\(\S3\) PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Cho mặt cầu có phương trình \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-7)^2=100\).
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
b) Mỗi điểm \(A(1;1;1)\), \(B(9;4;7)\), \(C(9;9;10)\) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?
a) Mặt cầu có tâm \(I(1;-2;7)\) và bán kính \(R=10\).
b) Ta có
+) \(IA=\sqrt{(1-1)^2+(1+2)^2+(1-7)^2}=\sqrt{45}<R\) nên điểm \(A\) nằm bên trong mặt cầu.
+) \(IB=\sqrt{(9-1)^2+(4+2)^2+(7-7)^2}=\sqrt{100}=R\) nên điểm \(B\) nằm trên mặt cầu.
+) \(IC=\sqrt{(9-1)^2+(9+2)^2+(10-7)^2}=\sqrt{194}>R\) nên điểm \(C\) nằm ngoài mặt cầu.
Bài tập 2
Cho phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x-2y-10z+2=0\). Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
Ta có \(a=2\), \(b=1\), \(c=5\), \(d=2\), suy ra \(a^2+b^2+c^2-d=28>0\) nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm \(I(2;1;5)\) và bán kính \(R=\sqrt{28}\).
Bài tập 3
Lập phương trình mặt cầu \((S)\) trong mỗi trường hợp sau\(\colon\)
a) \((S)\) có tâm \(I(3;-7;1)\) và bán kính \(R=2\).
b) \((S)\) có tâm \(I(-1;4;-5)\) và đi qua điểm \(M(3;1;2)\).
c) \((S)\) có đường kính là đoạn thẳng \(CD\) với \(C(1;-3;-1)\) và \(D(-3;1;2)\).
a) Phương trình \((S)\) có tâm \(I(3;-7;1)\) và bán kính \(R=2\) là \((x-3)^2+(y+7)^2+(z-1)^2=4\).
b) \(IM=\sqrt{(3+1)^2+(1-4)^2+(2+5)^2}=\sqrt{74}\).
Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;4;-5)\), bán kính \(R=IM=\sqrt{74}\) là \((x+1)^2+(y-4)^2+(z+5)^2=74.\)
c) Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(I\left(-1;-1;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và ta có \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\).
\(CD=\sqrt{(-3-1)^2+(1+3)^2+(2+1)^2}=\sqrt{41}\), suy ra bán kính \(R=\displaystyle\frac{\sqrt{41}}{2}\).
Vậy mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x+1)^2+(y+1)^2+\left(z-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{41}{4}\).
Bài tập 4
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian.
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí \(M\) cần tìm tọa độ. Như vậy điểm \(M\) là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian.
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí \(M\) cần tìm tọa độ. Như vậy điểm \(M\) là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho bốn vệ tinh \(A(3;-1;6)\), \(B(1;4;8)\), \(C(7;9;6)\) và \(D(7;-15;18)\). Tìm tọa độ của điểm \(M\) trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm \(M\) lần lượt là \(MA=6\), \(MB=7\), \(MC=12\), \(MD=24\).
Gọi \(M(x;y;z)\) ta có \(MA=6\), \(MB=7\), \(MC=12\), \(MD=24\) suy ra
\begin{eqnarray*}&&\begin{cases} (3-x)^2+(-1-y^2)+(6-z)^2=36 \\ (1-x)^2+(4-y)^2+(8-z)^2=49 \\ (7-x)^2+(9-y)^2+(6-z)^2=144 \\ (7-x)^2+(-15-y)^2+(18-z)^2=576\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} x^2+y^2+z^2-6x+2y-12z+10=0 \\ x^2+y^2+z^2-2x-8y-16z+32=0 \\ x^2+y^2+z^2-14x-18y-12z+22=0 \\ x^2+y^2+z^2-14x+30y-36z+22=0\end{cases} \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} x^2+y^2+z^2-6x+2y-12z+10=0 \\ 4x-10y-4z+22=0 \\ -8x-20y+12=0 \\ -8x+28y-24z+12=0\end{cases} \\&\Leftrightarrow& \begin{cases}x=-1 \\ y=1 \\ z=2.\end{cases}\end{eqnarray*}
Vậy \(M(-1;1;2)\).