\(\S3.\) ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
1. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoànhvà hai đường thẳng \(\mathbf{x=a}\), \(\mathbf{x=b}\)
Cho hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường: \(\begin{cases}y=f(x)\\ y=0\\ x=a\\ x=b\end{cases}\)
Khi đó, diện tích của hình phẳng \((H)\) được tính theo công thức \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x.\)
Chú ý:
\(\bullet\quad\) Nếu \(f(x)\) vô nghiệm trên khoảng \((a;b)\) thì
\[S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x=\left|\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x\right|.\]
\(\bullet\quad\) Có thể khử dấu giá trị tuyệt đối dựa trên đồ thị
\[S=\displaystyle\int\limits^c_a f(x)\mathrm{\,d}x-\int\limits^d_c f(x)\mathrm{\,d}x+\int\limits^b_d f(x)\mathrm{\,d}x.\]
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đườngthẳng \(\mathbf{x=a}\), \(\mathbf{x=b}\)
Cho hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường: \(\begin{cases}y=f(x)\\ y=g(x)\\ x=a\\ x=b\end{cases}\)
Khi đó, diện tích của hình phẳng \((H)\) được tính theo công thức \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x.\)
Chú ý: Nếu có đồ thị, chúng ta có thể khử dấu trị tuyệt đối
\[S=\displaystyle\int\limits_{a}^{c}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x+\int\limits_{c}^{b}\left[g(x)-f(x)\right]\mathrm{d}x.\]
3. Thể tích vật thể khi biết diện tích mặt cắt
\[V=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}S(x)\mathrm{\,d}x.\]
4. Thể tích khối tròn xoay
Cho hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường: \(\begin{cases}y=f(x)\\ y=0\\ x=a\\ x=b.\end{cases}\)
Quay \((H)\) quanh trục hoành thu được hình tròn xoay:
Thể tích của hình tròn xoay được tính theo công thức
\[V=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}S(x)\mathrm{d}x=\pi\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x.\]