\(\S1\) VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN

a) Ta có \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}\).

a) Ta có

+ \(\overrightarrow{A'B}\cdot \overrightarrow{D'C'} = \overrightarrow{D'C} \cdot \overrightarrow{D'C'} = D'C\cdot D'C' \cdot \cos 45^\circ\), thay số \( \overrightarrow{A'B}\cdot \overrightarrow{D'C'} = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = a^2\).

+ \(\overrightarrow{D'A} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{AD} = - AD'\cdot AD\cdot \cos 45^\circ \), thay số \(\overrightarrow{D'A} \cdot \overrightarrow{BC} = - a\sqrt{2} \cdot a \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = -a^2 \).

b) Ta có \(\left( \overrightarrow{A'D},\overrightarrow{B'C'} \right) = \left( \overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A'D'} \right) = \widehat{DA'D'} = 45^\circ\) và \(\left(\overrightarrow{AD'};\overrightarrow{BD}\right) = \left(\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{BD}\right) = \widehat{C'BD}\).

Do \(BD = BC'=C'D= a\sqrt{2}\) nên tam giác \(BDC'\) đều, từ đó suy ra \(\left(\overrightarrow{AD'};\overrightarrow{BD}\right) = 60^\circ\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(AB'D'\) nên \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB'} + \overrightarrow{GD'} = \overrightarrow{0}\). Khi đó, theo quy tắc hình hộp ta có

\begin{eqnarray*}& \overrightarrow{A'C} & = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'D'}\\& & = \overrightarrow{A'G} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{A'G} + \overrightarrow{GB'} + \overrightarrow{A'G} + \overrightarrow{GD'}\\& & = 3\overrightarrow{A'G}.\end{eqnarray*}

Lấy các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt trên các tia \(EA\), \(EB\), \(EC\), \(ED\) sao cho

\[\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{F_1},\ \overrightarrow{EN} = \overrightarrow{F_2},\ \overrightarrow{EP} = \overrightarrow{F_3},\ \overrightarrow{EQ} = \overrightarrow{F_4}.\]

Do các lực căng \(\overrightarrow{F_1}\), \(\overrightarrow{F_2}\), \(\overrightarrow{F_3}\), \(\overrightarrow{F_4}\) đều có cường độ là \(4700\) N nên \(EM = EN = EP = EQ = 4700\).

Kết hợp \(EA = EB = EC = ED\) ta thu được \(MN \parallel AB\), \(NP\parallel BC\), \(PQ\parallel CD\), \(QM\parallel DA\).

Khi đó tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật và \(EM\), \(EN\), \(EP\), \(EQ\) cùng tạo với mặt phẳng \(MNPQ\) một góc \(60^\circ\).

Gọi \(O\) là tâm của \(MNPQ\). Khi đó \(O\) là trung điểm của \(MP\), \(NQ\) và \(OM = ON = OP = OQ\).

Do \(EM = EN = EP =EQ\) nên \(EO \parallel (MNPQ)\), do đó \(\widehat{EMO} = \left(EM;(MNPQ)\right) = 60^\circ\).

Suy ra \(EO = EM \sin 60^\circ = 2350\sqrt{3}\).

Gọi \(\overrightarrow{P}\) là trọng lực tác dụng lên cả hệ, do \(O\) là trung điểm \(MP\), \(NQ\) nên ta có:

\begin{eqnarray*}& \overrightarrow{P} & = \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}\\ & & = \overrightarrow{EM } + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{EP} + \overrightarrow{EQ}\\ & & = \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{ON} + \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{EO} + \overrightarrow{OQ}\\ & & = 4\overrightarrow{EO} + \left(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OP}\right) + \left(\overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OQ}\right)\\ & & = 4\overrightarrow{EO}.\end{eqnarray*}

Suy ra trọng lượng của toàn bộ hệ là \(\left| \overrightarrow{P} \right| = 4\left| \overrightarrow{EO}\right| = 4EO = 9400\sqrt{3}\) N.

Do trọng trượng khung sắt là \(3000\) N nên trọng lượng của xe ô tô là \(9400\sqrt{3} - 3000 \approx 13281\) N.