ÔN TẬP CHƯƠNG I

a) Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{2x+3}{x+1}=2 \).

Suy ra đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\).

\(\lim\limits_{x \to -1^{-}} \displaystyle\frac{2x+3}{x+1}=-\infty \),

\(\lim\limits_{x \to -1^{+}} \displaystyle\frac{2x+3}{x+1}=+\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\).

b) Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-5}{x-1}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{2x-5}{x-1}=2 \).

Suy ra đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\).

\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} \displaystyle\frac{2x-5}{x-1}=-\infty \),

\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} \displaystyle\frac{2x-5}{x-1}=+\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\).

c) Xét hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}=\pm \infty \).

Suy ra đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\) không có tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x \to -1^{-}} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}=+\infty \),

\(\lim\limits_{x \to -1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}=-\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\).

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x(x+1)}=2 \),

\(\lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x)-2x\right]=\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{x+1}=1 \).

Suy ra đường thẳng \(y=2x+1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\).

Vậy hàm số câu \(a)\) có đồ thị {\it Hình 34b} và hàm số câu \(c)\) có đồ thị {\it Hình 34a}.

a) Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \left\{\displaystyle\frac{2}{3}\right\}\)

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}=\displaystyle\frac{5}{3} \).

Suy ra đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{5}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}\).

\(\lim\limits_{x \to \left(\tfrac{2}{3}\right)^{-}} \displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}=-\infty \),

\(\lim\limits_{x \to \left(\tfrac{2}{3}\right)^{+}} \displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}=+\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=\displaystyle\frac{2}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}\).

b) Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}=0 \).

Suy ra đường thẳng \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}\).

\(\lim\limits_{x \to -1^{-}} \displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}=-\infty \),

\(\lim\limits_{x \to -1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}=+\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}\).

c) Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=(-\infty;-2)\cup (2;+\infty)\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to - \infty} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=-1 \), \(\lim\limits_{x \to + \infty} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=1 \)

Suy ra đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\) có hai đường tiệm cận ngang là \(y=\pm 1\).

\(\lim\limits_{x \to -2^{-}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty \),

\(\lim\limits_{x \to 2^{+}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=+\infty \).

Suy ra đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\) có hai đường tiệm cận đứng là \(x=\pm 2\).

a) Xét hàm số \(y=f(x)=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).

\(\lim\limits_{x \to 0^{-}} \left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)=+\infty \),

\(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)=+\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\).

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-(x-3)\right] =\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{1}{x^2}=0 \).

Suy ra đường thẳng \(y=x-3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\).

b) Xét hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1} =-\infty \),

\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}=2 \),

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-2x\right]=\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{-x+2}{x-1}=-1 \) .

Suy ra đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}\).

c) Xét hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\left(-\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

\(\lim\limits_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}=+\infty \).

Suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}\).

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{x\sqrt{2x+1}}=+\infty \).

Do đó đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}\) không có tiệm cận xiên.

a) Xét hàm số \(f(x)= 2x^2-6x\) trên đoạn \(\left[-1;3\right]\).

\(\bullet\) \(f^\prime (x)=4x-6\). Khi đó trên khoảng \((-1;3)\), \(f^\prime (x)=0\) khi \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\).

\(\bullet\) \(f(-1)=8\), \(f(3)=0\), \(f\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)=-\displaystyle\frac{9}{2}\).

Vậy \(\min\limits_{[-1;3]} y=-\displaystyle\frac{9}{2}\) tại \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\), \(\max \limits_{[-1;3]} y=8\) tại \(x=-1\).

b) Xét hàm số \(f(x)= \displaystyle\frac{x^2+3x+6}{x+2}\) trên đoạn \(\left[1;5\right]\).

\(\bullet\) \(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\). Khi đó trên khoảng \((1;5)\), \(f^\prime (x)>0\).

\(\bullet\) \(f(1)=\displaystyle\frac{10}{3}\), \(f(5)=\displaystyle\frac{46}{7}\).

Vậy \(\min \limits_{[1;5]}y=\displaystyle\frac{10}{3}\) tại \(x=1\), \(\max \limits_{[1;5]}y=\displaystyle\frac{46}{7}\) tại \(x=5\).

c) Xét hàm số \(f(x)= \displaystyle\frac{\ln (x+1)}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\).

\(\bullet\) \(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}\). Khi đó trên khoảng \((0;3)\), \(f^\prime (x)=0\) khi \(x=\text{e}-1\).

\(\bullet\) \(f(0)=0\), \(f(3)=\displaystyle\frac{4}{4}\), \(f(\text{e}-1)=\displaystyle\frac{1}{\text{e}}\).

Vậy \(\min \limits_{[0;3]}y=0\) tại \(x=0\), \(\max \limits_{[0;3]}y=\displaystyle\frac{1}{\text{e}}\) tại \(x=\text{e}-1\).

d) Xét hàm số \(f(x)= 2\sin 3x +7x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).

\(\bullet\) \(f^\prime (x)=6\cos 3x+7\). Khi đó trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2} \right)\), \(f^\prime (x)>0\).

\(\bullet\) \(f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\).

Vậy \(\min \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]}y=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\max \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2} y;\tfrac{\pi}{2}\right]}y=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=x^3-3x^2+2\).

+ Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

+ Sự biến thiên

\(\bullet\) Giới hạn tại vô cực: \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\bullet\) \(y^\prime =3x^2-6x\);

\(y^\prime =0 \Leftrightarrow 3x^2-6x=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

\(\bullet\) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \((2; +\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=2\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=-2\).

+ Đồ thị

\(\bullet\) Giao điểm với trục tung: \((0;2)\).

\(\bullet\) Bảng giá trị tương ứng

\(\bullet\) Đồ thi có tâm đối xứng là \(I(1;0)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) như hình bên.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-6x\).

+ Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

+ Sự biến thiên

\(\bullet\) Giới hạn tại vô cực: \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=-\infty\).

\(\bullet\) \(y^\prime =-3x^2+6x-6\);

\(y^\prime <0 \) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

\(\bullet\) Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị

\(\bullet\) Giao điểm với trục tung: \((0;0)\).

\(\bullet\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;0)\), \((1;-4)\) và \((2;-8)\).

\(\bullet\) Đồ thị có tâm đối xứng là \(I(1;-4)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=-x^3+3x^2-6x\) như hình bên.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x-2}{x-2}\).

+ Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\}\).

+ Sự biến thiên

\(\bullet\) Giới hạn tại vô cực, giới hại vô cực và các đường tiệm cận: \(\lim\limits_{x\to \pm\infty} y=3\). Do đó đường thẳng \(y=3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to 2^{-}} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to 2^{+}} y=+\infty\). Do đó đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\bullet\) \(y^\prime =\displaystyle\frac{-4}{(x-2)^2}\);

\(y^\prime <0 \) với mọi \(x\ne 1\).

\(\bullet\) Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị

\(\bullet\) Giao điểm với trục tung: \((0;1)\).

\(\bullet\) Giao điểm với trục hoành: \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};0\right)\).

\(\bullet\) Bảng giá trị tương ứng

\(\bullet\) Đồ thị có tâm đối xứng là \(I(2;3)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x-2}{x-2}\) như hình bên.

d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{2x+3}\).

+ Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-\displaystyle\frac{3}{2}\right\}\).

+ Sự biến thiên

\(\bullet\) Giới hạn tại vô cực, giới hại vô cực và các đường tiệm cận: \(\lim\limits_{x\to \pm\infty} y=\displaystyle\frac{1}{2}\). Do đó đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to \left(-\tfrac{3}{2}\right)^{-}} y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to \left(-\tfrac{3}{2}\right)^{+}} y=-\infty\). Do đó đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\bullet\) \(y^\prime =\displaystyle\frac{3}{(2x+3)^2}\);

\(y^\prime >0 \) với mọi \(x\ne -\displaystyle\frac{3}{2}\).

\(\bullet\) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;\displaystyle\frac{-3}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{-3}{2};+\infty\right)\).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị

\(\bullet\) Giao điểm với trục tung: \((0;0)\).

\(\bullet\) Bảng giá trị tương ứng

\(\bullet\) Đồ thị có tâm đối xứng là \(I\left(-\displaystyle\frac{3}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{2x+3}\) như hình bên.

e) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(\displaystyle\frac{x^2+2x+4}{x}\).

+ Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\).

+ Sự biến thiên

Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2+\displaystyle\frac{4}{x}\).

\(\bullet\) Giới hạn tại vô cực, giới hại vô cực và các đường tiệm cận: \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\),

\(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to 0^{+}} y=+\infty\).

Do đó đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to -\infty} [y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\).

Do đó đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\bullet\) \(y^\prime =\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\);

\(y^\prime =0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}=0\Leftrightarrow \) \(x=\pm 2\).

\(\bullet\) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=-2\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=6\).

+ Đồ thị

\(\bullet\) Đồ thị không cắt trục tung và trục hoành.

\(\bullet\) Bảng giá trị tương ứng

\(\bullet\) Đồ thị có tâm đối xứng là \(I\left(0;2\right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(\displaystyle\frac{x^2+2x+4}{x}\) như hình bên.

f) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+4x+3}{x+2}\).

+ Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\).

+ Sự biến thiên

Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2-\displaystyle\frac{1}{x+2}\).

\(\bullet\) Giới hạn tại vô cực, giới hại vô cực và các đường tiệm cận: \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\),

\(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to -2^{-}} y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to -2^{+}} y=-\infty\).

Do đó đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to -\infty} [y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\).

Do đó đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\bullet\) \(y^\prime =\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{(x+2)^2}\);

\(y^\prime >0\) với mọi \(x \ne -2\).

\(\bullet\) Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị

\(\bullet\) Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

\(\bullet\) Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left(-3;0\right)\) và \((-1;0)\).

\(\bullet\) Bảng giá trị tương ứng

\(\bullet\) Đồ thị có tâm đối xứng là \(I\left(-2;0\right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+4x+3}{x+2}\) như hình bên.

Gọi \(x \text{ (cm)}\) là chiều dài lề trên và lề dưới.

Chiều dài lề trái và lề phải là \(\displaystyle\frac{384}{x} \text{ (cm)}\). Điều kiện: \(4<x<64\).

Diện tích phần in chữ trên trang sách là \(S(x)=(x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right)\).

Xét hàm số \(f(x)= (x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right) =\displaystyle\frac{-6x^2-408x-1536}{x}\) trên khoảng \((4;64)\).

\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}\).

\(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& x=-16 \notin (4;64)\\ &x=16\in (4;64)\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((6;96)\)

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(4;64)} f(x)=f(16)=216\).

Do đó chiều dài lề trên và lề dưới của trang sách là \(16 \text{ (cm)}\), dài lề trái và lề phải của trang sách là \(\displaystyle\frac{384}{16}=24 \text{ (cm)}\) thì phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất bằng \(216 \text{ cm}^2\).

Gọi \(x \text{ (m)}\) là chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông.

Chi phí làm mặt hàng rào song song với bờ sông là \(60000x\).

Chi phí làm ba mặt hàng rào song song với nhau là \(15000000-60000x\).

Chiều dài của một mặt hàng rào song song với nhau là \(\displaystyle\frac{15000000-60000x}{3\cdot 50000}=\left( \displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)\).

Diện tích của khu đất là \(S(x)=x\left( \displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)=-\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\). Điều kiện \(0<x<250\).

Xét hàm số \(f(x)= -\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\) trên khoảng \((0;250)\).

\(f^\prime (x)=-\displaystyle\frac{4}{5}x+100\), \(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{4}{5}x+100=0\Leftrightarrow x=125\).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0;250)\)

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;250)} f(x)=f(125)=6250\).

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(6250 \text{ m}^2\). Với chiều dài mặt hàng rào song song với bờ sông là \(125 \text{ m}\) và chiều dài ba mặt song song là \(50 \text{ m}\).

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\), \(B\) trên \(CD\).

Đặt \(x=MD\), \(\left( 0<x<a\right)\). Suy ra \(AM=\sqrt{AD^2-MD^2}=\sqrt{a^2-x^2}\).

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S(x)=\displaystyle\frac{(AB+CD)AM}{2}=(a+x)\sqrt{a^2-x^2}\).

Xét hàm số \(f(x)= (a+x)\sqrt{a^2-x^2}\) trên khoảng \(\left( 0<x<a\right)\).

\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\),

\(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-a \notin \left( 0<x<a\right) &x=\displaystyle\frac{a}{2}\in \left( 0<x<a\right).\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left( 0;a\right)\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;a)} f(x)=f\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\).

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} \text{ m}^2\).

Đặt \(A'M=x\), \((0<x<2200)\), \(B'M=2200-x\).

Ta có: \(AM=\sqrt{x^2+500^2}\), \(BM=\sqrt{(2200-x)^2+600^2}\).

Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là \(AM+BM= \sqrt{x^2+500^2}+\sqrt{(2200-x)^2+600^2} \).

Xét hàm số \(f(x)= \sqrt{x^2+500^2}+\sqrt{(2200-x)^2+600^2}\) trên khoảng \((0<x<2200)\).

\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+500^2}}-\displaystyle\frac{2200-x}{\sqrt{(2200-x)^2+600^2}}\), \(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+500^2}}=\displaystyle\frac{2200-x}{\sqrt{(2200-x)^2+600^2}}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2}{x^2+500^2}=\displaystyle\frac{(2200-x)^2}{(2200-x)^2+600^2}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2+500^2}{x^2}=\displaystyle\frac{(2200-x)^2+600^2}{(2200-x)^2}\)

\(\Leftrightarrow 1+\displaystyle\frac{500^2}{x^2}=1+\displaystyle\frac{600^2}{(2200-x)^2}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{25}{x^2}=\displaystyle\frac{36}{(2200-x)^2}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{5}{x}=\displaystyle\frac{6}{2200-x}\Leftrightarrow x=1000\), vì \( x>0\).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left( 0;2200\right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng \(2460 \text{ m}\), tại vị trí \(M\) cách điểm \(A'\) là \(1000 \text{ m}\).

Cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng thì có thêm một căn hộ bỏ trống.

Gọi số lần tăng \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng mỗi căn hộ là \(x\) \((x\in\mathbb{N})\).

Số căn hộ có người thuê là \(20-x\) \((0\le x \le 20)\).

Tổng số tiền thu được là \((2000+200x)(20-x)\).

Xét hàm số \(f(x)=(2000+200x)(20-x)=-200x^2+2000x+40000\) trên khoảng \((0;20)\).

\(f^\prime (x)=-400x+2000\), \(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow -400x+2000=0\Leftrightarrow x=5 \).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left( 0;20\right)\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;20)} f(x)=f\left(5\right)=45000\) tại \(x=5\).

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ giá \(2000+200\cdot5=30000\) nghìn đồng (ba triệu đồng) thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.