\(\S1\) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(3;-4;5)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(2;7;-1)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(2(x-3)+7(y+4)-(z-5)=0 \Leftrightarrow 2x+7y-z+23=0.\)

Mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=(-12;6;-3)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(-12(x+1)+6(y-2)-3(z-3)=0\) \(\Leftrightarrow 4x-2y+z-3=0\).

a) Mặt phẳng \((P)\) qua \(I(3;-4;1)\) và nhận \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(1(x-3)+0(y+4)+0(z-1)=0\) \( \Leftrightarrow x-3=0.\)

b) Mặt phẳng \((P)\) qua \(K(-2;4;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{k}=(0;1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(0(x+2)+1(y-4)+0(z+1)=0\) \( \Leftrightarrow y-4=0.\)

c) Mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q)\colon 3x+7y+10z+1=0\) nên \((P)\colon 3x+7y+10z+d=0.\)

Mặt khác, \((P)\) qua \(K(-2;4;-1)\) nên

\(3\cdot (-2)+7\cdot 4+10\cdot (-1)+d=0\) \( \Leftrightarrow d=-2.\)

Vây \((P)\colon 3x+7y+10z-2=0\).

Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(-1;3;-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;1;-1)\), \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-2;-2;-4)\);

Mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-2;-2;-4)\) nên có phương trình

\(-2(x-1)-2(y-1)-4(z-1)=0\) \( \Leftrightarrow x+y+2z-4=0.\)

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \((P)\) là \(\displaystyle\frac{x}{5}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{6}=1\).

a) Do \(\displaystyle\frac{4}{8}=\displaystyle\frac{-1}{-2}=\displaystyle\frac{-1}{-2}\ne \displaystyle\frac{1}{1}\) nên \((P_1)\parallel (P_2)\).

b) Lấy \(A(0,0,1)\in (P_1)\) thì

\(\mathrm{d}\left((P_1),(P_2)\right)=\mathrm{d}\left(A,(P_2)\right)\) \(=\displaystyle\frac{\left|-2+1\right|}{\sqrt{8^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}.\)

a) \((P_1)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n_1=(1;2;3)\).

\((P_2)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n_2=(1;1;-1)\).

Do \(\overrightarrow n_1\cdot \overrightarrow n_2=1+2-3=0\) nên \(\overrightarrow n_1\perp \overrightarrow n_2\).

Suy ra \((P_1)\perp (P_2)\).

b) Ta có \(\mathrm{d}\left(M,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|1-2+12+1\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=4\).

a) Ta thấy \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}=(0;3;0)\) nên

\(\begin{cases}x_C-2=0\\ y_C-0=3\\ z_C-0=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_C=2\\ y_C=3\\ z_C=0.\end{cases}\)

Suy ra \(C(2;3;0) \).

b) Mặt phẳng \((SBD)\) cắt ba trục tọa độ tại \(B(2;0;0)\), \(D(0;4;0)\) và \(S(0;0;4)\) nên có phương trình

\((SBD)\colon \displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{4}=1\) \( \Leftrightarrow 6x+4y+3z-12=0.\)

c) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SBD)\) là

\(\mathrm{d}\left(C,(SBD)\right)=\displaystyle\frac{\left|12+12+0-12\right|}{\sqrt{36+16+9}}=\displaystyle\frac{12\sqrt{61}}{61}.\)

a) Do \(B\in (CBEF)\colon z=3\) nên \(z_B=3 \Rightarrow 2k=3 \Rightarrow k=\displaystyle\frac{3}{2}\).

Suy ra \(B\left(6;\displaystyle\frac{9}{2};3\right)\).

b) Mặt phẳng \((AOBC)\) chứa \(Ox\) nên có phương trình là \(by+cz=0\) với \(b\), \(c\) không đồng thời bằng \(0\).

Mà \((AOBC)\) qua \(B\left(6;\displaystyle\frac{9}{2};3\right)\) nên \(\displaystyle\frac{9}{2}b+3c=0\).

Chọn \(b=2\) thì \(c=-3\). Do vậy \((AOBC)\colon 2y-3z=0\).

c) Tương tự câu trên, ta thấy \((DOBE)\colon x-2z=0\).

d) Mặt phẳng \((AOBC)\colon 2y-3z=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n_1=(0;2;3)\).

Mặt phẳng \((DOBE)\colon x-2z=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n_2=(1;0;-2)\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;2;0)\), \(\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) suy ra \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;-1;-4)\).

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(2;1;3)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(1;-1;-4)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

\(1\cdot (x-2)-1\cdot (y-1)-4\cdot (z-3)=0\) \( \Leftrightarrow x-y-4z+9=0.\)

b) Thay tọa độ \(D(4;0;2,8)\) vào phương trình mặt phẳng \((ABC)\) ta được

\(4-0-4\cdot 2{,}8+9=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{5}{9}=0\) không thỏa.

Vậy \(D\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\).