\(\S2.\) TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ
1. Tổng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Từ một điểm \(A\) tùy ý, lấy hai điểm \(B\), \(C\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). Khi đó \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) và được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).
Vậy \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
Quy tắc 3 điểm: Với ba điểm \(M\), \(N\), \(P\), ta có \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}\).
Chú ý. Khi cộng hai véc-tơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của véc-tơ thứ nhất phải là điểm đầu của véc-tơ thứ hai.
Quy tắc hình bình hành: Nếu \(OABC\) là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\).
Chú ý. Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai véc-tơ về bài toán tìm tổng của hai véc-tơ có chung điểm đầu.
2. Tính chất của phép cộng các véc-tơ
+ Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\);
+ Tính chất kết hợp: \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\);
+ Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), ta luôn có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\).
Chú ý. Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\). kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) với \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}\).
3. Hiệu của hai véctơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Hiệu của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là véc-tơ \(\overrightarrow{a}+ (-\overrightarrow{b})\) và kí hiệu \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\).
Chú ý. Cho ba điểm \(O\), \(A\), \(B\), ta có \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\).
4. Tính chất véc-tơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
+ Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\).
+ Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Sử dụng qui tắc cộng và qui tắc trừ (3 điểm)
Dạng 2. Sử dụng qui tắc hình bình hành
Dạng 4. Tập hợp điểm xác định bởi đẳng thức véctơ
Dạng 1. Sử dụng qui tắc cộng và qui tắc trừ (3 điểm)
Câu 1:
Cho \(4\) điểm bất kì \(A\), \(B\), \(C\), \(O\). Đẳng thức nào sau đây luông đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}\)
Lời giải:
Áp dụng qui tắc hiệu hai véc-tơ, ta có
\(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}\).
Câu 2:
Cho ba điểm \(A\), \(B\), \( C\) phân biệt. Đẳng thức nào sau đây sai?
Đáp án: \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}\).
Dạng 2. Sử dụng qui tắc hình bình hành
Câu 1:
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) và \( O\) là tâm của nó. Đẳng thức nào\textbf{ sai}?
Đáp án: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{0}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{0}\) \(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}.\)
Câu 2:
Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\) . Hỏi véc-tơ \(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DO}\) bằng véc-tơ nào trong các véc-tơ sau?
Đáp án: \(\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\) \(=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Dạng 3. Tính độ dài véctơ
Câu 1:
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Khi đó \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|\) bằng
Đáp án: \(a\sqrt{2}\)
Lời giải:
Theo quy tắc hình bình hành, ta có
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{2}.\)
Câu 2:
Tam giác \(ABC\) có \(AB=AC=a\), \(\widehat{ABC}=120^\circ \). Độ dài véc-tơ tổng \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) bằng
Đáp án: \(a\)
Lời giải:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\)
Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\), \(\widehat{ABM}=30^\circ \) nên
\(AM=AB\cdot \sin 30^\circ=\displaystyle\frac{a}{2}\).
Vậy \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2AM=a\).
Dạng 4. Tập hợp điểm xác định bởi đẳng thức véctơ
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thoả mãn \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\). Tìm vị trí điểm \(M\).
Đáp án: \(M\) là trung điểm \(AC\)
Lời giải:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có
\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)
\(\Leftrightarrow M\) là trung điểm của \(AC.\)
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\). Tìm mệnh đề sai?
Đáp án: \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Có
\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}\)
\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BC}\) sai.