\(\S2.\) TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ
1. Tổng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Từ một điểm \(A\) tùy ý, lấy hai điểm \(B\), \(C\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). Khi đó \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) và được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).
Vậy \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
Quy tắc 3 điểm: Với ba điểm \(M\), \(N\), \(P\), ta có \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}\).
Chú ý. Khi cộng hai véc-tơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của véc-tơ thứ nhất phải là điểm đầu của véc-tơ thứ hai.
Quy tắc hình bình hành: Nếu \(OABC\) là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\).
Chú ý. Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai véc-tơ về bài toán tìm tổng của hai véc-tơ có chung điểm đầu.
2. Tính chất của phép cộng các véc-tơ
+ Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\);
+ Tính chất kết hợp: \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\);
+ Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), ta luôn có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\).
Chú ý. Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\). kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) với \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}\).
3. Hiệu của hai véctơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Hiệu của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là véc-tơ \(\overrightarrow{a}+ (-\overrightarrow{b})\) và kí hiệu \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\).
Chú ý. Cho ba điểm \(O\), \(A\), \(B\), ta có \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\).
4. Tính chất véc-tơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
+ Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\).
+ Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Sử dụng qui tắc cộng và qui tắc trừ (3 điểm)
Dạng 2. Sử dụng qui tắc hình bình hành
Dạng 4. Tập hợp điểm xác định bởi đẳng thức véctơ
Dạng 1. Sử dụng qui tắc cộng và qui tắc trừ (3 điểm)
Câu 1:
Cho ba điểm phân biệt \(A,B,C\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\)
Lời giải:
Theo quy tắc tam giác ta có
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\).
Câu 2:
Với ba điểm bất kì \(A\), \(B\), \(C\) thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\)
Lời giải:
\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\) đúng theo quy tắc ba điểm trong phép cộng véc-tơ.
Dạng 2. Sử dụng qui tắc hình bình hành
Câu 1:
Cho hình bình hành \(ABCD\). Véc-tơ \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\) bằng véc-tơ nào dưới đây?
Đáp án: \(\overrightarrow{BD}\)
Lời giải:
\(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}\).
Câu 2:
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) và \( O\) là tâm của nó. Đẳng thức nào\textbf{ sai}?
Đáp án: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{0}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{0}\) \(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}.\)
Dạng 3. Tính độ dài véctơ
Câu 1:
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác vuông \(ABC\) với cạnh huyền \(BC=12\). Tính độ dài của véc-tơ \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\).
Đáp án: \(\left| \overrightarrow{v}\right|=4\)
Lời giải:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có
\(\left| \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left| -\overrightarrow{GA}\right|=GA\)
\(=\displaystyle\frac{2}{3}AM=\displaystyle\frac{2}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{2}BC\right)\) \(=\displaystyle\frac{BC}{3}=4\).
Câu 2:
Cho hình thoi \(ABCD\) có \(AC=2a\), \(BD=a\). Giá trị của \(\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right|\) bằng
Đáp án: \(a\sqrt{5}\)
Lời giải:
Gọi \(O\) là tâm của hình thoi.
Khi đó ta có
\(\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right|=\left|2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{OD}\right|\) \(=\left|2\overrightarrow{AD}\right|=2AD\).
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác \(AOD\) ta có
\(AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{a^2+\displaystyle\frac{a^2}{4}}\) \(=\displaystyle\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)
Do đó \(\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right|=2AD=a\sqrt{5}\).
Dạng 4. Tập hợp điểm xác định bởi đẳng thức véctơ
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án: \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\).
\(\Rightarrow MABC\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CB}\).
Câu 2:
Cho hình bình hành \(ABCD\). Tập hợp tất cả các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}\) là
Đáp án: tập rỗng
Lời giải:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MA}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}\) (vô lí).
\(\Rightarrow \) Không có điểm \(M\) thỏa mãn.