Cỡ mẫu là \(n=3+12+15+24+2=56\).

Gọi \(x_1,\,\ldots,\,x_{56}\) là thời gian vào internet của \(56\) học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là \(\displaystyle\frac{x_{28}+x_{29}}{2}\). Do \(2\) giá trị \(x_{28},\,x_{29}\) thuộc nhóm \(\left[15{,}5;18{,}5 \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó, \(p=3\); \(a_3=15{,}5\); \(m_3=15\); \(m_1+m_2=3+12=15\); \(a_4-a_3=3\) và ta có \(M_e=15{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{56}{2}-15}{15}\cdot 3=18{,}1.\)

}

Số phần tử của mẫu là \(n=40\).

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4} = 10\), mà \(2<10<12\) nên nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(10\).

Xét nhóm \(2\) là nhóm \(\left[40;50\right)\) có \(s=40\), \(h=10\), \(n_2=10\) và nhóm \(1\) có \(cf_1 = 2\).

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất là

\[Q_1 = 40 + \displaystyle\frac{10-2}{10} \cdot 10 = 48\text{ (kg)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{2} = 20\), mà \(12<20<28\) nên nhóm \(3\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(20\).

Xét nhóm \(3\) là nhóm \(\left[50;60\right)\) có \(r=50\), \(d=10\), \(n_3=16\) và nhóm \(2\) có \(cf_2 = 12\).

Khi đó, tứ phân vị thứ hai là

\[Q_2 = 50 + \displaystyle\frac{20-12}{16} \cdot 10 = 55\text{ (kg)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{3n}{4} = 30\), mà \(28<30<36\) nên nhóm \(4\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(30\).

Xét nhóm \(4\) là nhóm \(\left[60;70\right)\) có \(t=50\), \(l=10\), \(n_4=8\) và nhóm \(3\) có \(cf_3 = 28\).

Khi đó, tứ phân vị thứ ba là

\[Q_3 = 60 + \displaystyle\frac{30-28}{8} \cdot 10 = 62{,}5\text{ (kg)}.\]

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \(48\), \(55\) và \(62{,}5\).

}

a) Bảng bên là bảng tần số ghép nhóm cho kết quả kiểm tra môn Toán của lớp \(11D\).

\begin{array}{|c|c|}\hline \textbf{Nhóm} & \textbf{Tần số}\\ \hline \left[3;5\right) & 5\\ \hline\left[5;7\right) & 18\\ \hline \left[7;9\right) & 10\\ \hline \left[9;11\right) & 7\\ \hline & n = 40 \\ \hline\end{array}

b) Ta thấy: Nhóm \(2\) ứng với nửa khoảng \(\left[5;7\right)\) là nhóm có tần số lớn nhất với \(u=5\), \(g=2\), \(n_2 = 18\). Nhóm \(1\) có tần số \(n_1 = 5\), nhóm \(3\) có tần số \(n_3=10\).

Khi đó, mốt của mẫu số liệu là

\[M_o = 5 + \left( \displaystyle\frac{18- 5}{2\cdot 18 - 5 - 10} \right) \cdot 2 \approx 6{,}2.\]

}

a)

+) Trung bình cộng của mẫu số liệu trên là

\[\overline{x} = \displaystyle\frac{35 \cdot 4 + 45 \cdot 10 + 55 \cdot 14 + 65 \cdot 6 + 75 \cdot 4 + 85 \cdot 2}{40} = 55{,}5\text{ (cm)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{2} = 20\), mà \(14<20<28\) nên nhóm \(3\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(20\).

Xét nhóm \(3\) là nhóm \(\left[50;60\right)\) có \(r=50\), \(d=10\), \(n_3=14\) và nhóm \(2\) có \(cf_2 = 14\).

Khi đó, tứ phân vị thứ hai (cũng là trung vị) là

\[Q_2 = M_e = 50 + \displaystyle\frac{20 - 14}{14} \cdot 10 = 54{,}3\text{ (cm)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4} = 10\), mà \(4 < 10 < 14\) nên nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(10\).

Xét nhóm \(2\) là nhóm \(\left[40;50\right)\) có \(s=40\), \(h=10\), \(n_2=10\) và nhóm \(1\) có \(cf_1 = 4\).

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất là

\[Q_1 = 40 + \displaystyle\frac{10 - 4}{10} \cdot 10 = 46\text{ (cm)}.\]

+) Ta có \(\displaystyle\frac{3n}{4} = 30\), mà \(28 < 30 < 34\) nên nhóm \(4\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(30\).

Xét nhóm \(4\) là nhóm \(\left[60;70\right)\) có \(t = 60\), \(l = 10\), \(n_4 = 6\) và nhóm \(3\) có \(cf_3 = 28\).

Khi đó, tứ phân vị thứ ba là

\[Q_3 = 60 + \displaystyle\frac{30 - 28}{6} \cdot 10 \approx 63{,}3\text{ (cm)}.\]

Vậy \(55{,}5\text{ (cm)}\) là trung bình mẫu, \(54{,}3\text{ (cm)}\) là trung vị của mẫu và \(Q_1 = 46\text{ (cm)}\), \(Q_2 = 54{,}3\text{ (cm)}\), \(Q_3 = 63{,}3\text{ (cm)}\) là tứ phân vị của mẫu.

b) Ta thấy: Nhóm \(3\) ứng với nửa khoảng \(\left[50;60\right)\) là nhóm có tần số lớn nhất với \(u=50\), \(g=10\), \(n_3 = 14\). Nhóm \(2\) có tần số \(n_2 = 10\), nhóm \(4\) có tần số \(n_4 = 6\).

Khi đó, mốt của mẫu số liệu là

\[M_o = 50 + \left( \displaystyle\frac{14 - 10}{2\cdot 14 - 10 - 6} \right) \cdot 10 \approx 53{,}3\text{ (cm)}.\]

}

Vì số lượng sách được mượn là số nguyên nên ta hiệu chỉnh bảng tần số ghép nhóm (theo giá trị đại diện) như sau

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Số sách} &[15{,}5; 20{,}5) &[20{,}5; 25{,}5) &[25{,}5; 30{,}5) &[30{,}5; 35{,}5) &[35{,}5; 40{,}5] &[40{,}5; 45{,}5) &[45{,}5; 50{,}5) \\ \hline \text{GT đại diện} &18 &23 &28 &33 &38 &43 &48 \\ \hline \text{Số ngày} & 3 & 6 & 15 & 27 & 22 & 14 & 5 \\ \hline \end{array}

Trung bình số lượng sách được mượn mỗi ngày trong 3 tháng của thư viện là

\[\overline{x}=\displaystyle\frac{18\cdot 3+23\cdot 6+28\cdot 15+33\cdot 27+38\cdot 22+43\cdot 14+48\cdot 5}{92}\approx 34{,}58. \]

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \([30{,}5; 35{,}5)\).

Do đó \(u_m=30{,}5\); \(n_{m-1}=15\); \(n_m=27\); \(n_{m+1}=22\); \(u_{m+1}-u_m=35{,}5-30{,}5=5\).

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[M_0=30{,}5+\displaystyle\frac{27-15}{(27-15)+(27-22)} \cdot 5\approx 34{,}03. \]

}

Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Số vỏ chai nhựa} & \left[ 10{,}5 ; 15{,}5\right) & \left[ 15{,}5 ; 20{,}5\right) & \left[ 20{,}5 ; 25{,}5\right) & \left[ 25{,}5 ; 30{,}5\right) & \left[30{,}5 ; 35{,}5 \right) \\ \hline \textbf{Số học sinh}& 53 & 82 & 48 & 39 & 18 \\ \hline \end{array}

Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ chai nhựa là \( n=53+82+48+39+18=240.\)

Gọi \( x_1; x_2; \ldots ; x_{240} \) lần lượt là số vỏ chai \( 240 \) học sinh khối \( 11 \) thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm.

Do \( x_1, \ldots, x_{53}\in \left[10{,}5 ; 15{,}5 \right) \); \( x_{54}, \ldots, x_{135}\in \left[ 15{,}5 ; 20{,}5\right)\) nên trung vị của mẫu số liệu \( x_1; x_2; \ldots;x_{240} \) là \( \displaystyle\frac{1}{2}\left( x_{120}+x_{121}\right)\in \left[ 15{,}5 ; 20{,}5\right).\)

Ta xác định được \( n=240\); \( n_m=82 \); \( C=53 \); \( u_m=15{,}5 \); \( u_{m+1}=20{,}5 \).

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \( M_e=15{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{240}{2}-53}{82}\cdot \left( 20{,}5-15{,}5\right)=\displaystyle\frac{803}{41}\approx 19{,}59. \)

}

Số vận động viên tham gia là \(n=5+12+32+45+30=124.\)

Gọi \( x_1; x_2; \ldots ; x_{124} \) lần lượt là thời gian chạy \( 200 \) m của \( 124 \) vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Do \( x_1, \ldots, x_5 \in \left[ 21 ; 21{,}5 \right)\), \( x_6, \ldots, x_{17} \in \left[ 21{,}5 ; 22\right) \), \( x_{18}, \ldots, x_{49} \in \left[22 ; 22{,}5\right) \), \( x_{50},\ldots, x_{94} \in \left[ 22{,}5 ; 23\right) \) nên trung vị của mẫu số liệu \( x_1; x_2; \ldots ;x_{124} \) là

\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( x_{62}+x_{63}\right) \in \left[ 22{,}5 ; 23\right).\)

Ta xác định được \( n=124 \); \( n_m=45\); \( C=5+12+32=49 \); \( u_m= 22{,}5\); \( u_{m+1}=23\).

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(M_e=22{,}5 +\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{124}{2}-49}{45}\cdot \left( 23-22{,}5\right)= \displaystyle\frac{1019}{45}\approx 22{,}64.\)

Vậy ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá \( 22{,}64\) (giây) được tiếp tục thi vòng hai.

}

Số vận động viên được khảo sát là \( n=3+8+12+12+4=39\).

Gọi \( x_1 \); \( x_2 \); \(\ldots\) ;\( x_{39} \) là thời gian luyện tập của \( 39 \) vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \( x_1, x_2, x_3 \in \left[ 0 ; 2\right) \); \( x_4\), \(\ldots\), \(x_{11}\in \left[2 ; 4 \right) \); \( x_{12}\), \(\ldots\), \(x_{23}\in \left[ 4 ; 6\right) \); \( x_{24}\), \(\ldots\), \(x_{35}\in \left[6;8\right) \); \( x_{36}\), \(\ldots\) , \(x_{39}\in \left[ 8 ; 10\right) \).

Do đó đối với dãy số liệu \( x_1 \); \( x_2 \); \(\ldots\); \( x_{39} \) thì

+) Tứ phân vị thứ nhất là \( x_{10} \) thuộc nhóm \(\left[ 2 ; 4\right)\);

+) Tứ phân vị thứ hai là \( x_{20} \) thuộc nhóm \( \left[ 4 ; 6\right)\);

+) Tứ phân vị thứ ba là \( x_{30} \) thuộc nhóm \( \left[ 6 ; 8\right) \).

Ta nói nhóm \( \left[2 ; 4 \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất; nhóm \( \left[ 4 ; 6\right) \) là nhóm tứ phân vị thứ hai; nhóm \( \left[ 6 ; 8\right) \) là nhóm chứa tứ phân vị thứ ba.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \( x_1; x_2\); \(\ldots\) ; \(x_{39}\) là \( x_{20}\in \left[ 4 ; 6\right) \).

Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_2=4+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2\cdot 39}{4}-(3+8)}{12}\cdot(6-4)=\displaystyle\frac{65}{12}\approx 5{,}417.\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu \( x_1; x_2\); \(\ldots\) ; \(x_{39}\) là \( x_{10}\in \left[ 2 ; 4\right) \).

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_1=2+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1\cdot 39}{4}-3}{8}\cdot(4-2)=\displaystyle\frac{59}{16}\approx 3{,}6875.\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu \( x_1; x_2\); \(\ldots\) ; \(x_{39}\) là \( x_{30}\in \left[ 6 ; 8\right) \).

Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_3=6+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 39}{4}-(3+8+12)}{12}\cdot(8-6)=\displaystyle\frac{169}{24}\approx 7{,}042.\)

Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm \( 25\% \) các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất thì huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian tập luyện từ \( Q_3 \approx 7{,}042\) (giờ).

}

a) Do số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Số lần gặp sự cố} & \left[ 0{,}5 ; 2{,}5\right) & \left[ 2{,}5 ; 4{,}5\right) & \left[4{,}5 ; 6{,}5 \right) & \left[ 6{,}5 ; 8{,}5\right) & \left[8{,}5 ; 10{,}5 \right) \\ \hline \textbf{Số xe} & 17 & 33 & 25 & 20 & 5 \\ \hline \end{array}

Gọi \( x_1; x_2\); \(\ldots\); \(x_{100} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \( x_1, \ldots, x_{17}\in \left[ 0{,}5 ; 2{,}5\right) \); \( x_{18}, \ldots, x_{50}\in \left[ 2{,}5 ; 4{,}5\right) \); \( x_{51}, \ldots, x_{75}\in \left[ 4{,}5 ; 6{,}5\right) \); \( x_{76}, \ldots, x_{95}\in \left[ 6{,}5 ; 8{,}5\right) \); \( x_{96}, \ldots, x_{100}\in \left[ 8{,}5 ; 10{,}5\right) \).

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{100} \) là \( \displaystyle\frac{1}{2}\left( x_{50}+x_{51}\right) \). Do \( x_{50}\in \left[ 2{,}5 ; 4{,}5\right) \) và \( x_{51}\in \left[4{,}5 ; 6{,}5 \right) \) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \( Q_2=4{,}5\).

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{100} \) là \( \displaystyle\frac{1}{2}\left( x_{25}+x_{26}\right) \).

Do \( x_{25} \) và \( x_{26} \) thuộc nhóm \( \left[2{,}5 ; 4{,}5 \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=2{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1\cdot100}{4}-17}{33}\cdot (4{,}5-2{,}5)=\displaystyle\frac{197}{66}\approx 2{,}98.\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu

\(x_1; x_2; \ldots; x_{100} \) là \( \displaystyle\frac{1}{2}\left(x_{75}+x_{76} \right)\).

Do \( x_{75}\in \left[4{,}5 ; 6{,}5 \right) \) và \( x_{76}\in \left[ 6{,}5 ; 8{,}5\right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \( Q_3=6{,}5\).

b) Do tứ phân vị thứ nhất \( Q_1\approx 2{,}98 \) nên nhận định trên là hợp lý.

}

Gọi \( x_1; x_2; \ldots; x_{33} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \( x_1, \ldots, x_{8}\in \left[ 0 ; 60\right) \); \( x_9, \ldots, x_{18} \in \left[ 60 ; 120\right) \), \( x_{19}, \ldots, x_{25} \in \left[ 120 ; 180\right) \); \( x_{26}, \ldots, x_{30} \in \left[ 180 ; 240\right) \); \( x_{31}, x_{32} \in \left[ 240 ; 300\right) \); \( x_{33}\in \left[ 300 ; 360\right) \).

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{33} \) là \( x_9\in \left[60 ; 120 \right) \) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\( Q_1=60+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{33}{4}-8}{10}\cdot (120-60)=\displaystyle\frac{123}{2} \approx 61{,}5.\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{33} \) là \( x_{17}\in \left[60 ; 120 \right) \) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \( Q_2=60+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{33}{2}-8}{10}\cdot (120-60)=111.\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{33} \) là \( x_{25}\in \left[120 ; 180 \right) \) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \( Q_3=120+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{33\cdot3}{4}-(8+10)}{7}\cdot (180-120)=\displaystyle\frac{1245}{7}\approx 177{,}857.\)

}

a) Do số bệnh nhân đến khám là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Số bệnh nhân} & \left[0{,}5 ; 10{,}5 \right) & \left[ 10{,}5 ; 20{,}5\right) & \left[ 20{,}5 ; 30{,}5\right) & \left[ 30{,}5 ; 40{,}5\right) & \left[40{,}5 ; 50{,}5 \right) \\ \hline \textbf{Số ngày} & 7 & 8 & 7 & 6 & 2 \\ \hline \end{array}

Gọi \( x_1; x_2; \ldots; x_{30} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \( x_1, \ldots, x_{7}\in \left[ 0{,}5 ; 10{,}5\right) \); \( x_8, \ldots, x_{15} \in \left[ 10{,}5 ; 20{,}5\right) \), \( x_{16}, \ldots, x_{22} \in \left[ 20{,}5 ; 30{,}5\right) \); \( x_{23}, \ldots, x_{28} \in \left[ 30{,}5 ; 40{,}5\right) \); \( x_{29}, x_{30} \in \left[ 40{,}5 ; 50{,}5\right) \).

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{30} \) là \( x_8 \in \left[10{,}5 ; 20{,}5 \right) \) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \( Q_1=10{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{30}{4}-7}{8}\cdot (20{,}5-10{,}5)=\displaystyle\frac{89}{8}\approx 11{,}125.\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{30} \) là \( \displaystyle\frac{1}{2}\left( x_{15}+x_{16}\right) \). Do \( x_{15} \in \left[ 10{,}5 ; 20{,}5 \right) \) và \( x_{16}\in \left[ 20{,}5 ; 30{,}5\right) \) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \( Q_2=20{,}5 \).

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \( x_1; x_2; \ldots; x_{30} \) là \( x_{23}\in \left[ 30{,}5 ; 40{,}5\right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_3= 30{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 30}{4}-(7+8+7)}{6}\cdot(40{,}5-30{,}5)=\displaystyle\frac{94}{3}\approx 31{,}333.\)

b) Do \( Q_1\approx 11{,}125 \) nên nhận định \( 25\% \) số ngày khám nhiều hơn \( 35 \) bệnh nhân là không hợp lý.

}

a) Gọi \( x_1 \), \( x_2 \), \ldots, \( x_{24} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có bảng sau

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} & x_{11} & x_{12} \\\hline 6{,}5 & 6{,}7 & 6{,}7 & 8{,}3 & 8{,}4 & 8{,}9 & 9{,}2 & 9{,}6 & 9{,}8 & 10{,}0 & 10{,}0 & 10{,}7 \\ \hline x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} & x_{19} & x_{20} & x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} \\ \hline 10{,}9 & 11{,}1 & 11{,}2 & 11{,}7 & 11{,}9 & 12{,}2 & 12{,}5 & 12{,}7 & 13{,}1 & 13{,}2 & 13{,}6 & 13{,}8 \\ \hline \end{array}

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_6+x_7\right)= \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( 8{,}9+9{,}2\right)=\displaystyle\frac{181}{10}=18{,}1\).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{12}+x_{13}\right)= \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( 10{,}7+10{,}9\right)=\displaystyle\frac{54}{5}=10{,}8\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{18}+x_{19}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( 12{,}2+12{,}5\right) =\displaystyle\frac{247}{20}=12{,}35\).

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Lương tháng (triệu đồng)} & \left[ 6 ; 8\right) & \left[8 ; 10 \right) & \left[10 ; 12 \right) & \left[ 12 ; 14\right) \\ \hline \textbf{Số nhân viên}& 3 & 6 & 8 & 7 \\ \hline \end{array}

c) Gọi \( x_1 \), \( x_2 \), \ldots, \( x_{24} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \( x_1, \ldots, x_3 \in \left[ 6 ; 8\right) \); \( x_4, \ldots, x_9 \in \left[8 ; 10 \right)\); \( x_{10}, \ldots, x_{17}\in \left[10 ; 12 \right) \); \( x_{18}, \ldots, x_{24}\in \left[ 12 ; 14\right) \).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_6+x_7\right) \in \left[8 ; 10 \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_1= 8+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{24}{4}-3}{6} \cdot \left( 10-8\right)=9.\)

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{12}+x_{13}\right) \in \left[10 ; 12 \right)\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_2= 10+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{24}{2}-(3+6)}{8} \cdot \left( 12-10\right)=\displaystyle\frac{43}{4}=10{,}75.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{18}+x_{19}\right)\in \left[ 12 ; 14\right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_3= 12+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{24\cdot 3}{4}-(3+6+8)}{7} \cdot \left( 14-12\right)=\displaystyle\frac{86}{7}\approx 12{,}286.\)

}

a) Gọi \( x_1 \), \( x_2 \), \(\ldots\), \( x_{20} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có bảng sau

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 & x_9 & x_{10} \\ \hline 6 & 8 & 8 & 10 & 11 & 11 & 12 & 13 & 14 & 14 \\ \hline x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & x_{15} & x_{16} & x_{17} & x_{18} & x_{19} & x_{20} \\ \hline 14 & 15 & 18 & 18 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 25 \\\hline \end{array}

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{5}+x_6\right) =\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( 11+11\right)=11\).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( x_{10}+x_{11}\right)= \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( 14+14\right)=14\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( x_{15}+x_{16}\right)= \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( 21+22\right)=21{,}5\).

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Điểm số} & \left[ 6 ; 10\right] & \left[ 11 ; 15\right] & \left[16 ; 20 \right] & \left[ 21 ; 25\right] \\ \hline \textbf{Số trận} 4 & 8 & 2 & 6 \\ \hline \end{array}

c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.

Vì số điểm của cầu thủ bóng rổ là số nguyên nên ta hiệu chỉnh bảng số liệu tần số ghép nhóm như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Điểm số} & \left[ 5{,}5 ; 10{,}5\right) & \left[ 10{,}5 ; 15{,}5\right) & \left[15{,}5 ; 20{,}5 \right) & \left[ 20{,}5 ; 25{,}5\right) \\ \hline \textbf{Số trận} & 4 & 8 & 2 & 6 \\ \hline \end{array}

Gọi \( x_1 \), \( x_2 \), \( \ldots \), \( x_{20} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \( x_1, \ldots, x_4 \in \left[ 5{,}5 ; 10{,}5\right) \); \( x_5 \ldots, x_{12} \in \left[ 10{,}5 ; 15{,}5\right)\); \( x_{13}, x_{14}\in \left[15{,}5 ; 20{,}5 \right) \); \( x_{15}, \ldots, x_{20} \in \left[ 20{,}5 ; 25{,}5\right) \).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{5}+x_6\right) \in \left[ 10{,}5 ; 15{,}5\right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_1=10{,}5 +\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{4}-4}{8}\cdot \left(15{,}5-10{,}5 \right)=\displaystyle\frac{89}{8}=11{,}125.\)

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{10}+x_{11}\right) \in \left[ 10{,}5 ; 15{,}5\right)\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_2=10{,}5 +\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{2}-4}{8}\cdot \left(15{,}5-10{,}5 \right)=\displaystyle\frac{57}{4}=14{,}25.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( x_{15}+x_{16}\right) \in \left[ 20{,}5 ; 25{,}5\right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \(Q_3=20{,}5 +\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20\cdot 3}{4}-(4+8+2)}{6}\cdot \left(25{,}5-20{,}5 \right)=\displaystyle\frac{64}{3}\approx 21{,}333.\)

}

+) Tìm số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Ta có bảng thống kê điện lượng của pin theo giá trị đại diện là:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Điện lượng (nghìn mAh)} & \left[ 0{,}9 ; 0{,}95\right) & \left[ 0{,}95 ; 1{,}0\right) & \left[ 1{,}0 ; 1{,}05\right) & \left[ 1{,}05 ; 1{,}1\right) & \left[ 1{,}1 ; 1{,}15\right) \\ \hline \textbf{Giá trị đại diện}& 0{,}925 & 0{,}975 & 1{,}025 & 1{,}075 & 1{,}125 \\ \hline \textbf{Số viên pin}& 10 & 20 & 35 & 15 & 5 \\ \hline \end{array}

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm theo dõi điện lượng của một số viên pin xấp xỉ bằng: \( \displaystyle\frac{0{,}925\cdot 10 + 0{,}975\cdot 20 +1{,}025 \cdot 35 +1{,}075 \cdot 15+1{,}125 \cdot 5}{10+20+35+15+5}\approx 1{,}016. \)

+) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \( \left[ 1{,}0 ; 1{,}05\right) \).

Do đó \( u_m=1\); \( n_{m-1}=20 \); \( n_m=35 \); \( n_{m+1}=15 \); \( u_{m+1}-u_m=1{,}05-1{,}0=0{,}05 \).

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là \(M_0=1+\displaystyle\frac{35-20}{(35-20)+(35-15)}\cdot 0{,}05 =\displaystyle\frac{143}{140}\approx 1{,}021.\)

+) Tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Gọi \( x_1 \), \( x_2 \), \( \ldots \), \( x_{85} \) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \( x_1, \ldots, x_{10}\in \left[ 0{,}9 ; 0{,}95\right)\); \( x_{11}, \ldots, x_{30}\in \left[ 0{,}95 ; 1{,}0\right) \); \( x_{31}, \ldots, x_{65}\in \left[ 1{,}0 ; 1{,}05\right) \); \( x_{66}, \ldots, x_{80}\in \left[ 1{,}05 ; 1{,}1\right) \); \( x_{81}, \ldots, x_{85}\in \left[ 1{,}1 ; 1{,}15\right)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \( x_{22} \in \left[ 0{,}95 ; 1{,}0\right) \) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=0{,}95+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{85}{4}-10}{20}\cdot \left( 1{,}0-0{,}95\right)= \displaystyle\frac{313}{320}\approx 0{,}978.\)

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \( x_{43} \in \left[ 1{,}0 ; 1{,}05\right) \) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_2=1{,}0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{85}{2}-(10+20)}{35}\cdot \left( 1{,}05-1{,}0\right)=\displaystyle\frac{57}{56} \approx 1{,}018.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \( x_{64} \in \left[ 1{,}0 ; 1{,}05\right) \) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=1{,}0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{85\cdot 3}{4}-(10+20)}{35}\cdot \left( 1{,}05-1{,}0\right)=\displaystyle\frac{587}{560} \approx 1{,}048.\)

}

a) Bảng tần số ghép nhóm thống kê cân nặng của lợn con mới sinh giống \( A \) và giống \( B \) như sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \textbf{Cân nặng (kg)} & \left[1{,}0 ; 1{,}1 \right) & \left[1{,}1 ; 1{,}2 \right) & \left[1{,}2 ; 1{,}3 \right) & \left[1{,}3 ; 1{,}4 \right) \\ \hline \textbf{Giá trị đại diện (kg)} & 1{,}05 & 1{,}15 & 1{,}25 & 1{,}35 \\ \hline \textbf{Giống A (con)} & 8 & 28 & 32 & 17 \\ \hline \textbf{Giống B (con)} & 13 & 14 & 24 & 14 \\ \hline \end{array}

Cân nặng trung bình của lợn con mới sinh giống \( A \) là \( \displaystyle\frac{1{,}05\cdot 8 + 1{,}15 \cdot 28 + 1{,}25 \cdot 32 + 1{,}35 \cdot 17}{8+28+32+17}=\displaystyle\frac{2071}{1700}\approx 1{,}218.\)

Cân nặng trung bình của lợn con mới sinh giống \( B \) là \( \displaystyle\frac{1{,}05\cdot 13 + 1{,}15 \cdot 14 + 1{,}25 \cdot 24 + 1{,}35 \cdot 14}{13+14+24+14}=\displaystyle\frac{121}{100} \approx 1{,}21.\)

Suy ra cân nặng trung bình của lợn con mới sinh giống \( A \) lớn hơn cân nặng trung bình của lợn con mới sinh giống \( B \).

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng của lợn con giống \( A \) là \(M_e=1{,}2+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{85}{2}-(8+28)}{32}\cdot (1{,}3-1{,}2)=\displaystyle\frac{781}{640}\approx 1{,}22.\)

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng của lợn con giống \( B \) là \(M_e=1{,}2+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{65}{2}-(13+14)}{24}\cdot (1{,}3-1{,}2)=\displaystyle\frac{587}{480}\approx 1{,}22.\)

Suy ra trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng của của lợn con giống \( A \) bằng trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng của của lợn con giống \( B \).

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống \( A \) và của cân nặng lợn con mới sinh giống \( B \).

+) Đối với mẫu dữ liệu ghép nhóm cân nặng lợn con mới sinh giống \( A \) có:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng lợn con mới sinh giống \( A \) thuộc \( \left[ 1{,}1 ; 1{,}2\right) \) nên \( Q_1= 1{,}1+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{85}{4}-8}{28}\cdot \left( 1{,}2-1{,}1\right)= \displaystyle\frac{257}{224}\approx 1{,}147.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng lợn con mới sinh giống \( A \) thuộc \( \left[ 1{,}2 ; 1{,}3\right) \) nên \( Q_3= 1{,}2+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{85\cdot3 }{4}-(8+28)}{32}\cdot \left( 1{,}3-1{,}2\right)= \displaystyle\frac{1647}{1280}\approx 1{,}287.\)

+) Đối với mẫu dữ liệu ghép nhóm cân nặng lợn con mới sinh giống \( B \) có:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng lợn con mới sinh giống \( B \) thuộc \( \left[ 1{,}1 ; 1{,}2\right) \) nên \( Q_1= 1{,}1+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{65}{4}-13}{14}\cdot \left( 1{,}2-1{,}1\right)= \displaystyle\frac{629}{560}\approx 1{,}123.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm cân nặng lợn con mới sinh giống \( B \) thuộc \( \left[ 1{,}2 ; 1{,}3\right) \) nên \( Q_3= 1{,}2+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{65\cdot 3}{4}-(13+14)}{24}\cdot \left( 1{,}3-1{,}2\right)= \displaystyle\frac{413}{320}\approx 1{,}291.\)

}

a) Thời gian sử dụng trung bình

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{2\cdot8 +5\cdot10 +7\cdot12 +6\cdot14 +3\cdot16}{2+5+7+6+3}=\displaystyle\frac{282}{23}\approx 12{,}26.\)

a) Nhận định

a) Tứ phân vị thứ nhất. Nhóm \(\left[9;11\right)\)

\hspace*{2cm}\(Q_1=9+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1\cdot 23}{4}-2}{5}\cdot \left(11-9\right)= \displaystyle\frac{21}{2}=10{,}5.\)

a) Tứ phân vị thứ hai. Nhóm \(\left[11;13\right)\)

\hspace*{2cm}\(Q_2=11+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2\cdot 23}{4}-(2+5)}{7}\cdot \left(13-11\right)= \displaystyle\frac{86}{7}\approx 12{,}29.\)

a) Tứ phân vị thứ ba. Nhóm \(\left[13;15\right)\)

\hspace*{2cm}\(Q_3=13+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 23}{4}-(2+5+7)}{6}\cdot \left(15-13\right)= \displaystyle\frac{197}{12}\approx 16{,}42.\)

Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1=10{,}5\). Nhận định hợp lí.

}

a) Số trung bình, tứ phân vị và mốt

+) Số trung bình \(\bar{x}=\displaystyle\frac{15139+14295+\cdots+20454+17004}{31}\approx 15821.\)

+) Tứ phân vị.

Xếp mẫu số liệu không giảm ta được:

\begin{array}{cccccccccc}14254 &14295 &14299 &14433 &14598 &14866 &14927& 15139 &15215 &15223 \\ 15264 &15310 &15420 &15474 &15668 &15685 &15720 &15871 &15965 &16035 \\ 16046 &16192 &16363 &16586 &16633 &16806 &16830 &16860 &17004 &17044 \\ 20454 & & & & & & & & & \\ \end{array}

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \( 15139 \).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \( 15685 \).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \( 16586 \).

b) Bảng tần số ghép nhóm

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số ca (nghìn)} & \left[14;15{,}5\right) & \left[15{,}5;17\right) & \left[17;18{,}5\right) & \left[18{,}5;20\right) & \left[20;21{,}5\right) \\ \hline \text{Số ngày} & 13 & 15 & 2 & 0 & 1\\ \hline \end{array}

c) Ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt

+) Số trung bình

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{14{,}75\times13+16{,}25\times15+17{,}75\times2+19{,}25\times0+20{,}75\times1}{31}= \displaystyle\frac{1967}{124}\approx 15{,}86.\)

+) Tứ phân vị

+) Tứ phân vị thứ nhất. Nhóm \(\left[14;15{,}5\right)\)

\(Q_1=14+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1\cdot 31}{4}-0}{13}\cdot \left(15{,}5-14\right)= \displaystyle\frac{1549}{104}\approx 14{,}89.\)

+) Tứ phân vị thứ hai. Nhóm \(\left[15{,}5;17\right)\)

\hspace*{2cm}\(Q_2=15{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2\cdot 31}{4}-(0+13)}{15}\cdot \left(17-15{,}5\right)= \displaystyle\frac{63}{4} = 15{,}75.\)

+) Tứ phân vị thứ ba. Nhóm \(\left[17;18{,}5\right)\)

\hspace*{2cm}\(Q_3=17+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 31}{4}-(0+13+15)}{2}\cdot \left(18{,}5-17\right)= \displaystyle\frac{215}{16} \approx 13{,}44.\)

+) Mốt

+) Mốt \(M_o\) chứa trong nhóm \(\left[u_{m};u_{m+1}\right)\)

\(M_o=u_{m}+\displaystyle\frac{n_{m}-n_{m-1}}{\left(n_{m}-n_{m-1}\right)+\left(n_{m}-n_{m+1}\right)}\left(u_{m+1}-u_{m}\right)\)

+) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[120;175\right)\)

Do đó \(\begin{aligned}[t] & u_{m}=15{,}5 ; u_{m+1}=17 \Rightarrow u_{m+1}-u_{m}=17-15{,}5=1{,}5.\\ & n_{m-1}=13 ; n_{m}=15 ; n_{m+1}=2. \\ & M_o=15{,}5+\displaystyle\frac{15-13}{(15-13)+(15-2)}\cdot(17-15{,}5) =\displaystyle\frac{157}{10} = 15{,}7.\end{aligned}\)

}

Cỡ mẫu là \(n=3+12+15+24+2=56\).

Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) là \(\displaystyle\frac{x_{14}+x_{15}}{2}\).

Do \(2\) giá trị \(x_{28},\,x_{29}\) thuộc nhóm \(\left[12{,}5;15{,}5 \right)\) nên nhóm này chứa \(Q_1\).

Do đó, \(p=2\); \(a_2=12{,}5\); \(m_2=12\); \(m_1=3\); \(a_3-a_2=3\) và ta có

\(Q_1=12{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{56}{4}-3}{12}\cdot 3=15{,}25.\)

Với tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) là \(\displaystyle\frac{x_{42}+x_{43}}{2}\).

Do \(2\) giá trị \(x_{42},\,x_{43}\) thuộc nhóm \(\left[18{,}5;21{,}5 \right)\) nên nhóm này chứa \(Q_3\).

Do đó, \(p=4\); \(a_4=18{,}5\); \(m_4=24\); \(m_1+m_2+m_3=3+12+15=30\); \(a_5-a_4=3\) và ta có

\(Q_3=18{,}5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 56}{4}-30}{24}\cdot 3=20.\)

}

a) Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Thời gian} & \text{Số học sinh nam} & \text{Số học sinh nữ}\\ \hline4{,}5 & 6 & 4 \\ \hline 5{,}5 & 10 & 8 \\ \hline 6{,}5 & 13 & 10 \\ \hline 7{,}5 & 9 & 11 \\ \hline 8{,}5 & 7 & 8 \\ \hline \end{array}

Tổng số học sinh nam là \(n_1=6+10+13+9+7=45\).\\ Thời gian ngủ trung bình của học sinh nam là:

\(\overline{x_1}=\displaystyle\frac{4{,}5\cdot 6+5{,}5\cdot10+6{,}5\cdot13+7{,}5\cdot9+8{,}5\cdot7}{45}=\displaystyle\frac{587}{90}\approx 6{,}52\,\, \text{(giờ)}.\)

Tổng số học sinh nữ là \(n_2=4+8+10+11+8=41\). Thời gian ngủ trung bình của học sinh nữ là:

\(\overline{x_2}=\displaystyle\frac{4,5\cdot4+5,5\cdot8+6,5\cdot10+7,5\cdot11+8,5\cdot8}{41}=\displaystyle\frac{555}{82}\approx 6{,}77 \,\,\text{(giờ)}.\)

Vì \(\overline{x_2}>\overline{x_1}\) nên thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ lớn hơn thời gian ngủ trung bình của các bạn nam.

b) Tổng số học sinh được điều tra là \(n=n_1+n_2=45+41=86\).

Giả sử \(x_1;x_2;x_3;\cdot \cdot;x_{86}\) là dãy giá trị được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Thời gian} & \text{Số học sinh} \\ \hline \left[4;5 \right) & 10 \\ \hline \left[5;6 \right) & 18 \\ \hline \left[6;7 \right) & 23 \\ \hline \left[7;8 \right) & 20 \\ \hline \left[8;9 \right) & 15 \\ \hline\end{array}

Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) là \(x_{22}\). Do \(x_{22}\) thuộc nhóm \(\left[5;6\right)\) nên nhóm này chứa \(Q_1\).\\ Do đó, \(p=2;\,a_2=5;\,m_2=18;\,m_1=10;\,a_3-a_2=1\) và ta có

\(Q_1=5+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{86}{4}-10}{18}\cdot 1=\displaystyle\frac{203}{36}\approx 5{,}64 \text{(giờ)}.\)

Nghĩa là có \(25\%\) học sinh khối \(11\) ngủ ít hơn \(5{,}64\) giờ.

Vậy \(75\%\) học sinh khối \(11\) ngủ ít nhất \(5{,}64\) giờ.

}