\(\S1\) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

\(\bullet\,\) \(y=-x^3+2x^2-3\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=-3x^2+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).

\(\bullet\,\) \(y=x^4-2 x^2+5\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3-4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm 1\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-1;0)\) và \(\left(1;+\infty\right)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \((0;1)\).

\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{3x+1}{2-x}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{7}{(2-x)^2}>0,\,\forall x\neq 2\).

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x+1}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+2x-2}{(x+1)^2}\) với \(x\neq -1\);

\(y'= 0\Leftrightarrow x^2+2x-2=0\Leftrightarrow x=-1-\sqrt{3}\) hoặc \(x=-1+\sqrt{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1-\sqrt{3})\) và \((-1+\sqrt{3};+\infty)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \((-1-\sqrt{3};-1)\) và \((-1;-1+\sqrt{3})\).

\(\bullet\,\) \(y=2x^3+3x^2-36x-10\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=6x^2+6x-36\);

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^2+6x-36=0\Leftrightarrow x=-3\) hoặc \(x=2\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-3\) và đạt cực tiểu tại \(x=2\).

\(\bullet\,\) \(y=x^4+2x^2-3\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow =4x^3+4x=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\).

\(\bullet\,\) \(y=x-\displaystyle\frac{1}{x}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có: \(y'=1+\displaystyle\frac{1}{x^2}>0,\,\forall x\neq 0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số không có cực trị.

\(\bullet\,\) Quan sát đồ thị hình bên trái, ta thấy hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((0;1)\), \((2;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\), \((1;2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(x=1\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(x=2\).

\(\bullet\,\) Quan sát đồ thị \textit{Hình} \(6b\), ta thấy hàm số \(y=g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((1;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;1)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(x=1\).

Xét hàm số \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3\), với \(T\in [0;30]\).

Ta có \(V'(T)=-0{,}0002037T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).

\(V'(T)=0\Leftrightarrow T=3{,}966514624=T_1\) hoặc \(T=79{,}53176716\not\in [0;30]\).

Bảng biến thiên của hàm số \(V(T)\) như sau

Từ bảng biến thiên suy ra, thể tích \(V(T), 0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\), giảm trong khoảng nhiệt độ từ \(0^\circ\)C đến \(3{,}966514624^\circ\)C.

Gia tốc của tàu con thoi là \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\).

Xét hàm số \(a(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\) với \(t\in [0;126]\).

Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\);

\(a'(t)=0\Leftrightarrow t=23{,}11571941=t_0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(a(t)\) như sau

Từ bảng biến thiên suy ra, gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian từ \(23{,}11571941\) s đến \(126\) s.