\(\S2\) TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A(3 ;-2 ;-1)\). Gọi \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(A\) trên các mặt phẳng toạ độ \((Oxy)\), \((Oyz)\), \((Ozx)\). Tìm toạ độ của các điểm \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\).
Toạ độ của các điểm \( A_1=(3 ;-2 ;0)\).
Toạ độ của các điểm \( A_2=(3 ;0 ;-1)\).
Toạ độ của các điểm \( A_3=(0 ;-2 ;-1)\)
Bài tập 2
Trong không gian vởi hệ tọa độ \(Ox z\), cho \(A(-2;3;4)\). Gọi \(H\), \(K\), \(P\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(A\) trên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\). Tìm tọa độ của các điểm \(H\), \(K\), \(P\).
Tìm tọa độ của các điểm \(H=(-2;0;0)\).
Tìm tọa độ của các điểm \(K=(0;3;0)\).
Tìm tọa độ của các điểm \(P=(0;0;4)\).
Bài tập 3
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A(4;6;-5)\), \(B(5;7;-4)\), \(C(5;6;-4)\), \(D'(2;0;2)\). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Ta có \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \begin{cases}x_D&=x_A-x_B+x_C\\y_D&=y_A-y_B+y_C\\z_D&=z_A-z_B+z_C\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_D&=4\\y_D&=5\\z_D&=-5\end{cases}\).
Suy ra \(D(4;5;-5)\).
Do đó \(\overrightarrow{DD'}=(2-4;0-5;2-(-5)) =(-2;-5;7)\).
Theo tính chất của hình hộp ta có \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=(-2;-5;7)\).
Suy ra tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp là \(A'=(2;1;2)\), \(B'(3;2;3)\), \(C'(3;1;3)\).
Bài tập 4
Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao \(30\)m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.
Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là \(1\)m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm \(M(90;0;30)\), \(N(90;120;30)\), \(P(0;120;30)\), \(Q(0;0;30)\) (Hình bên dưới).
Giả sử \(K_0\) là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và \(K_0M=K_0N=K_0P=K_0Q\). Để theo dõi quả bóng đến vị trí \(A\), camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \(K_1\) cao độ bằng \(19\).
Tìm toạ độ của các điểm \(K_0,K_1\) và của vectơ \(\overrightarrow{K_0K_1}\).
Tọa độ tâm của hình bình hành \(MMNPQ\) là trung điểm \(H\) của \(MP\) nên \(H(45;60;30)\).
Suy ra tọa độ \(K_0(45;60;25)\); \(K_1(45;60;19)\) và \(\overrightarrow{K_0K_1}=(0;0;6)\).