Xác suất có điều kiện

Bài tập 1

Cho hai biến cố \(A\), \(B\) có \(\mathrm{P}(A)=0{,}6;\mathrm{P}(B)=0{,}8;\mathrm{P}(A\cap B)=0{,}4\). Tính các xác suất sau:

a) \(\mathrm{P}(B\mid A);\mathrm{P}(\overline{B}\mid A)\).

b) \(\mathrm{P}(A \cap \overline{B})\).

a) Ta có

\(\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\displaystyle\frac{0{,}4}{0{,}6}=\displaystyle\frac{2}{3}\) \(\Rightarrow \mathrm{P}(\overline{B}\mid A)=1-\mathrm{P}(B\mid A) = 1 -\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

b) Ta có

\begin{eqnarray*}\mathrm{P}(A \cap \overline{B}) &=& \mathrm{P}\left(\overline{B}\mid A\right)\cdot \mathrm{P} (A)=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 0{,}6=0{,}2.\end{eqnarray*}

Bài tập 2

Một hộp có \(3\) quả bóng màu xanh, \(4\) quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:

a) \(A:\) Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất;

a) \(B:\) Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai.

Chứng minh rằng \(A\), \(B\) là hai biến cố độc lập.

Gọi \(A_i\) là biến cố Lần thứ \(i\) lấy được bóng màu xanh:

\(A=A_1A_2 \cup \overline{A_1}~\overline{A_2}\) \( \Rightarrow P\left(A\right)=\displaystyle\frac{3}{7}\cdot\displaystyle\frac{3}{7}+\displaystyle\frac{3}{7}\cdot\displaystyle\frac{4}{7}=\displaystyle\frac{3}{7}\).

Gọi \(B_i\) là biến cố Lần thứ \(i\) lấy được bóng màu đỏ:

\(B=B_1B_2 \cup \overline{B_1}B_2\) \(\Rightarrow P\left(B\right)=\displaystyle\frac{4}{7}\cdot\displaystyle\frac{4}{7}+\displaystyle\frac{4}{7}\cdot\displaystyle\frac{3}{7}=\displaystyle\frac{4}{7}\).

Ta có, \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{n\left(A \cap B\right)}{n\left(B\right)}=\displaystyle\frac{4\cdot 3}{7\cdot 4}=\displaystyle\frac{3}{7}=P\left(A\right)\)

\(\Rightarrow A, B\) là hai biến cố độc lập.

Bài tập 3

Cho hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng xúc xắc trong hai xúc xắc đó. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng \(6\), biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm.

Gọi \(A\) là biến cố xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm ~và \(B\) là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng \(6\).

Xác suất của \(A\) là \(\mathrm{P}(A)\) là xác suất để xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt \(4\) chấm. Vì xúc xắc cân đối và đồng chất, nên

\[\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{1}{6}.\]

Xác suất của \(B\) khi biết \(A\) đã xảy ra là \(\mathrm{P}(B \mid A)\). Trong trường hợp này, để tổng số chấm là \(6\), xúc xắc thứ hai phải xuất hiện mặt \(2\) chấm. Do đó, \(\mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Vậy, theo quy tắc xác suất điều kiện, ta có:

\(\mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}\) \( \Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(B \mid A)\cdot \mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{1}{36}.\)

Bài tập 4

Một lô sản phẩm có \(20\) sản phẩm, trong đó có \(5\) sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp \(2\) sản phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.

Gọi \(A\) là biến cố sản phẩm thứ nhất có chất lượng thấp, và \(B\) là biến cố sản phẩm thứ hai có chất lượng thấp.

Xác suất của \(A\) là xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần đầu tiên:

\(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{5}{20}=\displaystyle\frac{1}{4}\)

Sau khi lấy một sản phẩm chất lượng thấp, số sản phẩm chất lượng thấp giảm còn \(4\) trong tổng số \(19\) sản phẩm.

Xác suất của \(B\) khi đã xảy ra \(A\) là xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần thứ hai:

\(\mathrm{P}(B \mid A)=\displaystyle\frac{4}{19}\)

Áp dụng quy tắc nhân xác suất:

\(P(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)\) \(=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\displaystyle\frac{4}{19}=\displaystyle\frac{1}{19}\)

Vậy, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\displaystyle\frac{1}{19}\).

Bài tập 5

Một doanh nghiệp trước khi xuất khẩu áo sơ mi phải qua hai lần kiểm tra chất lượng sản phẩm, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân \(98\%\) sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và \(95\%\) sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tính xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.

\(A\) là biến cố sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất.

\(B\) là biến cố sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ hai.

Bài toán yêu cầu tính xác suất của biến cố \(A\cap B\), tức là sản phẩm vừa qua được lần kiểm tra thứ nhất, và sau đó qua được lần kiểm tra thứ hai.

Xác suất của \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=0{,}98\).

Xác suất của \(B\) khi đã qua được \(A\) là \(\mathrm{P}(B \mid A)=0{,}95\).

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có:

\(\mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)\) \(=0{,}98\cdot 0{,}95=0{,}931.\)

Vậy, xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là \(93{,}1\%\)

Bài tập 6

Trên giá sách có \(10\) quyển sách Khoa học và \(15\) quyển sách Nghệ thuật. Có \(9\) quyển sách viết bằng tiếng Anh, trong đó \(3\) quyển sách Khoa học có \(6\) quyển sách Nghệ thuật, các quyển sách còn lại viết bằng tiếng Việt. Lấy ngẫu nhiên một quyển sách. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học.

Gọi các biến cố:

\(A\): Sách lấy ra là sách tiếng Việt.

\(B\): Sách lấy ra là sách khoa học.

Khi đó, xác suất để cuốn sách được lấy ra là tiếng Việt, biết rằng cuốn sách đó là sách khoa học là \(\mathrm{P}\left(A\mid B\right)\).

Ta có sơ đồ cây

Từ đó ta có xác suất để cuốn sách lấy ra là tiếng Việt, biết rằng cuốn sách đó là sách khoa học là \(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{7}{10}=0{,}7\).

Bài tập 7

Có \(2\) linh kiện điện tử, xác suất để mỗi linh kiện hỏng trong một thời điểm bất kì lần lượt là: \(0{,}01\); \(0{,}02\). Hai linh kiện đó được lắp vào một mạch điện theo sơ đồ ở \textit{Hình 1a, 1b}. Trong mỗi trường hợp, hãy tính xác suất để trong mạch điện có dòng điện chạy qua

Gọi \(A\): Linh kiện thứ nhất không hỏng; \(B\): Linh kiện thứ hai không hỏng.

+) Hai linh kiện mắc nối tiếp.

Xác suất để cả hai linh kiện đều không hỏng là:

\(\mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)\)

Ta có

\(\mathrm{P}(A)=1-P(\overline{A})=1-0{,}01=0{,}99\).

\(\mathrm{P}(B \mid A)=1-P(\overline{B}\mid A)\) \(=1-0{,}02=0{,}98\).

\(\Rightarrow \mathrm{P}(A \cap B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B \mid A)\) \(=0{,}99\cdot0{,}98=0{,}9702\).

+) Hai linh kiện mắc song song.

Xác suất để ít nhất một linh kiện không hỏng là:

\(\mathrm{P}(A \cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A \cap B)\) \(= 0{,}99+0{,}98-0{,}9702=0{,}9998.\)

\(\S1\) XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Bài tập sách Chân trời sáng tạo

Bài tập sách Kết nối tri thức