Tích phân

Bài tập 1

Cho \(\displaystyle\int\limits_{-2}^3 f(x) \mathrm{~d}x = -10\), \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-2;3]\), \(F(3) = -8\). Tính \(F(-2)\).

Ta có \(\displaystyle\int\limits_{-2}^3 f(x) \mathrm{~d}x = -10 \), suy ra \(F(3) - F(-2) = -10\).

Vậy \(F(-2) = F(3) + 10 = -8 + 10 =2\).

Bài tập 2

Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^4 f(x) \mathrm{~d}x = 4, \int\limits_{3}^4 f(x) \mathrm{~d}x = 6\). Tính \(\displaystyle\int\limits_{0}^3 f(x) \mathrm{~d}x \).

Ta có \(\displaystyle\int\limits_{0}^4 f(x) \mathrm{~d}x = \int\limits_{0}^3 f(x) \mathrm{~d}x + \int\limits_{3}^4 f(x) \mathrm{~d}x \).

Suy ra

\(\displaystyle\int\limits_{0}^3 f(x) \mathrm{~d}x = \int\limits_{0}^4 f(x) \mathrm{~d}x - \int\limits_{3}^4 f(x) \mathrm{~d}x = 4 - 6 = -2. \)

Bài tập 3

Tính:

a) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(x^6-4 x^3+3 x^2\right) \mathrm{d} x\);

b) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \frac{1}{x^4} \mathrm{~d} x\);

c) \(\displaystyle\int\limits_1^4 \frac{1}{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x\);

d) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(4 \sin x+3 \cos x) \mathrm{d} x\);

e) \(\displaystyle\int\limits_\pi^{\frac{\pi}{2}} \cot ^2 x \mathrm{~d} x\)

f) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^2 x \mathrm{~d} x\);

g) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^0 \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\)

h) \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x+2} \mathrm{~d} x\);

k) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(3 \cdot 4^x-5 \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x\).

a) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(x^6-4 x^3+3 x^2\right) \mathrm{d} x =\left. \left(\displaystyle\frac{x^7}{7}-x^4+x^3\right)\right|_{0}^1\) \(= \left(\displaystyle\frac{1}{7} - 1 + 1\right) - 0 = \displaystyle\frac{1}{7}\).

b) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \frac{1}{x^4} \mathrm{~d} x = \left.\displaystyle\frac{x^{-4+1}}{-4+1}\right|_1^2 = \displaystyle\frac{2^{-3}}{-3} - \displaystyle\frac{1^{-3}}{-3} = \displaystyle\frac{7}{24} \).

c) \(\displaystyle\int\limits_1^4 \frac{1}{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x = \int\limits_1^4 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x = \left. \displaystyle\frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} \right|_1^4\) \(= \displaystyle\frac{4^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} - \displaystyle\frac{1^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = 1 \).

d) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(4 \sin x+3 \cos x) \mathrm{d} x = \left(-4 \cos x + 3 \sin x \right)\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\) \(= \left[-4 \cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) + 3 \sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \right] - \left(-4 \cos 0 + 3 \sin 0 \right)= 7 \).

e) Tích phân không xác định vì hàm số \( f(x) = \cot x\) không liên tục tại \(\pi\).

f) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^2 x \mathrm{~d} x = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \left(1 + \tan ^2 x -1\right)\mathrm{~d} x\) \(= \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} - \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} 1 \mathrm{~d} x = \tan x \bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} - x \bigg|_0^{\frac{\pi}{4}}\) \(= \left(\tan \displaystyle\frac{\pi}{4} - \tan 0\right) - \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - 0\right) = 1 - \displaystyle\frac{\pi}{4}\).

g) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^0 \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x = -\mathrm{e}^{-x} \bigg|_{-1}^0 = -\mathrm{e}^0 - (-\mathrm{e}^1) = \mathrm{e} - 1\).

h) \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x+2} \mathrm{~d} x = \mathrm{e}^2 \int\limits_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\) \(= \mathrm{e}^2 (\mathrm{e}^x)\bigg|_{-2}^{-1} = \mathrm{e}^2(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}-1\).

k) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(3 \cdot 4^x-5 \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x = \left. 3\cdot\displaystyle\frac{4^x}{\ln 4}+ 5 \mathrm{e}^{-x} \right|_0^1\) \(= \left(\displaystyle\frac{12}{\ln 4} + \displaystyle\frac{5}{e}\right) - \left(\displaystyle\frac{3}{\ln 4} + 5 \right) = \displaystyle\frac{5}{e}-5 + \displaystyle\frac{9}{\ln 4}\).

Bài tập 4

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc \(y = v(t)\) (m/s). Cho \(0<a<b\) và \(v(t) > 0\) với mọi \(t \in [a;b]\). Hãy giải thích vì sao \(\displaystyle\int\limits_a^b v(t) \mathrm{~d}t\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ \(a\) đến \(b\) (\(a,b\) tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 2 - \sin t \) (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t=0\) (s) đền thời điểm \(t = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\) (s).

a) Ta đã biết, công thức tính quãng đường \(s(t)\) vật đi được trong \(t\) (giây) là một nguyên hàm của \(v(t)\) (m/s).

Do đó \(\displaystyle\int\limits_a^b v(t) \mathrm{~d}t = s(b)-s(a)\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ \(a\) đến \(b\) (\(a,b\) tính theo giây).

b) Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t=0\) (s) đền thời điểm \(t = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\) (s) là:

\(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{3\pi}{4}} 2 - \sin t \mathrm{~d}t\) \(= (2t+\cos t)\bigg|_0^{\frac{3\pi}{4}} = \left(\displaystyle\frac{6\pi}{4}+\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right) - (0 + \cos 0) = \displaystyle\frac{3\pi}{2} - \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\) (m).

Bài tập 5

Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình bên dưới.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

a) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên bằng diện tích tam giác \(OAD\):

\[S_{OAD} = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 = 1 (m).\]

b) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên bằng diện tích hình thang \(OABC\):

\[S_{OABC} = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot (2+1) = 3 (m).\]

Bài tập 6

Ở nhiệt độ \(37^{\circ}C\), một phản ứng hóa học từ chất đầu \(A\), chuyển hóa thành chất sản phẩm \(B\) theo phương trình: \(A \rightarrow B\). Giả sử \(y(x)\) là nồng độ chất \(A\) (đơn vị mol \(\text{L}^{-1}\)) tại thời gian \(x\) (giây), \(y(x) > 0\) với \(x \geq 0\), thỏa mãn hệ thức: \(y'(x) = -7 \cdot 10^{-4} y(x)\) với \(x \geq 0\). Biết rằng tại \(x=0\), nồng độ (đầu) của \(A\) là 0{,}05 mol \(\text{L}^{-1}\).

a) Xét hàm số \(f(x) = \ln y(x)\) với \(x \geq 0\). Hãy tính \(f'(x)\), từ đó hãy tìm hàm số \(f(x)\).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất \(A\) (đơn vị mol \(\text{L}^{-1}\)) từ thời điểm \(a\) (giây) đến thời điểm \(b\) (giây) với \(0<a<b\) theo công thức \(\displaystyle\frac{1}{b-a} \displaystyle\int\limits_a^b y(x) \mathrm{~d}x\). Xác định nồng độ trung bình của chất \(A\) từ thời điểm \(15\) giây đến thời điểm \(30\) giây.

a) Ta có \(f'(x) = \left( \ln y(x) \right)' = \displaystyle\frac{y'(x)}{y(x)} = -7 \cdot 10^{-4}\).

Suy ra \(f(x) = \displaystyle\int\limits -7 \cdot 10^{-4} \mathrm{~d}x = -7 \cdot 10^{-4} x + C\).

Tại \(x = 0\), ta có \(f(0) = \ln y(0) = \ln(0{,}05)\), suy ra \(C = \ln(0{,}05)\).

Vậy \(f(x) = -7 \cdot 10^{-4} x + \ln(0{,}05) \).

b) Ta có \(f(x) = \ln y(x)\) với \(x \geq 0\).

Suy ra \(y(x) = \mathrm{e}^{f(x)} = \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4} x + \ln(0{,}05)}= 0{,}05 \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4}x}\).

Nồng độ trung bình của chất \(A\) từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:

\[\displaystyle\frac{1}{30-15} \displaystyle\int\limits_{15}^{30} 0{,}05 \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4}x } \mathrm{~d}x = \displaystyle\frac{0{,}05}{15} \left. \displaystyle\frac{ \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4}x }}{-7 \cdot 10^{-4}} \right|_{15}^{30} \approx 0{,}04922 . \]

\(\S2\) TÍCH PHÂN

Bài tập sách Chân trời sáng tạo