}=\displaystyle\frac{7}{22}\).

Xác suất lấy được hai bút bi cùng màu là

\(\displaystyle\frac{5}{33}+\displaystyle\frac{7}{22}=\displaystyle\frac{31}{66}.\)

Câu 10:

Theo kết quả từ trạm nghiên cứu khí hậu tại địa phương \(T\), xác suất để một ngày có gió là \(0{,}6\); nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là \(0{,}4\); nếu ngày không có gió thì xác suất có mưa là \(0{,}2\). Gọi \(G\) là biến cố Ngày có gió~ và \(M\) là biến cố \la\la Ngày có mưa.

a) Vẽ lại sơ đồ hình cây sau và điền vào ô? các giá trị xác suất tương ứng.

Image

b) Tính xác suất \(\mathrm{P}(G M)\) và \(\mathrm{P}(G \overline{M})\). Nêu ý nghĩa của các xác suất này.

a) Theo đề bài, nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0{,}4 nên \(\mathrm{P}(M \mid G)=0{,}4\).

Suy ra \(\mathrm{P}(\overline{M} \mid G)=1-0{,}4=0{,}6\).

Ngày không có gió thì xác suất có mưa là \(0{,}2\) nên \(\mathrm{P}(M \mid \overline{G})=0{,}2\).

Suy ra \(\mathrm{P}(\overline{M} \mid \overline{G})=1-0{,}2=0{,}8\).

Image

b) \(\mathrm{P}(G M)=\mathrm{P}(G) \cdot \mathrm{P}(M \mid G)=0{,}6 \cdot 0{,}4=0{,}24 \).

\(\mathrm{P}(G \overline{M})=\mathrm{P}(G) \cdot \mathrm{P}(\overline{M} \mid G)=0{,}6 \cdot 0{,}6=0{,}36\).

Điểu này có nghĩa là tại địa phương \(T\), trong một ngày, xác suất để trời vừa có gió và vừa có mưa là \(0{,}24\); xác suất để trời có gió nhưng không có mưa là \(0{,}36\).

Câu 11:

Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như hình 5. Khi xảy ra sự cố điện, UPS bị hỏng với xác suất \(0{,}02\). Nếu UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện, máy tính sẽ bị hỏng với xác suất \(0{,}1\); ngược lại, nếu UPS không bị hỏng, máy tính sẽ không bị bỏng.

Image

a) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều không bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.

b) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.

Gọi \(A\) là biến cố UPS bình thường\, và \(B\) là biến cố: Máy tính bình thường.

Ta có

\(P(B|A)=1; P(B\mid \overline{A})=0{,}9 ; P(A)=0{,}98\).

Do đó \(P(\overline{A})=1-P(A)=0{,}02\); \(P(\overline{B} \mid \overline{A})=1-P(B \mid \overline{A})=0{,}1\).

Ta có sơ đồ hình cây như sau

Image

a) \(P(AB)=0{,}98\cdot 1=0{,}98\)

b) \(P(\overline{A}.\overline{B})=0{,}02\cdot 0{,}1=0{,}002\).

Câu 12:

Mỗi bạn học sinh trong lớp của Minh lựa chọn một trong hai ngoại ngữ là tiếng Anh hoặc tiếng Nhật. Xác suất chọn tiếng Anh của mỗi bạn học sinh nữ là \(0{,}6\) và của mỗi bạn học sinh nam là \(0{,}7\). Lớp của Minh có \(25\) bạn nữ và \(20\) bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố

A:Bạn được chọn là nam và học tiếng Nhật.

B:Bạn được chọn là nữ và học tiếng Anh .

Gọi \(A\) là biến cố Bạn được chọn là nữ và \(B\) là biến cố: Bạn được chọn học tiếng Anh.

Ta có

\(P(Y|X)=0{,}6; P(Y \mid \overline{X})=0{,}7\) ; \(P(X)=\displaystyle\frac{5}{9}\).

Do đó \(P(\overline{X})=1-P(X)=\displaystyle\frac{4}{9}\); \(P(\overline{Y} |X)=1-P(Y|X)=0{,}4\); \(P(\overline{Y} \mid \overline{X})=1-P(Y \mid \overline{X})=0{,}3\).

Ta có sơ đồ hình cây như sau

Image

Do \(A=\overline{X}\cdot\overline{Y}\) nên \(P(\overline{X}\cdot\overline{Y})=\displaystyle\frac{4}{9}\cdot 0{,}3=\displaystyle\frac{2}{15}\).

Do \(B=XY\) nên \(P(XY)=\displaystyle\frac{5}{9}\cdot 0{,}6=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Câu 13:

Trên giá sách có \(10\) quyển sách Khoa học và \(15\) quyển sách Nghệ thuật. Có \(9\) quyển sách viết bằng tiếng Anh, trong đó \(3\) quyển sách Khoa học có \(6\) quyển sách Nghệ thuật, các quyển sách còn lại viết bằng tiếng Việt. Lấy ngẫu nhiên một quyển sách. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học.

Gọi các biến cố:

\(A\): Sách lấy ra là sách tiếng Việt.

\(B\): Sách lấy ra là sách khoa học.

Khi đó, xác suất để cuốn sách được lấy ra là tiếng Việt, biết rằng cuốn sách đó là sách khoa học là \(\mathrm{P}\left(A\mid B\right)\).

Ta có sơ đồ cây

Image

Từ đó ta có xác suất để cuốn sách lấy ra là tiếng Việt, biết rằng cuốn sách đó là sách khoa học là \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{7}{10}=0{,}7\).

Câu 14:

Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là 0,4. Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.

Ta có sơ đồ hình cây

Image

a) Xác suất cả hai thí nghiệm đều thành công là \(\displaystyle\frac{7}{10}\cdot \displaystyle\frac{9}{10}=\displaystyle\frac{63}{100}.\)

b) Xác suất cả hai thí nghiệm đều không thành công là \(\displaystyle\frac{3}{10}\cdot \displaystyle\frac{6}{10}=\displaystyle\frac{18}{100}.\)

c) Xác suất thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công là \(\displaystyle\frac{7}{10}\cdot \displaystyle\frac{1}{10}=\displaystyle\frac{7}{100}.\)

Câu 15:

Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?

Gọi số kẹo là \(x~(x>6)\).

Số kẹo màu vàng là \(x-6\).

Khi Hà lấy được chiếc kẹo màu cam thì số kẹo trong túi là \(x-1\) và số kẹo cam còn lại trong túi là 5 cái.

Ta có sơ đồ cây

Image

Xác suất để Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là

\(\displaystyle\frac{6}{x}\cdot \displaystyle\frac{5}{x-1}=\displaystyle\frac{1}{3} \Rightarrow x^2-x-90=0 \Rightarrow \hoac{&x=-9~\text{(loại)}\\&x=10~\text{thỏa mãn}.}\)

Vậy ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.

Dạng 3. Tính xác suất có điều kiện

Câu 1:

Trong kì kiểm tra môn Toán của một trường trung học phổ thông có \(200\) học sinh tham gia, trong đó có \(95\) học sinh nam và \(105\) học sinh nữ. Khi công bố kết quả của kì kiểm tra đó, có \(50\) học sinh đạt điểm giỏi, trong đó có \(24\) học sinh nam và \(26\) học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số \(200\) học sinh đó. Tính xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xét hai biến cố sau:

+) \(A \colon\) Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi.

+) \(B \colon\) Học sinh được chọn ra là học sinh nữ.

Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Do có \(26\) học sinh nữ đạt điểm giỏi nên \(P(A \cap B)=\displaystyle\frac{26}{200}=0,13\).

Do có \(105\) học sinh nữ nên \(P(B)=\displaystyle\frac{105}{200}=0,525\).

Vì thế, ta có \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\displaystyle\frac{1,13}{0,525} \approx 0,25\).

Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, là \(0,25\).

Câu 2:

Một hộp có \(6\) quả bóng màu xanh, \(4\) quả bóng màu đỏ; các quả bóng có khối lượng và kích thước như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.

Xét hai biến cố sau:

+) \(A \colon\) Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ.

+) \(B \colon\) Lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh, chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Gọi \(\Omega\) là không gian mẫu, \(n(\Omega)=10\cdot 9=90\).

+) \(P(A \cap B)=\displaystyle\frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{6\cdot 4}{90}=\displaystyle\frac{4}{15}\).

+) \(P(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{6\cdot 9}{90}=\displaystyle\frac{3}{5}\).

Ta có \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\displaystyle\frac{4}{15}\cdot \displaystyle\frac{5}{3}= \displaystyle\frac{4}{9}\).

Câu 3:

Trong \(10\,000\) áo sơ mi xuất khẩu của một doanh nghiệp dệt may có \(1\,000\) áo sơ mi trắng. Các áo sơ mi đó gồm ba cỡ: \(40\), \(41\), \(42\), trong đó có \(200\) áo cỡ \(40\). Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo trong số \(10\, 000\) áo sơ mi xuất khẩu. Giả sử chiếc áo sơ mi được chọn là chiếc áo sơ mi trắng. Tính xác suất để áo sơ mi đó có cỡ \(40\).

Xét có hai biến cố sau:

+) \(A \colon\) Áo được chọn ra có cỡ \(40\).

+) \(B \colon\) Áo được chọn ra là áo sơ mi trắng.

Khi đó, xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ \(40\), biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, chính là xác suất có điều kiện \(P(A\mid B)\).

Áp dụng công thức \((*)\), ta có

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\displaystyle\frac{200}{1000}=0,2.\)

Vậy xác suất để chiếc áo được chọn ra có cỡ \(40\), biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, là \(0,2\).

Câu 4:

Trong một hộp đựng \(500\) chiếc thẻ cùng loại có \(200\) chiếc thẻ màu vàng. Trên mỗi chiếc thẻ màu vàng có ghi một trong năm số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\). Có \(40\) thẻ màu vàng ghi số \(5\). Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp đựng thẻ. Giả sử chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng. Tính xác suất để số chiếc thẻ đó ghi số \(5\).

Xét hai biến cố sau:

+) \(A \colon\) Thẻ được chọn ra được ghi số \(5\).

+) \(B \colon\) Thẻ được chọn ra có màu vàng.

Khi đó, xác suất để số chiếc thẻ đó ghi số \(5\), biết ràng thẻ đó có màu vàng, chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

+) \(P(A \cap B)=\displaystyle\frac{40}{500}=0,08\).

+) \(P(B)=\displaystyle\frac{200}{500}=0,4\).

Vì thế, ta có \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0,08}{0,4} = 0,2\).

Vậy xác suất để số chiếc thẻ đó ghi số \(5\), biết ràng thẻ đó có màu vàng là \(0,2\).

Câu 5:

Một hộp có \(3\) quả bóng màu xanh, \(4\) quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:

a) \(A\) Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất;

b) \(B\) Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai .

Chứng minh rằng \(A\), \(B\) là hai biến cố độc lập.

Gọi \(A_i\) là biến cố Lần thứ \(i\) lấy được bóng màu xanh:

\(A=A_1A_2 \cup \overline{A_1}~\overline{A_2} \Rightarrow P\left(A\right)=\displaystyle\frac{3}{7}\cdot\displaystyle\frac{3}{7}+\displaystyle\frac{3}{7}\cdot\displaystyle\frac{4}{7}=\displaystyle\frac{3}{7}\).

Gọi \(B_i\) là biến cố Lần thứ \(i\) lấy được bóng màu đỏ:

\(B=B_1B_2 \cup \overline{B_1}B_2 \Rightarrow P\left(B\right)=\displaystyle\frac{4}{7}\cdot\displaystyle\frac{4}{7}+\displaystyle\frac{4}{7}\cdot\displaystyle\frac{3}{7}=\displaystyle\frac{4}{7}\).

Ta có, \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{n\left(A \cap B\right)}{n\left(B\right)}=\displaystyle\frac{4\cdot 3}{7\cdot 4}=\displaystyle\frac{3}{7}=P\left(A\right) \Rightarrow A, B\) là hai biến cố độc lập.

Câu 6:

Cho hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng xúc xắc trong hai xúc xắc đó. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng \(6\), biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm.

Gọi \(A\) là biến cố xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm ~và \(B\) là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng \(6\).

Xác suất của \(A\) là \(\mathrm{P}(A)\) là xác suất để xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm. Vì xúc xắc cân đối và đồng chất, nên

\[\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{1}{6}.\]

Xác suất của \(B\) khi biết \(A\) đã xảy ra là \(\mathrm{P}(B \mid A)\). Trong trường hợp này, để tổng số chấm là \(6\), xúc xắc thứ hai phải xuất hiện mặt \(2\) chấm. Do đó, \(\mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Vậy, theo quy tắc xác suất điều kiện, ta có:

\(\mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} \Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(B \mid A)\cdot \mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{36}.\)

Câu 7:

Một hộp chứa ba tấm thẻ cùng loại được ghi số lần lượt từ \(1\) đến \(3\). Bạn Hà lấy ra một cách ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, bỏ thẻ đó ra ngoài và lại lấy ra một cách ngẫu nhiên thêm một thẻ nữa. Xét các biến cố:

\(A\) : Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1;

\(B\) : Thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 2;

\(C\) : Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ.

a) Xác định không gian mẫu của phép thử. Viết tập hợp các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố \(A, B, C\).

b) Tính xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số \(1\).

c) Tính xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số \(2\).

a) Không gian mẫu của phép thử

\(\Omega=\{(1 ; 2) ;(1 ; 3) ;(2 ; 1) ;(2 ; 3) ;(3 ; 1) ;(3 ; 2)\},\)

trong đó \((i ; j)\) là kết quả lần thứ nhất lấy được thẻ ghi số \(i\), lần thứ hai lấy được thẻ ghi số \(j\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(\{(1 ; 2) ;\,(1 ; 3)\}\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là \(\{(2 ; 1) ;\,(2 ; 3)\}\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(C\) là \(\{(2 ; 1) ;\,(3 ; 1) ;\,(1 ; 3) ;\,(2 ; 3)\}\).

b) Khi biến cố \(A\) xảy ra thì kết quả của phép thử là \((1 ; 2)\) hoặc \((1 ; 3)\). Trong hai kết quả đồng khả năng này chỉ có kết quả \((1 ; 3)\) là thuận lợi cho biến cố \(C\).

Vậy xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 1 là \(P(C \mid A)=\displaystyle\frac{1}{2}\).

c) Khi biến cố \(B\) xảy ra thì kết quả của phép thử là \((2 ; 1)\) hoặc \((2 ; 3)\). Cả hai kết quả này đều thuận lợi cho biến cố \(C\).

Vậy xác suất để thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lẻ, biết rằng thẻ lấy ra lần thứ nhất ghi số 2 là \(P(C \mid B)=1\).

Câu 8:

Một hộp chứa ba tấm thẻ cùng loại được ghi số lần lượt từ \(1\) đến \(3\). Bạn Hà lấy ra một cách ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, bỏ thẻ đó ra ngoài và lại lấy ra một cách ngẫu nhiên thêm một thẻ nữa. Gọi \(D\) là biến cố Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lớn hơn \(1\). Tính \(P(D \mid A)\) và \(P(D \mid B)\).

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(D\) là \(\{(1 ; 2) ;\,(1 ; 3);(2 ; 3) ;\,(3 ; 2)\}.\)

+) Khi biến cố \(A\) xảy ra thì kết quả của phép thử là \((1 ; 2)\) hoặc \((1 ; 3)\). Cả hai kết quả này đều thuận lợi cho biến cố \(D\).

Vậy \(P(D \mid A)=1\).

+) Khi biến cố \(B\) xảy ra thì kết quả của phép thử là \((2 ; 1)\) hoặc \((2 ; 3)\). Trong hai kết quả đồng khả năng này chỉ có kết quả \((2 ; 3)\) là thuận lợi cho biến cố \(D\).

Vậy \(P(D \mid B)=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Câu 9:

Câu lạc bộ cờ của nhà trường gồm \(35\) thành viên, mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai môn cờ vua hoặc cờ tướng. Biết rằng có \(25\) thành viên biết chơi cờ vua và \(20\) thành viên biết chơi cờ tướng. Chọn ngẫu nhiên \(1\) thành viên của câu lạc bộ. Tính xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng.

Gọi \(A\) là biến cố Thành viên được chọn biết chơi cờ tướng \,và \(B\) là biến cố Thành viên được chọn biết chơi cờ vua.

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cờ là \(20+25-35=10\).

Do đó, trong số \(20\) thành viên biết chơi cờ tướng, có đúng \(10\) thành viên biết chơi cờ vua.

Vậy nên xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng là \(P(B \mid A)=\displaystyle\frac{10}{20}=0{.}5\).

Câu 10:

Xét phép thử ở Ví dụ 2. Tính xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua.

Gọi \(C\) là biến cố Thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng.

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cờ là \(20+25-35=10\).

Do đó, trong số \(25\) thành viên biết chơi cờ vua, có đúng \(15\) thành viên biết chơi cờ tướng.

Vậy nên xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua là \(P(C\mid B)=\displaystyle\frac{10}{25}=0{.}4\).

Câu 11:

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm, \(B\) là biến cố Tổng số chấm của hai mặt xuất hiện bằng 8 \,và \(C\) là biến cố Xuất hiện ít nhất một mặt có \(6\) chấm.

a) Tính \(\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) và \(P(A \mid B)\).

b) \(\displaystyle\frac{P(C \cap A)}{P(A)}\) và \(P(C \mid A)\).

a) Ta có \(n(\Omega)=36\).

Khi đó \(A\cap B=\{(4 ; 4)\}\Rightarrow n(A\cap B)=1\Rightarrow P(A\cap B)=\displaystyle\frac{1}{36}\).

\(B=\{(1 ; 7) ;(7; 1) ;(2 ; 6) ;(6 ; 2) ;(3 ; 5) ;(5 ; 3) ;(4 ; 4) \}\Rightarrow n(B)=7\Rightarrow P(B)=\displaystyle\frac{7}{36}\).

Mặt khác \(P(A \mid B)=\displaystyle\frac{1}{7}\).

Do đó \(\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=P(A \mid B)=\displaystyle\frac{1}{7}\).

b) Ta có \(C\cap A=\{(6 ; 6) \}\Rightarrow n(C\cap A)=1\Rightarrow P(C\cap A)=\displaystyle\frac{1}{36}\).

Mặt khác \(P(A)=\displaystyle\frac{1}{6}\); \(P(C \mid A)=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Suy ra \(\displaystyle\frac{P(C \cap A)}{P(A)}=P(C \mid A)=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Câu 12:

Một công ty bảo hiểm nhận thấy có \(48 \%\) số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ và có \(36 \%\) số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên \(45\) tuổi. Biết một người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ, tính xác suất người đó trên \(45\) tuổi.

Gọi \(A\) là biến cố Người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ, \(B\) là biến cố Người mua bảo hiểm ô tô trên 45 tuổi. Ta cần tính \(P(B \mid A)\).

Do có \(48 \%\) người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ nên \(P(A)=0{.}48\).

Do có \(36 \%\) số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên \(45\) tuổi nên \(P(A B)=0{.}36\).

Vậy \(P(B \mid A)=\displaystyle\frac{P(A B)}{P(A)}=\displaystyle\frac{0{.}36}{0{.}48}=0{.}75\).

Câu 13:

Một nhóm \(5\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ tham gia lao động trên sân trường. Cô giáo chọn ngẫu nhiên đồng thời \(2\) bạn trong nhóm đi tưới cây. Tính xác suất để hai bạn được chọn có cùng giới tính, biết rằng có ít nhất \(1\) bạn nam được chọn.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C^2_9=36\).

Gọi A là biến cố Hai bạn được chọn có cùng giới tính.

B là biến cố Có ít nhất một bạn nam được chọn.

Ta có \(n(B)=C^2_5+C^1_5=15\) suy ra \(P(B)=\displaystyle\frac{15}{36}\).

Ta có \(n(AB)=C^2_5=10\) suy ra \(P(AB)=\displaystyle\frac{10}{36}\).

Vậy \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{10}{15}=\displaystyle\frac{2}{3}\).

}

Câu 14:

Kết quả khảo sát những bệnh nhân bị tai nạn xe máy về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:

- Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là \(80 \%\);

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là \(90 \%\);

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách bị chấn thương vùng đầu là \(18 \%\).

Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu bao nhiêu lần?

Gọi A là biến cố: Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn\, và B là biến cố: Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn.

Theo đề bài ta có \(P(A)=0{.}8, P(B)=0{.}9, P(B|A)=0.18\).

Suy ra \(P(B|A)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(A)}\Rightarrow P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=0{.}8\cdot 0{.}18=0{.}144\).

Vì \(A\overline{B}\) và \(AB\) là hai biến cố xung khắc nên \(A\overline{B}\cup AB=A\).

Suy ra \(P(\overline{B}A)=P(A)-P(AB)=0{.}8-0{.}144=0{.}656\).

Ta có \(P(\overline{B}|A)=\displaystyle\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}=\displaystyle\frac{0{.}656}{0{.}8}=0{.}82\).

Khi đó \(\displaystyle\frac{P(\overline{B}|A)}{P(B|A)}=\displaystyle\frac{0{.}82}{0{.18}}\approx 4{.}6\).

Như vậy việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng chấn thương vùng đầu xuống \(4{.}6\) lần.

Câu 15:

Một thư viện có \(35\%\) tổng số sách là sách khoa học, \(14\%\) tổng số sách là sách khoa học tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên một quyển sách của thư viện. Tính xác suất để quyển sách được chọn là sách khoa học tự nhiên, biết rằng đó là quyển sách về khoa học.

Gọi \(A\) là biến cố Sách được chọn là sách khoa học tự nhiên.

Gọi \(B\) là biến cố Sách được chọn là sách khoa học.

Do có \(35\%\) tổng số sách là sách khoa học nên \(P(B)=0{.}35\).

Do có \(14\%\) tổng số sách là sách khoa học tự nhiên nên \(P(AB)=0{.}14\).

Vậy \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0{.}14}{0{.}35}=0{.}4\).

Câu 16:

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P(A)=0{.}4; P(B)=0{.}8\) và \(P(A\mid B)=0{.}5\). Tính \(P(A\overline{B})\) và \(P(A\mid B)\).

Ta có \(P(A\overline{B})=P(A|\overline{B})\cdot P(\overline{B})=0{.}5\cdot 0{.}2=0{.}1\).

Vì \(AB\) và \(A\overline{B}\) là hai biến cố xung khắc và \(AB\cup A\overline{B}=A\) nên theo tính chất của xác suất, ta có\\ \(P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=0{.}4-0{.}1=0{.}3\).

Khi đó: \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0{.}3}{0{.}8}=0{.}375\).

Câu 17:

Một hộp có \(5\) viên bi cùng kích thước và khối lượng, trong đó có \(3\) viên bi màu đỏ và \(2\) viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt \(2\) viên bi và không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ.

Gọi

+) \(A\) là biến cố Lấy được viên bi thứ hai có màu xanh;

+) \(B\) là biến cố Lấy được viên bi thứ nhất có màu đỏ.

Khi đó xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Vì một viên bi đỏ đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên trong hộp còn lại \(4\) viên bi, trong đó có \(2\) viên bi xanh.

Từ đó ta có \(\mathrm{P}(A \mid B)=\displaystyle\frac{2}{4}=0{,}5\).

Vậy xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ là \(0{,}5\).

Câu 18:

Trong cuộc khảo sát trên một nhóm học sinh gồm các bạn thích trà sữa hoặc kem, người ta có được kết quả sau: Có \(56\%\) số học sinh thích kem, \(68\%\) số học sinh thích trà sữa, \(24\%\) số học sinh thích cả trà sữa và kem. Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong nhóm được khảo sát này. Tính xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa.

Gọi

+) \(A\) là biến cố Chọn được học sinh thích kem;

+) \(B\) là biến cố Chọn được học sinh thích trà sữa.

Khi đó xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Vì có \(68 \%\) số học sinh thích trà sữa trong nhóm khảo sát nên \(\mathrm{P}(B)=68 \%=0,68\).

Ta có \(A B\) là biến cố Chọn được học sinh thích cả trà sữa và kem.

Vì có \(24 \%\) số học sinh thích cả trà sữa và kem nên \(\mathrm{P}(A B)=24 \%=0{,}24\).

Vì thế ta có: \(\mathrm{P}(A \mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A B)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0,24}{0,68} \approx 0{,}35\).

Vậy xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa là \(0{,}35\).

Câu 19:

Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần, quan sát số chấm xuất hiện trong mỗi lần gieo.

Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo là \(7\), biết rằng lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt \(5\) chấm.

Gọi \(A\) là biến cố Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt \(5\) chấm~ và \(B\) là biến cố Tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng \(7\).

Xác suất của \(A\) là \(\mathrm{P}(A)\) là xác suất để gieo lần đầut tiên xuất hiện mặt \(5\) chấm. Vì xúc xắc cân đối và đồng chất, nên

\( \mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{1}{6}. \)

Xác suất của \(B\) khi biết \(A\) đã xảy ra là \(\mathrm{P}(B\mid A)\). Trong trường hợp này, để tổng số chấm là \(7\), xúc xắc lần gieo thứ hai phải xuất hiện mặt \(2\) chấm. Do đó, \(\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Vậy, theo quy tắc xác suất điều kiện, ta có

\( \mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} \Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(B\mid A) \cdot \mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{1}{6} \cdot \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{36}.\)

Câu 20:

Một công ty vừa ra mắt sản phẩm \(X\) và tổ chức ngày trải nghiệm sản phẩm. Họ thống kê được trong \(200\) người đến tham quan ngày trải nghiệm có \(60\) người là nam giới và \(140\) người là nữ giới. Trong số những người được thống kê này, có \(120\) người mua sản phẩm \(X\), gồm \(40\) khách hàng nam và \(80\) khách hàng nữ, còn lại là không mua sản phẩm \(X\). Chọn ngẫu nhiên một người trong số \(200\) người được thống kê. Tính xác suất để người này mua sản phẩm \(X\), biết rằng người được chọn là nữ giới (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi

+) \(A\) là biến cố Người được chọn mua sản phẩm \(X\);

+) \(B\) là biến cố Người được chọn là nữ giới.

Khi đó xác suất để chọn được người mua sản phẩm \(X\), biết rằng người này là nữ giới chính là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\).

Vì có 80 người mua sản phẩm \(X\) là nữ giới nên \(\mathrm{P}(A B)=\displaystyle\frac{80}{200}=0{,}4\).

Vì có 140 người là nữ giới trong số lượng thống kê nên \(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{140}{200}=0{,}7\).

Ta có xác suất cần tìm là \(\mathrm{P}(A \mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A B)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}4}{0{,}7} \approx 0{,}57\).

Vậy xác suất để người được chọn có mua sản phẩm \(X\), biết rằng người này là nữ giới là \(0{,}57\).

Câu 21:

Công ty nước giải khát \(X\) tổ chức một chương trình khuyến mại như sau: Trong mỗi thùng 24 chai nước giải khát đều có hai chai trúng thưởng (giải thưởng được viết ở dưới nắp chai), người tham gia chương trình được mở nắp một cách ngẫu nhiên lần lượt hai chai trong một thùng. Tính xác suất để một người tham gia chương trình mở được cả hai chai đều trúng thưởng.

Gọi \(A\) là biến cố chai thứ nhất có trúng thưởng, và \(B\) là biến cố chai thứ hai có trúng thưởng.

Xác suất của \(A\) là xác suất để lấy ra một chai có trúng thưởng lần đầu tiên là \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{2}{24}=\displaystyle\frac{1}{12}.\)

Sau khi lấy một chai trúng thưởng, số chai trúng trưởng còn \(1\) trong tổng số \(23\) chai nước.

Xác suất của \(B\) khi đã xảy ra \(A\) là xác suất để lấy ra một chai trúng thưởng lần thứ hai là \(\mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{1}{23}.\)

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có

\(\mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{23}=\displaystyle\frac{1}{46}.\)

Vậy, xác suất để cả hai chai nước đều trúng thưởng là \(\displaystyle\frac{1}{19}\).

Câu 22:

Một phòng nghiên cứu dược học cho \(500\) người bị bệnh \(H\) dùng hai loại thuốc \(X, Y\) để điều trị. Một số người được điều trị bằng thuốc \(X\) và số người còn lại được điều trị bằng thuốc \(Y\). Kết quả nghiên cứu được trình bày ở bảng bên dưới.

Image

Chọn ngẫu nhiên một người trong số này. Gọi \(A\) là biến cố "Người được chọn khỏi bệnh", \(B\) là biến cố "Người được chọn điều trị bằng thuốc \(X\)", \(C\) là biến cố "Người được chọn điều trị bằng thuốc \(Y\)".

a) Tính và giải thích ý nghĩa của \(\mathrm{P}(A\mid B)\) và \(\mathrm{P}(A\mid C)\).

b) Có thể nói loại thuốc nào có hiệu quả hơn trong việc điều trị bệnh \(H\)?

a) \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{n\left(AB\right)}{n(B)}=\displaystyle\frac{180}{240}=\displaystyle\frac{3}{4}\) và \(\mathrm{P}(A\mid C)=\displaystyle\frac{n\left(A\cap C\right)}{n(C)}=\displaystyle\frac{190}{260}=\displaystyle\frac{19}{26}\).

Theo các kết quả trên, xác suất để một người khỏi bệnh khi được chọn điều trị bằng thuốc \(X\) là \(\displaystyle\frac{3}{4}\) và xác suất để một người khỏi bệnh khi được chọn điều trị bằng thuốc \(Y\) là \(\displaystyle\frac{19}{26}\).

b) Do \(\displaystyle\frac{3}{4}>\displaystyle\frac{19}{26}\) nên loại thuốc \(X\) có hiệu quả hơn loại thuốc \(Y\) trong việc điều trị bệnh \(H\).

Câu 23:

Một nhóm \(50\) học sinh có \(23\) bạn biết chơi cầu lông mà không biết chơi bóng đá và \(21\) bạn biết chơi bóng đá mà không biết chơi cầu lông. Biết rằng mỗi học sinh trong nhóm này biết chơi bóng đá hoặc cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm. Tính xác suất học sinh này biết chơi bóng đá, biết rằng bạn ấy biết chơi cầu lông.

Gọi \(A\) là biến cố "Học sinh được chọn biết chơi bóng đá"; \(B\) là biến cố "Học sinh được chọn biết chơi cầu lông".

Ta có \(n\left(A\cap B\right)=50-(23+21)=6\) và \(n(B)=23+6=29\).

Do đó

\(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{n\left(A\cap B\right)}{n(B)}=\displaystyle\frac{6}{29}\).

Câu 24:

Một xí nghiệp dệt may có những dải của một loại vải đang sản xuất theo một quy trình đặc biệt. Những dải này có thể bị lỗi theo hai hướng: lỗi chiều dài và lỗi kết cấu. Thông qua đợt kiểm tra quy trình sản xuất, người ta thấy rằng có \(10\%\) dải không đạt yêu cầu về chiều dài, \(5\%\) dải không đạt yêu cầu và kết cấu và chỉ có \(0{,}8\%\) dải không đạt yêu cầu về cả chiều dài và kết cấu.

a) Nếu chọn ngẫu nhiên một dải từ quy trình này thì xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu là bao nhiêu?

b) Nếu một dải được chọn ngẫu nhiên từ quy trình này và phép đo nhanh xác định dải đó không đạt yêu cầu về chiều dài, tính xác suất để dải đó không đạt yêu cầu về kết cấu.

a) Nếu chọn ngẫu nhiên một dải từ quy trình này thì xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu là \(\displaystyle\frac{5}{100}+\displaystyle\frac{0{,}8}{100}=\displaystyle\frac{29}{500}\).

b) Gọi \(A\) là biến cố "Dải được chọn từ quy trình không đạt yêu cầu về kết cấu"; \(B\) là biến cố "Dải được chọn từ quy trình không đạt yêu cầu về chiều dài". Khi đó \(AB\) là biến cố "Một dải từ quy trình không đạt yêu cầu về cả kết cấu và chiều dài". Ta có \(\mathrm{P}(AB)=0{,}8\%=0{,}008\) và \(\mathrm{P}(B)=0{,}1\).

Do đó \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{P\left(AB\right)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}008}{0{,}1}=0{,}08\).

Câu 25:

Trong cuộc khảo sát \(300\) gia đình ở một khu vực, người ta nhận thấy rằng có \(90\%\) gia đình có tivi và \(60\%\) gia đình có máy tính bàn. Mỗi gia đình đều có ít nhất một trong hai thiết bị này. Chọn ngẫu nhiên một gia đình. Tính xác suất gia đình có máy tính bàn trong nhóm các gia đình có tivi.

Gọi \(A\) là biến cố "Gia đình được chọn có máy tính bàn"; \(B\) là biến cố "Gia đình được chọn có tivi". Khi đó \(AB\) là biến cố "Gia đình được chọn có cả máy tính bàn và tivi".

Ta có \(n(B)=0{,}9\cdot300=270\) và \(n(AB)=0{,}9\cdot300+0{,}6\cdot300-300=150\).

Do đó \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{n\left(A\cap B\right)}{n(B)}=\displaystyle\frac{150}{270}=\displaystyle\frac{5}{9}\).

Câu 26:

Trong một lọ có chứa bi đen và bi trắng cùng kích thước và khối lượng, lấy ngẫu nhiên lần lượt hai viên bi ra ngoài và không bỏ vào lại. Biết rằng xác suất để lần đầu lấy được bi đen là \(0{,}47\); xác suất để lần đầu lấy được bi đen và lần thứ hai lấy được bi trắng là \(0{,34}\). Tính xác suất để lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều kiện lần đầu lấy được bi đen.

Gọi \(A\) là biến cố "Lấy được bi trắng ở lần thứ hai"; \(B\) là biến cố "lấy được bi đen ở lần đầu".

Do đó \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,34}}{0{,47}}=\displaystyle\frac{34}{47}\).

Câu 27:

(Bảng dữ liệu thống kê \(2\times 2\)) Một viện nghiên cứu về an toàn giao thông muốn tìm hiểu về mỗi quan hệ giữa việc thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ tử vong của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Giả sử viện đã xem xét \(577\,006\) vụ tai nạn giao thông ô tô và việc thắt dây an toàn của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Kết quả cho thấy:

a) Trong số những người lái xe có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong và \(412\,368\) người sống sót;

b) Trong số những người lái xe không thắt dây an toàn, có \(1\,601\) người tử vong và \(162\,527\) người sống sót.

Kết quả trên được trình bày dưới dạng bảng gồm 2 dòng và 2 cột như dưới đây, được gọi là bảng dữ liệu thống kê \(2\times 2\):

Image

Chọn ngẫu nhiên một người lái xe trong số \(577\,006\) người bị tai nạn giao thông

a) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp không thắt dây an toàn.

b) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp có thắt dây an toàn.

c) So sánh hai xác suất ở câu a và câu b rồi rút ra kết luận.

a) Không gian mẫu \(\Omega\) là tập hợp gồm \(577\,006\) người lái xe xảy ra tai nạn giao thông

\(\Rightarrow n(\Omega)=577\,006 \text{. }\)

Gọi \(A\) là biến cố: ``Người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông'';

\(B\) là biến cố: ``Người lái xe đó không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông''.

Khi đó \(AB\) là biến cố: ``Người lái xe đó tử vong và không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông''.

Ta cần tính \(P(A\mid B)\).

Ta có \(162\,527+1\,601=164\,128\) người không thắt dây an toàn \(\Rightarrow n(B)=164\,128\).

Vậy \(P(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{164\,128}{577\,006}\).

Trong số những người không thắt dây an toàn, có \(1\,601\) người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông \(\Rightarrow n(AB)=1\,601\).

Vậy \(P(AB)=\displaystyle\frac{n(AB)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{1\,601}{577\,006}\).

Do đó \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{1\,601}{164\,128}\approx 9{,}755\cdot 10^{-3}=0{,}009755\).

b) Ta cần tính \(P(A\mid\overline{B})\)

\(\overline{B}\) là biến cố: ``Người lái xe đó có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông''.

\(A\overline{B}\) là biến cố: ``Người lái xe đó tử vong và có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông''.

Ta có \(412\,368+510=412\,878\) người lái xe có thắt dây an toàn \(\Rightarrow n(\overline{B})=412\,878\).

Trong số những người có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông \(\Rightarrow n(A\overline{B})=510\).

Tương tự như trên, ta có

\(P(A \mid\overline{B})=\displaystyle\frac{P(A \overline{B})}{P(\overline{B})}=\displaystyle\frac{n(A \overline{B})}{n(\overline{B})}=\displaystyle\frac{510}{412878.} \approx 1{,}235 \cdot 10^{-3}=0{,}001235\)

c) Ta có

\(\displaystyle\frac{P(A \mid B)}{P(A \mid\overline{B})} \approx\displaystyle\frac{9{,}755 \cdot 10^{-3}}{1{,}235 \cdot 10^{-3}} \approx 7{,}9 \Rightarrow P(A \mid B) \approx 7{,}9 \cdot P(A \mid\overline{B}).\)

Như vậy, xác suất để một người lái xe không thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông cao gấp khoảng 7{,}9 lần xác suất để một người lái xe thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông.

Tức là, không thắt dây an toàn làm tăng nguy cơ bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông của người lái xe lên gấp khoảng 7{,}9 lần.

Câu 28:

Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với \(4\,000\) bệnh nhân mắc bệnh X trong đó \(2\,400\) bệnh nhân dùng thuốc M, \(1\,600\) bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê như sau:

Image

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số \(4\,000\) bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó.

a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

a) Không gian mẫu \(\Omega\) là tập hợp gồm \(4\,000\) bệnh nhân thử nghiệm

\(\Rightarrow n(\Omega)=4\,000 \text{. }\)

Gọi \(A\) là biến cố: ``Bệnh nhân uống thuốc M'';

\(B\) là biến cố: ``Bệnh nhân khỏi bệnh''.

Khi đó \(AB\) là biến cố: ``Bệnh nhân uống thuốc M và khỏi bệnh''.

Ta cần tính \(P(A\mid B)\).

Ta có \(1\,600+1\,200=2\,800\) người khỏi bệnh \(\Rightarrow n(B)=2\,800\).

Vậy \(P(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{2\,800}{4\,000}\).

Trong số những người khỏi bệnh, có \(1\,600\) người uống thuốc M \(\Rightarrow n(AB)=1\,600\).

Vậy \(P(AB)=\displaystyle\frac{n(AB)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{1\,600}{4\,000}\).

Do đó \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{1\,600}{2\,800}\approx 0{,}571\).

b) Gọi \(\overline{A}\) là biến cố: ``Bệnh nhân uống thuốc N'';

\(\overline{B}\) là biến cố: ``Bệnh nhân không khỏi bệnh''.

Khi đó \(\overline{A}\overline{B}\) là biến cố: ``Bệnh nhân uống thuốc N và không khỏi bệnh''.

Ta cần tính \(P(\overline{A}\mid \overline{B})\).

Ta có \(800+400=1\,200\) người không khỏi bệnh \(\Rightarrow n(\overline{B})=1\,200\).

Vậy \(P(\overline{B})=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{1\,200}{4\,000}\).

Trong số những người không khỏi bệnh, có \(400\) người uống thuốc N \(\Rightarrow n(\overline{A}\overline{B})=400\).

Vậy \(P(AB)=\displaystyle\frac{n(\overline{A}\overline{B})}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{400}{4\,000}\).

Do đó \(P(\overline{A}\mid \overline{B})=\displaystyle\frac{P(\overline{A} \overline{B})}{P(\overline{B})}=\displaystyle\frac{400}{1\,200}\approx 0{,}333\).

Câu 29:

Ô cửa bí mật (Let's Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng ở Mỹ, đã được mua bản quyền và phát sóng ở nhiều nước trên thế giới. Nội dung trò chơi như sau:

+) Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. Sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. Người chơi được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa, nhưng không được mở ra.

+) Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi người chơi muốn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình hay muốn chuyển sang cửa chưa mở còn lại.

Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3. Kí hiệu \(E_1\); \(E_2\); \(E_3\) tương ứng là các biến cố: ``Sau ở cửa số 1 có ô tô''; ``Sau ở cửa số 2 có ô tô''; ``Sau ở cửa số 3 có ô tô'' và \(H\) là biến cố: ``Người quản trò mở ở cửa số 3 thấy con lừa''.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi \(H\) xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: \(P\left(E_1\mid H\right)\) và \(P\left(E_2\mid H\right)\)

a) Chứng minh rằng:

+) \(P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\displaystyle\frac{1}{3}\);

+) \(P\left(H \mid E_1\right)=\displaystyle\frac{1}{2} ~\text{và}~P\left(H \mid E_2\right)=1\).

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

+) \( P\left(E_1 \mid H\right)=\displaystyle\frac{P(E_1) \cdot P\left(H \mid E_1\right)}{P(H)}\);

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:

\(P\left(E_2 \mid H\right)=2 P\left(E_1 \mid H\right)\)

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

a) Không gian mẫu \(\Omega\) là tập hợp gồm 3 phần thưởng (1 ô tô + 2 con lừa) \(\Rightarrow n(\Omega)=3\).

Ta có \(n(E_1)=n(E_2)=n(E_3)=1\).

Suy ra \(P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Nếu \(E_1\) xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau.

Vậy \(P\left(H\mid E_1\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Nếu \(E_2\) xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3.

Do đó \(P\left(H\mid E_2\right)=1\).

b) Ta có

\(\begin{aligned} &P\left(E_1\mid H\right)=\displaystyle\frac{P(E_1H)}{P(H)}\\\Leftrightarrow &P(E_1H)=P(E_1)\cdot P\left(H\mid E_1\right)\\\Leftrightarrow &P\left(E_1\mid H\right)=\displaystyle\frac{P(E_1)\cdot P\left(H\mid E_1\right)}{P(H)}.\end{aligned}\)

c) Ta có

\(P\left(E_2 \mid H\right)=\displaystyle\frac{P(E_2) \cdot P\left(H\mid E_2\right)}{P(H)}.\)

Suy ra

\(\begin{aligned}\displaystyle\frac{P\left(E_2 \mid H\right)}{P\left(E_1 \mid H\right)}&=\displaystyle\frac{P(E_2) \cdot P\left(H \mid E_2\right)}{P(E_1) \cdot P\left(H \mid E_1\right)}\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3} \cdot 1}{\displaystyle\frac{1}{3} \cdot\displaystyle\frac{1}{2}}=2.\end{aligned}\)

Suy ra \(P\left(E_2\mid H\right)=2\cdot P\left(E_1\mid H\right)\).

Nhận xét: Từ kết quả trên ta thấy người chơi nên chuyển sang cửa chưa mở còn lại để tăng gấp đôi khả năng trúng thưởng chiếc ô tô.

Câu 30:

Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.

Gọi \(A\) là biến cố: ``Người đó rút được thẻ số 10''.

Gọi \(B\) là biến cố: ``Người đó rút được thẻ mang số chẵn''.

Gọi \(\Omega\) là không gian mẫu của việc rút một tấm thẻ từ \(20\) tấm thẻ \(\Rightarrow\) \(n(\Omega)=20\).

Ta cần tính \(P\left(A\mid B\right)\).

Ta có, từ 1 đến 20 có 10 số chẵn nên \(n(B)=10\).

Vậy \(P(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{10}{20}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Trong số 10 số chẵn có một số 10 nên \(n(AB)=1\).

Vậy \(P(AB)=\displaystyle\frac{n(AB)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{1}{20}\).

Do đó \(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{1}{10}\approx 0{,}1\).

Câu 31:

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:

a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.

b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.

a) Không gian mẫu \(n(\Omega)=6\cdot 6=36\).

Gọi \(A\) là biến cố: ``Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7''.

Gọi \(B\) là biến cố: ``Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm''.

Ta có \(n(B)=6+6+1=13\) ứng với các trường hợp \((5;x)\); \((x;5)\); \((5;5)\).

Vậy \(P(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{13}{36}\).

Ta có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 trong đó có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm ứng với các trường hợp \((5;2)\) và \((2;5)\).

Suy ra \(n(AB)=2\).

Vậy \(P(AB)=\displaystyle\frac{n(AB)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{2}{36}=\displaystyle\frac{1}{18}\).

Do đó

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{2}{13}\).

b) Ta tính \(P(B\mid A)\).

Biến cố tổng hai mặt là \(7: A=\{(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\}\) nên \(n(A)=6\).

Vậy \(P(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{6}{36}\).

Ta có \(P(BA)=P(AB)=\displaystyle\frac{1}{18}\).

Do đó

\(P(B\mid A)=\displaystyle\frac{P(BA)}{P(A)}=\displaystyle\frac{2}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Câu 32:

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.

Không gian mẫu \(n(\Omega)=6\cdot 6=36\).

Gọi \(A\) là biến cố: ``Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không nhỏ hơn 10''.

Gọi \(B\) là biến cố: ``Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm''.

Cần tính xác suất của biến cố \(A\mid B\).

Ta có \(n(B)=6+6+1=13\) ứng với các trường hợp \((5;x)\); \((x;5)\); \((5;5)\).

Vậy \(P(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{13}{36}\).

Ta có tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không nhỏ hơn 10 trong đó có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm ứng với các trường hợp \((5;5);(5;6);(6;5)\).

Suy ra \(n(AB)=3\).

Vậy \(P(AB)=\displaystyle\frac{n(AB)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{3}{36}=\displaystyle\frac{1}{12}\).

Do đó

\(P(A\mid B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}=\displaystyle\frac{3}{13}\).

Câu 33:

Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là \(9\,000\), trong đó có \(1\, 500\) đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có \(7\, 500\) không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong \(1\,500\) người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có \(76\%\) số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Mặt khác, trong \(7\, 500\) người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có \(7\%\) số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính khi kiểm tra.

a) Chọn số thích hợp cho \(?\) trong bảng \(1\) (đơn vị: người). So sánh số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm với số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết.

Image

b) Chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

c) Nhà sản xuất khẳng định dụng cụ cho kết quả đúng với hơn \(90\%\) số trường hợp có kết quả dương tính. Khẳng định đó có đúng không?

+) Trong \(1\,500\) người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: \(76\% \cdot 1\,500=1\,140\) (người).

Trong \(1\,500\) người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: \(1\,500-1\,140=360\) (người).

+) Trong \(7\,500\) người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: \(7\% \cdot 7\,500=525\) (người). Do đó số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là \(7\, 500 -525=6975\) (người).

Từ đó, bảng \(1\) được hoàn thiện bởi bảng \(2\) (đơn vị: người).

Image

Từ bảng \(2\) ta thấy số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm là:

\(525+1\,140=1\,665>1\,500.\)

b) Xét các biến cố sau:

+) \(A \colon\) Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm sốt xuất huyết.

+) \(B \colon\) Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả dương tính (khi kiểm tra).

Từ các dữ liệu thống kê ở bảng 2, ta có: \(P(B)=\displaystyle\frac{1\,665}{9\,000}=\displaystyle\frac{37}{200}\); \(P(A \cap B)=\displaystyle\frac{1\,140}{9\,000}=\displaystyle\frac{19}{150}\).

Vậy \(P(A|B)=\displaystyle\frac{19}{150} : \displaystyle\frac{37}{200}=\displaystyle\frac{76}{111}\approx 68,5 \%\).

c) Do \(68,5 \% < 90 \%\) nên khẳng định của nhà sản xuất là không đúng.

Câu 34:

Một lô sản phẩm có \(20\) sản phẩm, trong đó có \(5\) sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp \(2\) sản phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.

Gọi \(A\) là biến cố sản phẩm thứ nhất có chất lượng thấp, và \(B\) là biến cố sản phẩm thứ hai có chất lượng thấp.

Xác suất của \(A\) là xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần đầu tiên:

\(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{5}{20}=\displaystyle\frac{1}{4}\)

Sau khi lấy một sản phẩm chất lượng thấp, số sản phẩm chất lượng thấp giảm còn \(4\) trong tổng số \(19\) sản phẩm.

Xác suất của \(B\) khi đã xảy ra \(A\) là xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần thứ hai:

\(\mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{4}{19}\)

Áp dụng quy tắc nhân xác suất:

\(P(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{4}{19}=\displaystyle\frac{1}{19}\)

Vậy, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\displaystyle\frac{1}{19}\).

Câu 35:

Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu áo sơ mi phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân \(98\%\) sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và \(95\%\) sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tính xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.

\(A\) là biến cố sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất.

\(B\) là biến cố sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ hai.

Bài toán yêu cầu tính xác suất của biến cố \(A\cap B\), tức là sản phẩm vừa qua được lần kiểm tra thứ nhất, và sau đó qua được lần kiểm tra thứ hai.

Xác suất của \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=0{,}98\).

Xác suất của \(B\) khi đã qua được \(A\) là \(\mathrm{P}(B \mid A)=0{,}95\).

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:

\(\mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)=0{,}98\cdot 0{,}95=0{,}931.\)

Vậy, xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là \(93{,}1\%\)

Câu 36:

Có \(2\) linh kiện điện tử, xác suất để mỗi linh kiện hỏng trong một thời điểm bất kì lần lượt là: \(0{,}01\); \(0{,}02\). Hai linh kiện đó được lắp vào một mạch điện theo sơ đồ ở hình a, b. Trong mỗi trường hợp, hãy tính xác suất để trong mạch điện có dòng điện chạy qua

Image

Gọi

+) \(A\): Linh kiện thứ nhất không hỏng .

+) \(B\): Linh kiện thứ hai không hỏng.

a) Hai linh kiện mắc nối tiếp.

Xác suất để cả hai linh kiện đều không hỏng là:

\(\mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)\)

Ta có

\(\mathrm{P}(A)=1-P(\overline{A})=1-0{,}01=0{,}99\).

\(\mathrm{P}(B \mid A)=1-P(\overline{B}\mid A)=1-0{,}02=0{,}98\).

\(\Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)=0{,}99\cdot0{,}98=0{,}9702\).

b) Hai linh kiện mắc song song.

Xác suất để ít nhất một linh kiện không hỏng là:

\(\mathrm{P}(A \cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A \cap B) = 0{,}99+0{,}98-0{,}9702=0{,}9998.\)