\(\S3\) ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

a) Hình phẳng đó giới hạn bởi các đường thẳng \(y=\mathrm{e}{e}^x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1\), \(x=1\).

b) Ta có diện tích hình phẳng \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \left| \mathrm{e}^x \right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \mathrm{e}^x \mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x\Big|_{-1}^{1}=\mathrm{e}-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).

a) Hình phẳng đó giới hạn bởi các đường thẳng \(y=\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^x\), \(y=x+1\), \(y=x+1\) và \(x=2\).

b) Từ hình vẽ, ta thấy được \(x+1 \geq \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^x, \forall x \in [0;2]\). Khi đó diện tích hình phẳng:

\(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left| x+1 - \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^x \right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left[ x+1 - 2^{-x} \right] \mathrm{\,d}x\) \(=\left[\displaystyle\frac{x^2}{2} + x + \displaystyle\frac{2^{-x}}{\ln{2}} \right] \Big|_{0}^{2}=4-\displaystyle\frac{3}{4\ln{2}}\).

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{x}\), trục hoành, \(x=1\) và \(x=2\).

b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0\), \(x=2\) quay quanh trục \(Ox\) là

\(V=\pi \displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left( \displaystyle\frac{1}{x} \right)^2 \mathrm{\,d}x=\pi \displaystyle\int\limits_{0}^{2} \displaystyle\frac{1}{x^2} \mathrm{\,d}x\) \(=\displaystyle\frac{-\pi}{x} \Big|_{1}^{2}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

a) Từ đồ thị, ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(t)\), trục \(Ot\) và hai đường thẳng \(t=0\), \(t=2\) là hình thang có chiều cao là \(2\) và tổng hai đáy là \(3\), khi đó diện tích là \(\displaystyle\frac{3 \cdot 2}{2}= 3\) (đvdt).

b) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1} f(u) \mathrm{\,d}u=\displaystyle\int\limits_{0}^{1} f(t) \mathrm{\,d}t\) biểu thị cho phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(t)\), trục \(Ot\) và hai đường thẳng \(t=0\), \(t=1\).

Đặt vào hệ trục tọa độ, đỉnh cửa trùng với điểm \(A \in Oy\), hai điểm \(B\), \(C\) thuộc trục \(Ox\).

Do cửa có chiều cao là \(35\text{m}\) và đáy có chiều dài là \(70\text{m}\) nên \(A(0;21)\), \(B(-35;0)\) và \(C(35;0)\).

Do đồ thị Parabol cắt trục hoành tại \(B(-35;0)\) và \(C(35;0)\) nên parabol có phương trình là \(y=a(x-35)(x+35)\).

Mà parabol qua điểm \(A(0;21)\) nên \(y=\displaystyle\frac{-3}{175}(x-35)(x+35)=\displaystyle\frac{-3}{175}(x^2-1225)\).

Khi đó, diện tích kính của cánh cửa là \(S=\displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \displaystyle\frac{-3}{175}(x^2-1225) \mathrm{\,d}x=980\text{m}^2\).

Từ hình vẽ, hình phẳng tô màu giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x)\), \(y=5\) và hai đường thẳng \(x=-5\), \(x=10\).

Khi đó diện tích hình phẳng tô màu sau là

\(S=\displaystyle\int\limits_{-5}^{10} \left[ 5-\displaystyle\frac{3}{100} \left(-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+5x^2 \right) \right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{675}{16}\text{m}^2\).

Ta có đường thẳng \(OM\) là đường thẳng qua gốc tọa độ \(O\) và tạo với \(Ox\) góc \(\alpha\) nên \(OM\) có phương trình là \(y=x\tan{\alpha}\).

Mặt khác, tam giác \(OMP\) vuông tại \(O\) nên \(OP=OM\cos{\alpha}=\ell\cos{\alpha}\).

Khi đó thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục \(Ox\) là

\(V=\pi \displaystyle\int\limits_{0}^{\ell \cos{\alpha}}\left( x\tan{\alpha}\right)^2 \mathrm{\,d}x\) \(=\displaystyle\frac{\pi x^3 \tan^2{\alpha}}{3} \Big|_{0}^{\ell \cos{\alpha}}\) \(= \displaystyle\frac{\pi \cos{\alpha} \cdot \sin^2{\alpha} \cdot \ell^3}{3}.\)

Ta có thể tích thùng rượu là

\begin{eqnarray*}V&=&\pi \displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \left( -0{,}011x^2-0{,}071x+40 \right)^2 \mathrm{\,d}x\\ &=& 10^{-6} \pi \displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \left( 11x^2+71x-40000 \right)^2 \mathrm{\,d}x\\ &=& 10^{-6} \pi \displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \left( 121x^4+1562x^3-874959x^2 -568 \cdot 10^4 \cdot x +16\cdot 10^8 \right) \mathrm{\,d}x\\ &=& 10^{-6} \pi \left( \displaystyle\frac{121x^5}{5}+\displaystyle\frac{781x^4}{2}-291653x^3 -284 \cdot 10^4 \cdot x^2 +16\cdot 10^8 x\right) \Big|_{-35}^{35}\\ &\approx& 281275{,}6 \text{ cm}^3.\end{eqnarray*}