\(\S2\) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

a) Với \(t=0\), ta có \(x=1\); \(y=3\); \(z=-1\). Suy ra \(A(1;3;-1)\in\Delta\).

Với \(t=1\), ta có \(x=0\); \(y=5\); \(z=2\). Suy ra \(B(0;5;2)\in\Delta\).

b) Thay tọa độ điểm \(C(6;-7;-16)\) vào phương trình tham số của \(\Delta\) ta có

\(\begin{cases}6=1-t\\-7=3+2t\\-16=-1+3t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=-5\\t=-5\\t=-5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow t=-5.\)

Vậy điểm \(C\in\Delta\).

Thay tọa độ điểm \(D(-3;11;-11)\) vào phương trình tham số của \(\Delta\) ta có

\(\begin{cases}-3=1-t\\11=3+2t\\-11=-1+3t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=4\\t=4\\t=-\displaystyle\frac{10}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\) \( t\in\varnothing.\)

Vậy điểm \(D\notin\Delta\).

a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(-1;3;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(-2;3;4)\) lần lượt là

\(\Delta\colon\begin{cases}x=-1-2t\\y=3+3t\\z=2+4t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) và \(\Delta\colon\displaystyle\frac{x+1}{-2}=\displaystyle\frac{y-3}{3}=\displaystyle\frac{z-2}{4}\).

b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(M(2;-1;3)\); \(N(3;0;4)\) sẽ nhận véc-tơ \(\overrightarrow{MN}=(1;1;1)\) làm véc-tơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\) lần lượt là

\(\Delta\colon\begin{cases}x=2+t\\y=-1+t\\z=3+t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) và \(\Delta\colon\displaystyle\frac{x-2}{1}=\displaystyle\frac{y+1}{1}=\displaystyle\frac{z-3}{1}\).

a) \(\Delta_1\) đi qua \(M(1;2;3)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;1;-1)\); \(\Delta_2\) đi qua \(N(-11;-6;10)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(-6;-3;3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{MN}=(-12;-8;7)\). Suy ra \(\begin{cases}\overrightarrow{u}_1 \text{ cùng phương }\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{u}_1\text{ không cùng phương }\overrightarrow{MN}.\end{cases}\)

Vậy \(\Delta_1\parallel\Delta_2 \).

b) \(\Delta_1\) đi qua \(M(1;2;3)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(3;4;5)\); \(\Delta_2\) đi qua \(N(-3;-6;15)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(1;2;-3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{MN}=(-4;-8;12)\). Suy ra \(\begin{cases}\overrightarrow{u}_1\text{ không cùng phương }\overrightarrow{u}_2\\ \left[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2\right]\cdot\overrightarrow{MN}=0.\end{cases}\)

Vậy \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2 \).

c) \(\Delta_1\) đi qua \(M(-1;1;0)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(4;3;1)\); \(\Delta_2\) đi qua \(N(1;3;1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(1;2;2)\).

Khi đó \(\overrightarrow{MN}=(2;2;1)\). Suy ra \(\left[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2\right]\cdot\overrightarrow{MN}=-1\ne0.\)

Vậy \(\Delta_1\), \(\Delta_2 \) chéo nhau.

a) \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) lần lượt có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=\left(1;\sqrt{3};0\right)\) và \(\overrightarrow{u}_2=\left(\sqrt{3};1;0\right)\).

Ta có

\(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2\right|}{\left|\overrightarrow{u}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{u}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{\left|1\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot1+0\cdot0\right|}{\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2+0^2}\cdot\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2+0^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=30^\circ\).

b) \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) lần lượt có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;1;-1)\) và \(\overrightarrow{u}_2=(3;1;-2)\).

Ta có

\(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2\right|}{\left|\overrightarrow{u}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{u}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|2\cdot3+1\cdot1+(-1)\cdot(-2)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{21}}{14}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)\approx11^\circ\).

c) \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) lần lượt có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(1;1;-1)\) và \(\overrightarrow{u}_2=(-1;3;1)\).

Ta có

\(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2\right|}{\left|\overrightarrow{u}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{u}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|1\cdot(-1)+1\cdot3+(-1)\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+3^2+1^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{33}}{33}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)\approx80^\circ\).

a) \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(\sqrt{3};0;1\right)\) và \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};0;1\right)\).\\

Ta có \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{n}\) nên \(\Delta\perp(P)\).

Vậy \(\left(\Delta,(P)\right)=90^\circ\).

b) \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-1;1)\) và \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;1;1)\).

Ta có

\(\sin\left(\Delta,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|1\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=71^\circ\).

\((P_1)\), \((P_2)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;2)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(2;-1;1)\).

Ta có

\(\cos\left((P_1),(P_2)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|1\cdot2+1\cdot(-1)+2\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(\left((P_1),(P_2)\right)=60^\circ\).

a) Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(\displaystyle\frac{a}{2};0;-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\) và \(\overrightarrow{CD}=\left(a;0;0\right)\).

Khi đó

\(\cos\left(SA,CD\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{CD}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CD}\right|}\) \(=\displaystyle\frac{\left|\displaystyle\frac{a}{2}\cdot a+0\cdot0+\left(-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot0\right|}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2+0^2+\left(-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}\cdot\sqrt{a^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(\left(SA,CD\right)=60^\circ\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AC}=\left(-a;a;0\right)\). Khi đó mặt phẳng \((SAC)\) có véc-tơ pháp tuyến cùng phương với véc-tơ \(\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{a^2}{2}\right)=\displaystyle\frac{a^2}{2}\left(\sqrt{3};\sqrt{3};1\right).\)

Suy ra một véc-tơ pháp tuyến của \((SAC)\) là \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};\sqrt{3};1\right)\).

Ta lại có \(\overrightarrow{SD}=\left(\displaystyle\frac{a}{2};a;-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\), suy ra \(SD\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(1;2;-\sqrt{3}\right)\).

Do đó

\(\sin\left(SD,(SAC)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}\) \(=\displaystyle\frac{\left|\sqrt{3}\cdot1+\sqrt{3}\cdot2+1\cdot\left(-\sqrt{3}\right)\right|}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{42}}{14}\).

Vậy \(\left(SD,(SAC)\right)\approx28^\circ\).

a) Ta có đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left(\displaystyle\frac{7}{2};-2;\displaystyle\frac{2}{5}\right)\) và nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(0;\displaystyle\frac{15}{2};-\displaystyle\frac{2}{5}\right)=\displaystyle\frac{1}{10}\left(0;75;-4\right)\) làm véc-tơ chỉ phương nên

\(AB\colon\begin{cases}x=\displaystyle\frac{7}{2}\\y=-2+75t\\z=\displaystyle\frac{2}{5}-4t\end{cases}\), (\(t\) là tham số).

b) Đường thẳng \(AB\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(0;75;-4)\) và mặt phẳng \((Oxy)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(0;0;1)\).

Ta có

\(\sin\left(AB,(Oxy)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}\) \(=\displaystyle\frac{\left|0\cdot0+75\cdot0+(-4)\cdot1\right|}{\sqrt{0^2+75^2+(-4)^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{5641}}\).

Vậy \(\left(SD,(SAC)\right)\approx3{,}1^\circ\). Do đó góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

c) Ta có \((\alpha)\) đi qua ba điểm \(M(5;0;0)\), \(N(0;-5;0)\), \(P(0;0;0{,}5)\) nên có phương trình

\((\alpha)\colon \displaystyle\frac{x}{5}+\displaystyle\frac{y}{-5}+\displaystyle\frac{z}{0{,}5}=1\) \(\Leftrightarrow x-y+10z-5=0.\)

Thay phương trình đường thẳng \(AB\) vào phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) ta có

\(\displaystyle\frac{7}{2}+2-75t+10\cdot\left(\displaystyle\frac{2}{5}-4t\right)-5=0\) \(\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{9}{230}.\)

Khi đó \(x=\displaystyle\frac{7}{2}\); \(y=\displaystyle\frac{43}{46}\); \(z=\displaystyle\frac{28}{115}\). Vậy \(C\left(\displaystyle\frac{7}{2};\displaystyle\frac{43}{46};\displaystyle\frac{28}{115}\right)\).

d) Tại vị trí máy bay có độ cao \(120\) m, ta có \(z=0{,}12=\displaystyle\frac{3}{25}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{5}-4t=\displaystyle\frac{3}{25}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{7}{100}\).

Khi đó \(x=\displaystyle\frac{7}{2}\); \(y=\displaystyle\frac{13}{4}\).

Vậy \(D\left(\displaystyle\frac{7}{2};\displaystyle\frac{13}{4};\displaystyle\frac{3}{25}\right)\).

e) Khoảng cách

\(DE=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{7}{2}-\displaystyle\frac{7}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{13}{2}-\displaystyle\frac{13}{4}\right)^2+\left(0-\displaystyle\frac{3}{25}\right)^2}\approx 3{,}25\) (km).

Suy ra \(DE>900\) m.

Do đó sau khi ra khỏi đám mây, người phi công không đạt được quy định an toàn.