1. Một số quy tắc cần nhớ
Quy tắc 3 điểm: Với ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) trong không gian, ta có:
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.\]
Quy tắc trừ: Với ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) trong không gian, ta có:
\[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.\]
Quy tắc chèn điểm: Cho véctơ \(\overrightarrow{AB}\) và điểm \(O\) tùy ý. Ta có
\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\quad;\quad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.\]
Quy tắc hình bình hành:
\[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.\]
Quy tắc hình hộp:
\[\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}.\]
2. Tích của một số với một véctơ:
a) Với hai véctơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kỳ, với mọi số \(h\) và \(k\), ta luôn có
+) \(k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\);
+) \(\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\);
+) \(h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}\);
+) \(1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\);
+) \(\left(-1\right)\cdot\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\).
b) \(k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) hoặc \(k=0\).
c) Hai véctơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).
d) Ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số \(k \neq 0\) để \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\).
3. Tích vô hướng của hai véctơ:
Cho hai véctơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) khác \(\overrightarrow{0}\).
+) \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).\)
+) \(\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|}\).
+) \(\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}= 0\).
Câu 1:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
a) Giá của ba véctơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA'}\) có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
b) Tìm các véctơ bằng véctơ \(\overrightarrow{AB}\).
c) Tìm các véctơ đối của véctơ \(\overrightarrow{AD}\).
a) Giá của ba véctơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA'}\) lần lượt là ba đường thẳng \(AB\), \(AD\) và \(AA'\). Chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng vì bốn điểm \(A\), \(B\), \(D\) và \(A'\) không đồng phẳng.
b) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(ABB'A'\) là hình bình hành, suy ra \(AB \parallel A'B'\) và \(AB=A'B'\).
Như thế \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{A'B'}\) cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\).
Hoàn toàn tương tự ta có các véctơ bằng véctơ \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{A'B'}\), \(\overrightarrow{D'C'}\).
c) Hai véctơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{DA}\) có độ dài bằng nhau và ngược hướng nên chúng đối nhau.
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AD}\) cùng độ dài và ngược hướng với \(\overrightarrow{CB}\), suy ra \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{CB}\) cũng đối nhau.
Tương tự các véctơ đối của véctơ \(\overrightarrow{AD}\) là \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{C'B'}\) và \(\overrightarrow{D'A'}\).
Câu 2:
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\), \(M'\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\), \(A'C'\).
a) Trong tất cả những véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lăng trụ, hãy chỉ ra các véc-tơ:
+) Khác \(\overrightarrow{0}\) và cùng phương với \(\overrightarrow{AM}\);
+) Khác \(\overrightarrow{0}\) và cùng hướng với \(\overrightarrow{AM}\);
+) Là véc-tơ đối của \(\overrightarrow{AC}\);
+) Bằng \(\overrightarrow{MM'}\).
b) Tìm độ dài của \(\overrightarrow{BM}\) trong trường hợp \(ABC\) là tam giác cân tại \(B\), có cạnh bên bằng \(5 \mathrm{~cm}\) và góc ở đỉnh bằng \(30^{\circ}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
a) Do \(AC \parallel A'C'\) và \(M \in AC\) nên:
+) Véc-tơ khác \(\overrightarrow{0}\) và cùng phương với \(\overrightarrow{AM}\) là véc-tơ có giá \(AC\) hoặc \(A'C'\). Đó là các véc-tơ \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{A'C'}\), \(\overrightarrow{C'A'}\);
+) Trong những véc-tơ khác \(\overrightarrow{0}\) và cùng phương với \(\overrightarrow{AM}\), có hai véc-tơ \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{A'C'}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{AM}\);
+) Các véc-tơ đối của \(\overrightarrow{AC}\) là \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{C'A'}\);
+) Các véc-tơ bằng \(\overrightarrow{MM'}\) là \(\overrightarrow{AA'}\), \(\overrightarrow{BB'}\), \(\overrightarrow{CC'}\) (các véc-tơ này cùng hướng và cùng độ dài với \(\overrightarrow{MM'}\)).
b) Từ giả thiết, ta suy ra tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\). Từ đó ta có:
\(BM=BA\cdot\cos\widehat{ABM}=5\cdot\cos 15^{\circ}\approx 4{,}83(\mathrm{~cm}).\)
Vậy độ dài của \(\overrightarrow{BM}\) là \(|\overrightarrow{BM}|\approx 4{,}83(\mathrm{~cm})\).
Câu 3:
Cho hình tứ diện đều \(ABCD\).
a) Có bao nhiêu véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện? Liệt kê tất cả những véc-tơ đó.
b) Bạn Lan nói: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\) vì các véc-tơ này có cùng độ dài và cùng hướng (từ trên xuống dưới). Khẳng định của bạn Lan có đúng không? Vì sao?
a) Có bao nhiêu véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện? Liệt kê tất cả những véc-tơ đó.
Với mỗi cách chọn ra \(2\) đỉnh bất kì của tứ diện ta được \(2\) véc-tơ đối nhau.
Vậy có \(2 \mathrm{C}_4^2 = 12\) véc-tơ.
Các véc-tơ đó là: \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{DB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DC}\).
b) Bạn Lan nói: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}\) vì các véc-tơ này có cùng độ dài và cùng hướng (từ trên xuống dưới). Khẳng định của bạn Lan có đúng không? Vì sao?
Khẳng định của bạn Lan là sai.
Do \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) có giá không song song với nhau nên các véc-tơ này không thể cùng hướng, vì vậy các véc-tơ này không bằng nhau.
Câu 4:
Cho hình chóp đều \(S. ABCD\) có cạnh đáy \(a\) và đường cao \(h\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh bên \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) và \(O\), \(H\) lần lượt là tâm của các hình vuông \(ABCD\), \(MNPQ\).
a) Trong những véc-tơ khác \(\overrightarrow{0}\), có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, hãy liệt kê các véc-tơ
+) Cùng hướng với \(\overrightarrow{MN}\).
+) Bằng \(\overrightarrow{MN}\).
b) Tìm độ dài các véc-tơ \(\overrightarrow{MP}\), \(\overrightarrow{MS}\) theo \(a\) và \(h\).
a) Trong những véc-tơ khác \(\overrightarrow{0}\), có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, các véc-tơ
+) Cùng hướng với \(\overrightarrow{MN}\) là \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{QP}\), \(\overrightarrow{DC}\).
+) Bằng \(\overrightarrow{MN}\) là \(\overrightarrow{QP}\).
b) Tìm độ dài các véc-tơ \(\overrightarrow{MP}\), \(\overrightarrow{MS}\) theo \(a\) và \(h\).
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = a \sqrt{2}\).
Ta có \(MP\) là đường trung bình của \(\triangle SAC \Rightarrow MP = \displaystyle\frac{1}{2} AC = \displaystyle\frac{a \sqrt{2}}{2}\).
Xét \(\triangle SOA\) vuông tại \(O\) ta có
\begin{eqnarray*}SA^2 &=& SO^2 + AO^2\\ & = & SO^2 + \left (\displaystyle\frac{AC}{2}\right)^2 = h^2 + \left (\displaystyle\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \displaystyle\frac{a^2}{2} = \displaystyle\frac{2h^2 + a^2}{2}.\end{eqnarray*}
Do \(M\) là trung điểm \(SA\) nên \(MS = \displaystyle\frac{SA}{2} = \displaystyle\frac{2h^2 + a^2}{4}\).
Câu 5:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm vectơ \(\overrightarrow{C C'}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D' A'}\).
Vì \(A B C D . A' B' C' D'\) là hình hộp nên \(\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}\) và \(\overrightarrow{D' A'}=\overrightarrow{C B}\).
Suy ra \(\overrightarrow{C C'}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D' A'}=\overrightarrow{C C'}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{C A'}\).
Câu 6:
Cho hình hộp \(ABC.EFGH\). Điểm \(M\) là trọng tâm tam giác \(AFH\).
a) Chứng minh rằng ba điểm \(E\), \(M\), \(C\) thẳng hàng.
b) Tính độ dài của \(\overrightarrow{E M}\) trong trường hợp \(A B C D . E F G H\) là hình hộp đứng có các cạnh \(A B=5\), \(A D=6\), \(A E=10\) và \(\widehat{A B C}=120^{\circ}\).
a) Để chứng minh \(E, M, C\) thẳng hàng, ta sẽ chứng minh \(\overrightarrow{E C}=k \overrightarrow{E M}\) với \(k\) là một số thực nào đó.
Do \(M\) là trọng tâm của tam giác \(A F H\) nên ta có
\(\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{E H}=3 \overrightarrow{E M}.\)
Mặt khác, theo quy tắc hình hộp thì
\(\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{E H}=\overrightarrow{E C}.\)
Suy ra \(\overrightarrow{E C}=3 \overrightarrow{E M}\).
Vậy ba điểm \(E\), \(M\), \(C\) thẳng hàng.
b) Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(A B C\), ta có
\[A C^2=5^2+6^2-2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 120^{\circ}=91.\]
Khi \(A B C D . E F G H\) là hình hộp đứng thì \(E A C\) là tam giác vuông tại \(A\), do đó
\[E C^2=E A^2+A C^2=100+91=191.\]
Suy ra \(E M=\displaystyle\frac{1}{3} \sqrt{191}\).
Câu 7:
Cho tứ diện \(A B C D\). \(G\) là trọng tâm của tam giác \(B C D\). Chứng minh rằng
\[\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{A G}.\]
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có
\begin{align*}\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D} &\ =\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G D}\\ &\ =3 \overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}.\end{align*}
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(B C D\) nên
\(\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}.\)
Suy ra \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{A G}\).
Câu 8:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(AC\). Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HK}\).
b) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}\).
a) Do \(HK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(BC\parallel HK\) và \(BC = 2HK\).
Suy ra \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{HK}\) và \(| \overrightarrow{BC}| = 2|\overrightarrow{HK}|\). Vậy \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HK}\).
b) Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}\).
Do đó
\begin{eqnarray*}& \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} & = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GD}\\ & & = 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 3\overrightarrow{AG}.\end{eqnarray*}
Câu 9:
Cho tứ diện \(A B C D\) có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (hình bên).
a) Có bao nhiêu véc-tơ có điểm đầu là \(A\) và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?
b) Trong các véc-tơ tìm được ở câu a, những véc-tơ nào có giá nằm trong mặt phẳng \((A B C)\)?
c) Tính độ dài của các véc-tơ tìm được ở câu a.
a) Có ba véc-tơ là \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}\) và \(\overrightarrow{A D}\).
b) Trong ba véc-tơ \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}\) và \(\overrightarrow{A D}\) chỉ có hai véc-tơ \(\overrightarrow{A B}\) và \(\overrightarrow{A C}\) có giá nằm trong mặt phẳng \((A B C)\).
c) Vì tứ diện \(A B C D\) có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên \(\left| \overrightarrow{A B}\right| =\left| \overrightarrow{A C}\right| =\left| \overrightarrow{A D}\right| =1\).
Câu 10:
Cho hình lăng trụ \(A B C.A'B'C'\) (hình bên).
a) Trong ba véc-tơ \(\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C C'}\) và \(\overrightarrow{B' B}\), véc-tơ nào bằng véc-tơ \(\overrightarrow{A A'}\)? Giải thích vì sao.
b) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(B C\). Xác định điểm \(M'\) sao cho \(\overrightarrow{M M'}=\overrightarrow{A A'}\)
a) Hai đường thẳng \(A A'\) và \(B C\) chéo nhau nên hai véc-tơ \(\overrightarrow{A A'}\) và \(\overrightarrow{B C}\) không cùng phương.
Do đó, hai véc-tơ \(\overrightarrow{A A'}\) và \(\overrightarrow{B C}\) không bằng nhau.
Tứ giác \(A C C' A'\) là hình bình hành nên \(A A' \parallel C C'\) và \(A A'=C C'\).
Hai véc-tơ \(\overrightarrow{A A'}\) và \(\overrightarrow{C C'}\) có cùng độ dài và cùng hướng nên hai véc-tơ đó bằng nhau.
Tương tự, hai véc-tơ \(\overrightarrow{A A'}\) và \(\overrightarrow{B' B}\) có cùng độ dài và ngược hướng nên hai véc-tơ \(\overrightarrow{A A'}\) và \(\overrightarrow{B' B}\) không bằng nhau.
b) Gọi \(M'\) là trung điểm của cạnh \(B' C'\). Vì tứ giác \(B C C' B'\) là hình bình hành nên \(M M' \parallel B B'\) và \(M M'=B B'\).
Hình lăng trụ \(A B C \cdot A' B' C'\) có \(A A' \parallel B B'\) và \(A A'=B B'\), suy ra \(M M' \parallel A A'\) và \(M M'=A A'\).
Hai véc-tơ \(\overrightarrow{M M'}\) và \(\overrightarrow{A A'}\) có cùng độ dài và cùng hướng nên \(\overrightarrow{M M'}=\overrightarrow{A A'}\).
Vậy trung điểm của cạnh \(B' C'\) là điểm \(M'\) cần tìm.
Câu 11:
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A' B' C' D'\) có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (hình bên). Tính độ dài của véc-tơ \(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D D'}\).
Tứ giác \(A B C D\) là hình vuông nên \(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}\).
Do đó \(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D D'}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D D'}=\overrightarrow{A D'}\).
Tứ giác \(A D D' A'\) là hình vuông nên \(A D'=\sqrt{A D^2+D D^{\prime 2}}=\sqrt{2}\), suy ra \(\left|\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{D D'}\right|=\sqrt{2}\).
Câu 12:
Cho tứ diện \(A B C D\) (hình bên). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}.\)
Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có \(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C}\).
Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng véc-tơ trong không gian, ta được
\(\begin{aligned}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} & =(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}) \\ & =\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\end{aligned}\)
Câu 13:
Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình bình hành. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(A B, C D\) (hình bên). Chứng minh rằng
a) \(\overrightarrow{A M}\) và \(\overrightarrow{C N}\) là hai véc-tơ đối nhau;
b) \(\overrightarrow{S C}-\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{S A}\).
a) Tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B=C D\) và \(A B\parallel C D\), suy ra \(A M=C N\) và \(A M \parallel C N\).
Hai véc-tơ \(\overrightarrow{A M}\) và \(\overrightarrow{C N}\) có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai véc-tơ đối nhau.
b) Từ câu a, ta có
\(\overrightarrow{C N}=-\overrightarrow{A M}\).
Suy ra \(\overrightarrow{S C}-\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{S C}+\overrightarrow{C N}-\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{S N}-\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{S N}+\overrightarrow{N A}=\overrightarrow{S A}\).
Câu 14:
Cho hình lăng trụ tam giác \(A B C.A' B' C'\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(A B, A C\) (hình bên). Gọi \(O\) là giao điểm của \(A B'\) và \(A' B\).
Chứng minh rằng \(\overrightarrow{C C'}=(-2) \overrightarrow{O M}\).
Vì \(O\) là trung điểm của \(A B'\) nên \(O M\) là đường trung bình của tam giác \(A B' B\). Suy ra \(B' B \parallel O M\) và \(B' B=2 O M\).
Tứ giác \(B C C' B'\) là hình bình hành nên \(B' B \parallel C' C\) và \(B' B=C' C\).
Do đó \(C' C \parallel O M\) và \(C' C=2 O M\).
Vì hai véc-tơ \(\overrightarrow{C C'}\) và \(\overrightarrow{O M}\) ngược hướng nên \(\overrightarrow{C C'}=(-2) \overrightarrow{O M}\).
Câu 15:
Cho tứ diện \(A B C D\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(B C D\) (hình bên). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{A G}\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(B C D\) nên \(\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}\).
Do đó ta có
\(\begin{aligned}& \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G D} \\ & =3 \overrightarrow{A G}+(\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D})=3 \overrightarrow{A G}+\overrightarrow{0}=3 \overrightarrow{A G}\end{aligned}\)
Câu 16:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (hình bên).
Tính góc giữa các cặp véc-tơ sau:
a) \(\overrightarrow{A D}\) và \(\overrightarrow{B' C'}\);
b) \(\overrightarrow{A C}\) và \(\overrightarrow{A' D'}\).
a) Hai véc-tơ \(\overrightarrow{A D}\) và \(\overrightarrow{B' C'}\) cùng hướng nên \(\left(\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B' C'}\right)=0^{\circ}\).
b) Vì tứ giác \(A D D' A'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A' D'}\).
Do đó \(\left(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A' D'}\right)=(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D})=\widehat{C A D}\).
Tam giác \(A D C\) vuông cân tại \(D\) nên \(\widehat{C A D}=45^{\circ}\), vì vậy \(\left(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A' D'}\right)=45^{\circ}\).
Câu 17:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S . A B C D\) có độ dài tất cả các cạnh bằng \(a\) (hình bên). Tính các tích vô hướng sau:
a) \(\overrightarrow{A S} \cdot \overrightarrow{B C}\);
b) \(\overrightarrow{A S} \cdot \overrightarrow{A C}\).
a) Tam giác \(S A D\) có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra \(\widehat{S A D}=60^{\circ}\). Tứ giác \(A B C D\) là hình vuông nên \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}\), suy ra \((\overrightarrow{A S}, \overrightarrow{B C})=(\overrightarrow{A S}, \overrightarrow{A D})=\widehat{S A D}=60^{\circ}\). Do đó \(\overrightarrow{A S} \cdot \overrightarrow{B C}=|\overrightarrow{A S}| \cdot|\overrightarrow{B C}| \cdot \cos 60^{\circ}=a \cdot a \cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{a^2}{2}\).
b) Tứ giác \(A B C D\) là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo \(A C\) là \(\sqrt{2} a\).
Tam giác \(S A C\) có \(S A=S C=a\) và \(A C=\sqrt{2} a\) nên tam giác \(S A C\) vuông cân tại \(S\), suy ra \(\widehat{S A C}=45^{\circ}\).
Do đó \(\overrightarrow{A S} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A S}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cdot \cos \widehat{S A C}=a \cdot \sqrt{2} a \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2\).
Câu 18:
Cho tứ diện \(A B C D\) có \(A C\) và \(B D\) cùng vuông góc với \(A B\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(A B, C D\) (hình bên). Chứng minh rằng
a) \(\overrightarrow{M N}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D})\);
b) \(\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{A B}=0\).
a) Ta có \(\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C N}\) và \(\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D N}\).
Do đó \(2 \overrightarrow{M N}=(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B})+(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D})+(\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{D N})\).
Vì \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(A B, C D\) nên \(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{C N}+\overrightarrow{D N}=\overrightarrow{0}\).
Suy ra \(2 \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}\), hay \(\overrightarrow{M N}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D})\).
b) Từ giả thiết, ta có \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A B}=0\).
Vì vậy, \(\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{A B}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}) \cdot \overrightarrow{A B}=\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}+\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A B}=0\).
Câu 19:
Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) có cạnh bằng \(a\). Tính
a) \(\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AH}\);
b) \(\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{EG}\);
c) \(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{FE}\).
a) Ta có \(\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AH}= \overrightarrow{AD}^2=a^2\).
b) Ta có \(\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{AC}= a^2\) (vì \(\triangle ACF\) đều cạnh \(a\sqrt2\)).
d) Ta có \(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BA}= -\displaystyle\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}^2=-a^2\).
Câu 20:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) và \break\(\widehat{BAA'}=\widehat{BAD}=\widehat{DAA'}= 60^\circ\). Tính độ dài đường chéo \(AC'\).
Ta có \(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\), do đó
\begin{eqnarray*}AC'^2 &=& \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\right)^2\\ &=& \overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AD}^2+\overrightarrow{AA'}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AD}\\ &=& a^2+a^2+a^2+3\cdot 2\cdot a\cdot a\cdot\cos 60^\circ\\ &=& 6a^2. \end{eqnarray*}
Vậy \(AC'=a\sqrt6\).
Câu 21:
Cho tứ diện \(ABCD\). Hai điểm \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Cho biết \(AB = 10, CD = 6, MN = 7\).
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MN}= \displaystyle\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\right)\).
b) Từ kết quả câu a, hãy tính \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\).
c) Tính \(\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right)\).
a) Ta có
\begin{eqnarray*}\overrightarrow{MN} &=& \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BN}\\ \overrightarrow{MN} &=& \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{CN}.\end{eqnarray*}
Do đó \(2 \overrightarrow{MN}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC} \Rightarrow \overrightarrow{MN}= \displaystyle\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\right)\).
b) Theo câu a) \(2 \overrightarrow{MN}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\), do đó
\begin{eqnarray*}4MN^2 &=& \left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\right)^2\\ &=& \overrightarrow{AB}^2+ \overrightarrow{DC}^2+ 2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\\ \Rightarrow 4\cdot 7^2 &=& 10^2+6^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC} &=& 30.\end{eqnarray*}
c) Theo câu b) ta có
\begin{eqnarray*}30 &=& \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\\ &=& AB\cdot DC\cdot\cos \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right)\\ &=& 60 \cdot\cos \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right)\\ \Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right) &=& \displaystyle\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right) &=& 60^\circ.\end{eqnarray*}
Câu 22:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM}\).
b) Tính góc \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})\).
a) Ta có
\(\begin{aligned}\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} &= \left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AC}\right| \cdot \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\\&= AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC}\\ &= a \cdot a \cdot \cos {60^\circ}\\&= \frac{a^2}{2}.\end{aligned}\)
Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \displaystyle\frac{a^2}{2}\).
Ta lại có \(\overrightarrow{AM} = \displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\), suy ra
\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2}{2}.\)
b) Ta có \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}) \cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CD} +\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CD}\).
Mà \(AM\), \(BM\) là trung tuyến của các tam giác đều \(ACD\), \(BCD\) nên\\ \(\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{MB} \perp \overrightarrow{CD}\).
Suy ra \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\).
Từ các kết quả trên ta có \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CD}=0\).
Suy ra \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})=90^\circ\).
Câu 23:
Cho tứ diện \(OABC\) có các cạnh \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Tính góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{AC}\).
Đặt \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}\).
Khi đó, \(|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1\) và \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} = 0\).
Do \(\overrightarrow{OM} = \displaystyle\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\) và \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\) nên
\begin{eqnarray*}&\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AC} &= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\left(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\right)\\& & = \displaystyle\frac{1}{2} \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} \right) = -\displaystyle\frac{1}{2}.\end{eqnarray*}
Kết hợp với \(\left|\overrightarrow{OM}\right| = OM = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(\left|\overrightarrow{AC}\right| = AC = \sqrt{2}\) suy ra
\(\cos\left( \overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC} \right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{OM}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|} = -\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Vậy \(\left( \overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC} \right) = 120^\circ\).
Câu 24:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=SB=SC=AB=AC=a\) và \(BC=a\sqrt2\). Tính góc giữa các véc-tơ \(\overrightarrow{SC}\) và \(\overrightarrow{AB}\)
Ta có
\begin{eqnarray*}\cos \left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right) &=& \displaystyle\frac{\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|}\\&=& \displaystyle\frac{\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AB}}{a^2}\\&=& \displaystyle\frac{\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}{a^2}.\end{eqnarray*}
Từ giả thiết suy ra \(SAB\) là tam giác đều và \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\). Từ đó ta tính được
\( \overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}=a\cdot a\cdot \cos 120^\circ=- \displaystyle\frac{a^2}{2}\) và \(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0.\)
Suy ra \(\cos \left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)=- \displaystyle\frac{1}{2}\). Vậy \(\left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)= 120^\circ\).
Câu 25:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(DA=DB=a\), \(BC= \displaystyle\frac{a}{2}\), \(AB \perp BC\) và \(\widehat{CBD}=45^\circ\). Tính góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\).
Ta có
\begin{eqnarray*}\cos \left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right) &=& \displaystyle\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|}\\&=& \displaystyle\frac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right)\cdot \overrightarrow{BC}}{ \displaystyle\frac{a^2}{2} }\\&=& \displaystyle\frac{2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{BC}\right)}{a^2}.\end{eqnarray*}
Từ giả thiết ta tính được
\( \overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{BC}= \displaystyle\frac{a}{2} \cdot a\cdot \cos 45^\circ=\displaystyle\frac{a^2\sqrt2}{4}\) và \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0.\)
Suy ra \(\cos \left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right)= \displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\).
Vậy \(\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right)= 45^\circ\).
Câu 26:
Cho tứ diện \(ABCD\). Hai điểm \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Cho biết \(AB = 10\), \(CD = 6\), \(MN = 7\).
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MN}= \displaystyle\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\right)\).
b) Từ kết quả câu a, hãy tính \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\).
c) Tính \(\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right)\).
a) Ta có
\begin{eqnarray*}\overrightarrow{MN} &=& \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BN}\\\overrightarrow{MN} &=& \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{CN}.\end{eqnarray*}
Do đó \(2 \overrightarrow{MN}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC} \Rightarrow \overrightarrow{MN}= \displaystyle\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\right)\).
b) Theo câu a) \(2 \overrightarrow{MN}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\), do đó
\begin{eqnarray*}4MN^2 &=& \left(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC}\right)^2\\&=& \overrightarrow{AB}^2+ \overrightarrow{DC}^2+ 2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\Rightarrow 4\cdot 7^2 &=& 10^2+6^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\\\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC} &=& 30.\end{eqnarray*}
c) Theo câu b) ta có
\begin{eqnarray*}30 &=& \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\\&=& AB\cdot DC\cdot\cos \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right)\\&=& 60 \cdot\cos \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right)\\\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right) &=& \displaystyle\frac{1}{2}\\\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}\right) &=& 60^\circ.\end{eqnarray*}
Câu 27:
Cho tứ diện \(A B C D\). Chứng minh rằng
a) \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{D C}\);
b) \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{D B}+\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}=0\).
a) Ta có \(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{D C}= \overrightarrow{C D}\left(\overrightarrow{A C} -\overrightarrow{B C} \right)=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D} \);
b) Ta có
\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{D B}+\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}\\&=&\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right) \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{D B}+\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}\\&= & \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{D C}+\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{D B}+\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B C}\\&=& \overrightarrow{A C} \cdot \left(\overrightarrow{C D} +\overrightarrow{D B}\right)+\overrightarrow{B C}\cdot\left(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{DC} \right)\\&=& \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AC}=0.\end{eqnarray*}
Câu 28:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính
\(\overrightarrow{A'B}\cdot \overrightarrow{D'C'}\); \(\overrightarrow{D'A} \cdot \overrightarrow{BC}\).
Ta có
+) \(\overrightarrow{A'B}\cdot \overrightarrow{D'C'} = \overrightarrow{D'C} \cdot \overrightarrow{D'C'} = D'C\cdot D'C' \cdot \cos 45^\circ= a\sqrt{2} \cdot a \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = a^2\).
+) \(\overrightarrow{D'A} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{AD} = - AD'\cdot AD\cdot \cos 45^\circ = - a\sqrt{2} \cdot a \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = -a^2 \).
Câu 29:
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), tam giác \(A'BC\) đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left(ABC\right)\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CC'\). Tính \(\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BM}\).
Ta có \(AH=A'H=\displaystyle\frac{a\sqrt 3}{2}\) và \(AH\perp BC,A'H\perp BC\) \(\Rightarrow BC\perp\left(AA'H\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp AA'\) hay \(BC\perp BB'\).
Do đó \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.
Khi đó \(CC'=AA'=\displaystyle\frac{a\sqrt 3}{2}\cdot\sqrt 2=\displaystyle\frac{a\sqrt 6}{2}\) \(\Rightarrow BM=\sqrt{a^2+\displaystyle\frac{a^2\cdot6}{16}}=a\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{22}}{4}\).
Do đó \(\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AA'}\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}\right)=0+AA'\cdot CM =\displaystyle\frac{3a^2}{4}\).
Câu 30:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\) và \(ABCD\) là hình vuông. Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Tính \(\overrightarrow{MS}.\overrightarrow{CB}\).
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp đều
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}SO\perp (ABCD)\\AC\perp BD\end{array}\right.\).
Do \(M\) là trung điểm của CD nên ta có
\(\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OM}=-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OS}\),
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC} =-\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\).
Do \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OS}\), \(\overrightarrow{OD}\) đôi một vuông góc với nhau nên ta có
\(\overrightarrow{MS}\cdot\overrightarrow{CB}=\displaystyle\frac{1}{2}OC^2+\displaystyle\frac{1}{2}OD^2=OC^2=\displaystyle\frac{a^2}{2}\).
Câu 1:
Cho biết công \(A\) (đơn vị: \(J\)) sinh bởi lực \(\overrightarrow{F}\) tác dụng lên một vật được tính bằng công thức \(A = \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{d}\), trong đó \(\overrightarrow{d}\) là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị của \(\left|\overrightarrow{d}\right|\) là m) khi chịu tác dụng của lực \(\overrightarrow{F}\).
Một chiếc xe có khối lượng \(1{,}5\) tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêng \(5^\circ\) so với phương ngang. Tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow{P}\) khi xe đi hết đoạn đường dốc dài \(30\) m (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực \(\overrightarrow{P}\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g}\), với \(m\) (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và \(\overrightarrow{g}\) là gia tốc rơi tự do có độ lớn \(g = 9{,}8\) m/s\(^2\).
Ta có \(1{,}5\) tấn = \(1~500\) kg.
Độ lớn của trọng lực tác dụng lên chiếc xe là \(\left|\overrightarrow{P}\right| = m \left|\overrightarrow{g}\right| = 1~500\cdot 9{,}8 = 14~700\) (N).
Vectơ d biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là \(\left|\overrightarrow{d}\right| = 30\) (m) và \( \left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)= 90^\circ - 5^\circ = 85^\circ\).
Công sinh ra bởi trọng lực \(\overrightarrow{P}\) khi xe đi hết đoạn đường dốc dài \(30\) m là
\(A=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{d}=\left|\overrightarrow{P}\right|\cdot\left|\overrightarrow{d}\right|\cdot\cos\left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)\) \(= 14~700\cdot 30\cdot \cos 85^\circ \approx 38~436~(J).\)
Câu 2:
Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như bên dưới. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) ) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các véc-tơ \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{e}\)).
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các véc-tơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\) và \(\overrightarrow{e}\).
b) Giải thích vì sao các véc-tơ \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{e}\) đôi một bằng nhau.
a) Các véc-tơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\) và \(\overrightarrow{e}\) cùng phương vì cùng vuông góc với mặt đất.
Các véc-tơ \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\) và \(\overrightarrow{e}\) cùng chiều vì cùng vuông góc với mặt đất và hướng lên. Các véc-tơ này ngược hướng với véc-tơ \(\overrightarrow{a}\).
b) Vì một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như bên dưới nên các véc-tơ \(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}\) và \(\overrightarrow{e}\) đôi một bằng nhau (cùng chịu một lực tác động như nhau).
Câu 3:
Người ta treo một vật trang trí \(O\) có khối lượng \(m = 2\) kg trên trần nhà bằng các sợi dây nhẹ, không co giãn tại các điểm \(A\), \(B\) và \(C\). Để bảo đảm lực phân phối đều trên các dây và tính thẩm mĩ, người ta chọn độ dài các dây sao cho \(OABC\) là tứ diện đều. Gọi \(\overrightarrow{T}_1\), \(\overrightarrow{T}_2\) và \(\overrightarrow{T}_3\) lần lượt là các lực căng dây của ba dây treo tại \(A\), \(B\) và \(C\). Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng trường \(g\) là \(10\) m/s\(^2\).
a) Tính cường độ của hợp lực.
b) Tính cường độ của lực căng trên mỗi dây.
a) Cường độ của hợp lực là
\(\left| \overrightarrow{P} \right|=m \cdot \left| \overrightarrow{g} \right|= 2 \cdot 10=20~\rm{(N)}.\)
\item Lực căng dây \(\overrightarrow{T}_1\), \(\overrightarrow{T}_2\) và \(\overrightarrow{T}_3\) bằng nhau. Gọi cường độ của mỗi lực căng là \(a\) (N).
Ta có \(-\overrightarrow{P}= \overrightarrow{T}_1+\overrightarrow{T}_2+\overrightarrow{T}_3\), do đó
\begin{eqnarray*}\left|\overrightarrow{P}\right|^2 &=& \left(\overrightarrow{T}_1+\overrightarrow{T}_2+\overrightarrow{T}_3\right)^2\\ &=& \overrightarrow{T}_1^2+\overrightarrow{T}_2^2+\overrightarrow{T}_3^2+2\overrightarrow{T}_1\cdot\overrightarrow{T}_2+2\overrightarrow{T}_2\cdot\overrightarrow{T}_3+2\overrightarrow{T}_3\cdot\overrightarrow{T}_1\\ &=& a^2+a^2+a^2+2\cdot a\cdot a\cdot \cos 60^\circ+2\cdot a\cdot a\cdot \cos 60^\circ+2\cdot a\cdot a\cdot \cos 60^\circ \\ &=& 6a^2.\end{eqnarray*}
Do đó \(6a^2=20^2 \Rightarrow a= \displaystyle\frac{10\sqrt6}{3} \approx 8{,}165\) (N).
Câu 4:
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \(ABCD\), mặt phẳng \((ABCD)\) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc \(E\) của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA\), \(EB\), \(EC\), \(ED\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc bằng \(60^\circ\). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rẳng các lực căng \(\overrightarrow{F_1}\), \(\overrightarrow{F_2}\), \(\overrightarrow{F_3}\), \(\overrightarrow{F_4}\) đều có cường độ là \(4700\) N và trọng lượng của khung sắt là \(3000\) N.
Lấy các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt trên các tia \(EA\), \(EB\), \(EC\), \(ED\) sao cho
\[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{F_1},\ \overrightarrow{EN} = \overrightarrow{F_2},\ \overrightarrow{EP} = \overrightarrow{F_3},\ \overrightarrow{EQ} = \overrightarrow{F_4}.\]
Do các lực căng \(\overrightarrow{F_1}\), \(\overrightarrow{F_2}\), \(\overrightarrow{F_3}\), \(\overrightarrow{F_4}\) đều có cường độ là \(4700\) N nên \(EM = EN = EP = EQ = 4700\).
Kết hợp \(EA = EB = EC = ED\) ta thu được \(MN \parallel AB\), \(NP\parallel BC\), \(PQ\parallel CD\), \(QM\parallel DA\).
Khi đó tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật và \(EM\), \(EN\), \(EP\), \(EQ\) cùng tạo với mặt phẳng \(MNPQ\) một góc \(60^\circ\).
Gọi \(O\) là tâm của \(MNPQ\). Khi đó \(O\) là trung điểm của \(MP\), \(NQ\) và \(OM = ON = OP = OQ\).
Do \(EM = EN = EP =EQ\) nên \(EO \parallel (MNPQ)\), do đó \(\widehat{EMO} = \left(EM;(MNPQ)\right) = 60^\circ\).
Suy ra \(EO = EM \sin 60^\circ = 2350\sqrt{3}\).
Gọi \(\overrightarrow{P}\) là trọng lực tác dụng lên cả hệ, do \(O\) là trung điểm \(MP\), \(NQ\) nên ta có:
\begin{eqnarray*}& \overrightarrow{P} & = \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}\\ & & = \overrightarrow{EM } + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EQ}\\ & & = \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{OQ}\\ & & = 4\overrightarrow{EO} + \left(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OP}\right) + \left(\overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OQ}\right)\\ & & = 4\overrightarrow{EO}.\end{eqnarray*}
Suy ra trọng lượng của toàn bộ hệ là \(\left| \overrightarrow{P} \right| = 4\left| \overrightarrow{EO}\right| = 4EO = 9400\sqrt{3}\) N.
Do trọng trượng khung sắt là \(3000\) N nên trọng lượng của xe ô tô là \(9400\sqrt{3} - 3000 \approx 13281\) N.
Câu 5:
Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn, xuất phát từ điểm \(O\) trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) trên đèn tròn sao cho các lực căng \(\overrightarrow{F_1}\), \(\overrightarrow{F_2}\), \(\overrightarrow{F_3}\) lần lượt trên mỗi dây \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(|\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F_3}| = 15\) (N). Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.
Gọi \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{F_1}\), \(\overrightarrow{OB_1} = \overrightarrow{F_2}\), \(\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{F_3}\).
Lấy các điểm \(D_1\), \(A'_1\), \(B'_1\), \(D'_1\) sao cho \(OA_1D_1B_1.C_1A'_1D'_1B'_1\) là hình hộp.
Khi đó áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:
\[\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OB_1} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OD'_1}.\]
Mặt khác, do các lực căng \(\overrightarrow{F_1}\), \(\overrightarrow{F_2}\), \(\overrightarrow{F_3}\) đôi một vuông góc và \(|\overrightarrow{F_1}| = |\overrightarrow{F_2}| = |\overrightarrow{F_3}| = 15\) (N) nên hình hộp \(OA_1D_1B_1.C_1A'_1D'_1B'_1\) có ba cạnh \(OA_1\), \(OB_1\), \(OC_1\) bằng nhau và đôi một vuông góc. Vì thế hình hộp đó là hình lập phương có độ dài cạnh bằng \(15\). Suy ra độ dài đường chéo \(OD'_1\) của hình lập phương đó bằng \(15\sqrt{3}\).
Do chiếc đèn treo ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{P}\), ở đó \(\overrightarrow{P}\) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.
Suy ra trọng lượng chiếc đèn là \(|\overrightarrow{P}| = |\overrightarrow{OD'_1}| = 15\sqrt{3}\) (N).
Câu 6:
Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (hình bên). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.
Gọi ba vectơ lực tác dụng lên sợi dây kéo ra như hình vẽ.
Vì điểm \(M\) đứng yên nên \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}\).
Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(AMBD\) suy ra \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}= \overrightarrow{MD}\).
Khi đó \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}\) hay \(M\), \(C\), \(D\) thẳng hàng.
Vậy \(M\), \(A\), \(B\), \(C\) đồng phẳng.
Câu 7:
Ta đã biết trọng tâm của tứ diện \(A B C D\) là một điểm \(I\) thoả mãn \(\overrightarrow{A I}=3 \overrightarrow{I G}\), ở đó \(G\) là trọng tâm của tam giác \(B C D\). Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là \(8 \mathrm{~cm}\) (hình bên).
Ta có khối rubik là một khối tứ diện đều nên \(AG\perp (BCD)\). Do đó theo giả thiết thì \(AG=8\) cm.
Suy ra khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó là \(IG=\displaystyle\frac{1}{4} AG=2\) cm.
Câu 8:
Một em nhỏ cân nặng \(m=25\) kg trượt trên cầu trượt dài \(3{,}5\) m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ\).
a) Tính độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}\) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow{g}\) có độ lớn là \(g=9{,}8 \text{m/s}^2\).
b) Cho biết công \(A(J)\) sinh bởi một lực \(\overrightarrow{F}\) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow{d}\) được tính bởi công thức \(A=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}\). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow{P}\) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
a) Vì \(\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}\) nên \(\left|\overrightarrow{P}\right|=m\cdot \left|\overrightarrow{g}\right|=25\cdot 9{,}8=245\) (N).
b) Công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow{P}\) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
\(A=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{P}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{P};\overrightarrow{AB}\right)=245\cdot 3{,}5\cdot \cos 60^\circ=428{,}75 \mathrm{~(J)}.\)
Câu 9:
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m=5 \mathrm{\,kg}\) được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat{ASC}=60^{\circ}\).
a) Sử dụng công thức \(\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}\) trong đó \(\overrightarrow{g}\) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \(10 \mathrm{\,m/s}^2\), tìm độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow{P}\) tác động lên chiếc đèn chùm.
b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.
a) Ta có \(\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}\) nên \(\left|\overrightarrow{P}\right|=m\cdot\left|\overrightarrow{g}\right|=5 \cdot 10=50 \mathrm{\,N}\).
Vậy độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow{P}\) tác động lên chiếc đèn chùm là \(50 \mathrm{\,N}\).
b) Gọi \(O\) là trọng tâm của chiếc đèn chùm cũng là chân đường cao hình chóp đều \(S.ABCD\).
Vẽ \(\overrightarrow{OP}\) biểu diễn trọng lực tác động lên đèn chùm với \(OP \perp (ABCD).\)
Khi đó lực căng mỗi sợi xích sẽ là \(\overrightarrow{AS}\), \(\overrightarrow{BS}\), \(\overrightarrow{CS}\), \(\overrightarrow{DS}\).
Chiếc đèn chùm đứng yên nên
\(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{DS}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}\).
Suy ra
\(\begin{aligned}\overrightarrow{OP}&=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\\&=2\overrightarrow{SO}+2\overrightarrow{SO}=4\overrightarrow{SO}.\end{aligned}\)
Suy ra \(SO=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot OP=\displaystyle\frac{50}{4}=\displaystyle\frac{25}{2}\).
Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) có \(\cos\widehat{OSA}=\displaystyle\frac{SO}{SA}\).
Suy ra lực căng mỗi sợi xích là \(SA=\displaystyle\frac{SO}{\cos 30^{\circ}}=\displaystyle\frac{\tfrac{25}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\displaystyle\frac{25\sqrt{3}}{3} \mathrm{\,N}\).
Câu 10:
Một hệ thống hành lang, thang máy và thang cuốn trong một toà nhà được cho như hình vẽ, trong đó các hành lang được biểu diễn bằng đoạn \(AC\) và các cạnh của hai tứ giác \(ABCD\), \(A'B'C'D'\), các thang máy được biểu diễn bằng các đoạn thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) và thang cuốn được biểu diễn bởi đoạn \(AC'\). Biết \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật.
a) Có thể lập được bao nhiêu vectơ có giá là các đường thẳng chứa các đoạn biểu diễn hành lang, thang máy và thang cuốn, với các đầu mút là hai trong số các điểm trên hình vẽ?
b) Trong các vectơ trên, liệt kê các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{AB}\).
c) Trong các vectơ trên, liệt kê các vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{AA'}\)
d) Trong các vectơ trên, liệt kê các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow{B'C'}\).
a) Trên hình vẽ có \(28\) vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AA'}\), \(\overrightarrow{A'A}\), \(\overrightarrow{BB'}\), \(\overrightarrow{B'B}\), \(\overrightarrow{CC'}\), \(\overrightarrow{C'C}\), \(\overrightarrow{DD'}\), \(\overrightarrow{D'D}\), \(\overrightarrow{AC'}\), \(\overrightarrow{C'A}\), \(\overrightarrow{A'B'}\), \(\overrightarrow{B'A'}\), \(\overrightarrow{B'C'}\), \(\overrightarrow{C'B'}\), \(\overrightarrow{C'D'}\), \(\overrightarrow{D'C'}\), \(\overrightarrow{A'D'}\), \(\overrightarrow{D'A'}\).
b) Các vectơ cùng phương với vectơ \(AB\) là \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{A'B'}\), \(\overrightarrow{B'A'}\), \(\overrightarrow{C'D'}\), \(\overrightarrow{D'C'}\).
c) Các vectơ ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow{AA'}\) là \(\overrightarrow{A'A}\), \(\overrightarrow{B'B}\), \(\overrightarrow{C'C}\), \(\overrightarrow{D'D}\).
d) Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow{B'C'}\) là \(\overrightarrow{A'D'}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AD}\).
Câu 11:
Trong điện trường đều, lực tĩnh điện \(\overrightarrow{F}\) (đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích \(q\) (đơn vị: C) được tính theo công thức \(\overrightarrow{F}=q \cdot \overrightarrow{E}\), trong đó \(\overrightarrow{E}\) là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi \(q=10^{-9}\) C và độ lớn điện trường \(E=10^5\) N/C.
Từ công thức \(\overrightarrow{F}=q \cdot \overrightarrow{E}\) suy ra
\(\begin{aligned}[t]|\overrightarrow{F}| &=q|\overrightarrow{E}| \\&=10^{-9} \cdot 10^5\\&=10^{-4} \text{ N}.\end{aligned}\)
Vậy độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm là \(10^{-4}\) N.
Câu 12:
Một lực tĩnh điện \(\overrightarrow{F}\) tác động lên điện tích điểm \(M\) trong điện trường đều làm cho \(M\) dịch chuyển theo đường gấp khúc \(MNP\). Biết \(q=2 \cdot 10^{-12}\) C, vectơ điện trường có độ lớn \(E=1{,}8 \cdot 10^5\) N/C và \(d=MH = 5\) mm. Tính công \(A\) sinh bởi lực tĩnh điện \(\overrightarrow{F}\).
Công \(A\) sinh bởi lực tĩnh điện \(\overrightarrow{F}\) là \(A=2 \cdot 10^{-12} \cdot 1{,}8 \cdot 10^5 \cdot 5 = 18 \cdot 10^{-7}\) J.