\(\S2.\) TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ
1. Tổng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Từ một điểm \(A\) tùy ý, lấy hai điểm \(B\), \(C\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). Khi đó \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) và được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).
Vậy \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
Quy tắc 3 điểm: Với ba điểm \(M\), \(N\), \(P\), ta có \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}\).
Chú ý. Khi cộng hai véc-tơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của véc-tơ thứ nhất phải là điểm đầu của véc-tơ thứ hai.
Quy tắc hình bình hành: Nếu \(OABC\) là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\).
Chú ý. Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai véc-tơ về bài toán tìm tổng của hai véc-tơ có chung điểm đầu.
2. Tính chất của phép cộng các véc-tơ
+ Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\);
+ Tính chất kết hợp: \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\);
+ Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), ta luôn có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\).
Chú ý. Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\). kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) với \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}\).
3. Hiệu của hai véctơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Hiệu của hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là véc-tơ \(\overrightarrow{a}+ (-\overrightarrow{b})\) và kí hiệu \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\).
Chú ý. Cho ba điểm \(O\), \(A\), \(B\), ta có \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\).
4. Tính chất véc-tơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
+ Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\).
+ Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Sử dụng qui tắc cộng và qui tắc trừ (3 điểm)
Dạng 2. Sử dụng qui tắc hình bình hành
Dạng 4. Tập hợp điểm xác định bởi đẳng thức véctơ
Dạng 1. Sử dụng qui tắc cộng và qui tắc trừ (3 điểm)
Câu 1:
Cho ba điểm phân biệt \(A\),\(B\),\(C\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}\).
Mặt khác
+) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \ne \overrightarrow{CB}\).
+) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} \ne \overrightarrow{BC}\).
+) \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} \ne \overrightarrow{BC}\).
Câu 2:
Cho ba điểm \(A,~B,~C\) phân biệt. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.\)
Dạng 2. Sử dụng qui tắc hình bình hành
Câu 1:
Cho hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}\)
Lời giải:
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\).
Suy ra
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\).
Câu 2:
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Gọi \(E\), \( F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \( BC\). Đẳng thức nào sau đây sai?
Đáp án: \(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\)
Lời giải:
Ta có \(OF\), \( OE\) lần lượt là đường trung bình của tam giác \(\Delta BCD\) và \(\Delta ABC\).
\(\Rightarrow BEOF\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow \overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BO}.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{DO}\) \(=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BD}\).
Dạng 3. Tính độ dài véctơ
Câu 1:
Tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\) thì tam giác \(ABC\) là
Đáp án: tam giác vuông tại \(A\)
Lời giải:
Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), ta có
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|\)
\(\Leftrightarrow BC=2AM.\)
Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(H\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{a\sqrt{7}}{2}\)
Lời giải:
Gọi \(K\) là trung điểm của \(AH\).
Khi đó
\(\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|\) \(=\left|2\overrightarrow{CK}\right|=2CK\).
Xét tam giác \(KHC\) vuông tại \(H\) có
\(HC=\displaystyle\frac{a}{2}\),
\(KH=\displaystyle\frac{AH}{2}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{4}\).
Do đó
\(2CK=\sqrt{CH^2+HK^2}=2\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{a\sqrt{7}}{2}.\)
Dạng 4. Tập hợp điểm xác định bởi đẳng thức véctơ
Câu 1:
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \break \(\left| 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA} \right|\) là đường tròn cố định có bán kính \(R\). Tính \(R\) theo \(a\).
Đáp án: \(R=\displaystyle\frac{a}{9}\)
Lời giải:
Gọi \(I\) là điểm sao cho
\(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow -2\overrightarrow{AI}+\left(3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}\right)+4\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}\right)\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\displaystyle\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9}. \quad(*)\)
Ta có
\(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\) \(=2\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)+3\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)+4\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)\) \(=9\overrightarrow{MI}+\left(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\right)\) \(=9\overrightarrow{MI}.\)
Do đó
\(\left| 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA} \right|\)
\(\Leftrightarrow \left| 9\overrightarrow{MI}+\left(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC} \right)\right|=\left| \overrightarrow{AB} \right|\)
\(\Leftrightarrow 9MI=AB\)
\(\Leftrightarrow IM=\displaystyle\frac{1}{9}AB=\displaystyle\frac{a}{9}.\)
Vì \(I\) là điểm cố định thỏa mãn \(\left( * \right)\) nên tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(I\), bán kính
\(R=\displaystyle\frac{AB}{9}=\displaystyle\frac{a}{9}\).
Câu 2:
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\). Xác định vị trí điểm \(M\).
Đáp án: \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Lời giải:
Ta có
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
suy ra \(M\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).