ÔN TẬP CHƯƠNG VI
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Một cửa hàng kinh doanh tổ chức rút thăm trúng thưởng cho hai loại sản phẩm. Tỉ lệ trúng thưởng của các loại sản phẩm I, II lần lượt là \(6 \%\); \(4 \%\). Trong một hộp kín gồm các thăm cùng loại, người ta để lẫn lộn \(200\) chiếc thăm cho sản phẩm loại I và \(300\) chiếc thăm cho sản phẩm loại II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên \(1\) chiếc thăm từ chiếc hộp đó.
a) Tính xác suất để chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng.
b) Giả sử chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng. Xác suất chiếc thăm đó thuộc loại sản phẩm nào là cao nhất?
a) Xét biến cố \(A\): Chiếc thăm được lấy ra là trúng thưởng.
Khi đó, ta có
\(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{6\% \cdot 200 + 4\% \cdot 300}{200+300}=0{,}048\).
b) Xét hai biến cố:
\(B\): Chiếc thăm được lấy ra là thăm cho sản phẩm loại I.
\(C\): Chiếc thăm được lấy ra là thăm cho sản phẩm loại II.
Khi đó, ta có:
\(\mathrm{P}(B|A)=\displaystyle\frac{n(B\cap A)}{n(A)}=\displaystyle\frac{6\% \cdot 200}{6\% \cdot 200 + 4\% \cdot 300}=0{,}5\).
\(\mathrm{P}(C|A)=\displaystyle\frac{n(C\cap A)}{n(A)}=\displaystyle\frac{4\% \cdot 300}{6\% \cdot 200 + 4\% \cdot 300}=0{,}5\).
Vậy xác suất hai chiếc thăm lấy được là như nhau.
Bài tập 2
Một xạ thủ bắn vào bia số \(1\) và bia số \(2\). Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng bia số \(1\), bia số \(2\) lần lượt là \(0{,}8\); \(0{,}9\). Xác suất để xạ thủ đó bắn trúng cả hai bia là \(0{,}8\). Xét hai biến cố sau:
+) \(A\): Xạ thủ đó bắn trúng bia số \(1\);
+) \(B\): Xạ thủ đó bắn trúng bia số \(2\).
a) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?
b) Biết xạ thủ đó bắn trúng bia số \(1\), tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số \(2\).
c) Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia số \(1\), tính xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số \(2\).
a) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
b) Xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số \(2\) và bia số \(1\) là
\(\mathrm{P}(B|A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\cap A)}{\mathrm{P}(A)}=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B) \cdot \mathrm{P}(A)}{\mathrm{P}(A)}=\mathrm{P}(B)=0{,}9.\)
c) Xác suất xạ thủ đó bắn trúng bia số \(2\) và không bắn trứng bia số \(1\) là \(\mathrm{P}(B|\overline{A})=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\cap \overline{A})}{\mathrm{P}(\overline{A})}=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B) \cdot \mathrm{P}(\overline{A})}{\mathrm{P}(\overline{A})}=\mathrm{P}(B)=0{,}9.\)
Bài tập 3
Một chiếc hộp có \(40\) viên bi, trong đó có \(12\) viên bi màu đỏ và \(28\) viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân lấy ngẫu nhiên viên bi từ chiếc hộp đó hai lần, mỗi lần lấy ra một viên bi và viên bi được lấy ra không bỏ lại hộp. Tính xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng.
Xét hai biến cố
\(A\): Viên bi thứ nhất màu vàng.
\(B\): Viên bi thứ hai màu vàng.
Khi đó, ta có xác suất để cả hai lần bạn Ngân đều lấy ra được viên bi màu vàng là
\(\mathrm{P}(A\cap B)=\displaystyle\frac{\mathrm{C}_{28}^2}{\mathrm{C}_{40}^2}=\displaystyle\frac{63}{130}\).
Bài tập 4
Giả sử trong một nhóm người có \(2\) người nhiễm bệnh, \(58\) người còn lại là không nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là \(85 \%\) nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất để bị xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(7 \%\).
a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.
b) Giả sử \(X\) là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất để \(X\) là người nhiễm bệnh.
a) Xét hai biến cố
\(N\): Người được chọn bị nhiễm bệnh.
\(D\): Người được chọn có phản ứng dương tính.
Khi đó, ta có
\(\mathrm{P}(N)=\displaystyle\frac{2}{60}=\displaystyle\frac{1}{30}; \qquad \mathrm{P}(\overline{N})=\displaystyle\frac{58}{60}=\displaystyle\frac{29}{30}.\)
\(\mathrm{P}(D|N)=85\%=0{,}85; \qquad \mathrm{P}(D|\overline{N})=7\%=0{,}07.\)
Ta có sơ đồ cây biểu thị tình huống đã cho là
b) Ta có
\(\mathrm{P}(N|D)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(D|N) \cdot \mathrm{P}(N)}{\mathrm{P}(N) \cdot \mathrm{P}(D|N)+\mathrm{P}(\overline{N})\mathrm{P}(D|\overline{N})}\) \(=\displaystyle\frac{0{,}85 \cdot \displaystyle\frac{1}{30}}{0{,}85 \cdot \displaystyle\frac{1}{30}+0{,}07 \cdot \displaystyle\frac{29}{30}}\approx 29{,}5\%\).