ÔN TẬP CHƯƠNG IV

a) \(\displaystyle\int2x(x^3-x+2)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int(2x^4-2x^2+4x)\mathrm{d}x\,\) \(=\displaystyle\frac25x^5-\displaystyle\frac23x^3+2x^2+C\).

b) \(\displaystyle\int\left(2x+\displaystyle\frac1{x^3}\right)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int(2x+x^{-3})\mathrm{d}x\,\) \(=x^2-\displaystyle\frac1{2x^2}+C\);

c) \(\displaystyle\int(3+2\tan^2x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left[3+2\left(\displaystyle\frac1{\cos^2x}-1\right)\right]\mathrm{d}x\,\) \(=\displaystyle\int\left(1+2\cdot\displaystyle\frac1{\cos^2x}\right)\mathrm{d}x\,=x+2\tan x+C\);

d) \(\displaystyle\int(1-3\cot^2x)\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\left[1-3\left(\displaystyle\frac1{\sin^2x}-1\right)\right]\mathrm{d}x\,\) \(=\displaystyle\int\left(4-3\cdot\displaystyle\frac1{\sin^2x}\right)\mathrm{d}x\,=4x+3\cot x+C\);

e) \(\displaystyle\int(\sin x+2^{-x+1})\mathrm{d}x\,=-\cos x-\displaystyle\frac{2^{-x+1}}{\ln2}+C\);

f) \(\displaystyle\int(2\cdot6^{2x}-\mathrm{e}^{-x+1})\mathrm{d}x\,=2\cdot\displaystyle\frac{6^{2x}}{2\ln6}-\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{-x+1}}{-1}+C\) \(=\displaystyle\frac{6^{2x}}{\ln6}+\mathrm{e}^{-x+1}+C\).

a) Ta có \(F(x)=\displaystyle\int(x^2+\mathrm{e}^{-x})\mathrm{d}x\,=\displaystyle\frac13x^3-\mathrm{e}^{-x}+C\).

Vì \(F(0)=2\,023\) nên \(-\mathrm{e}^0+C=2\,023\Leftrightarrow C=2\,024\).

Vậy, \(F(x)=\displaystyle\frac13x^3-\mathrm{e}^{-x}+2\,024\).

b) Ta có \(G(x)=\displaystyle\int\displaystyle\frac1x\mathrm{d}x\,=\ln|x|+C=\ln x+C\).

Vì \(G(1)=2\,023\) nên \(\ln 1+C=2\,023\Leftrightarrow C=2\,023\).

Vậy, \(G(x)=\ln x+2\,023\).

a) Đặt \(u=x+2\) ta có \(\mathrm{d}x\,=\mathrm{d}u\,\). Khi \(x=-1\Rightarrow u=1\); \(x=1\Rightarrow u=3\).

Khi đó \(\displaystyle\int\limits_{-1}^1(x+2)^3\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\limits_1^3u^3\mathrm{d}u\,=\displaystyle\frac{u^4}{4}\Big|_1^3=\displaystyle\frac{3^4-1^4}{4}=20\).

b) \(\displaystyle\int\limits_1^2\displaystyle\frac2{x^2}\mathrm{d}x\,=2\displaystyle\int\limits_1^2x^{-2}\mathrm{d}x\,=-\displaystyle\frac2x\Big|_1^2=-\displaystyle\frac21+\displaystyle\frac22=-1\).

c) \(\displaystyle\int\limits_1^4x^2\sqrt x\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\limits_1^4x^{\tfrac52}\mathrm{d}x\,=\displaystyle\frac27x^{\tfrac72}\Big|_1^4=\displaystyle\frac27(4^{\tfrac72}-1^{\tfrac72})\) \(=\displaystyle\frac27\cdot127=\displaystyle\frac{254}{7}.\)

d) Đặt \(u=3x+2\) ta có \(\mathrm{d}u\,=3\mathrm{d}x\,\) và khi \(x=-1\Rightarrow u=-1\); \(x=0\Rightarrow u=2\).

Khi đó \(\displaystyle\int\limits_{-1}^02^{3x+2}\mathrm{d}x\,=\displaystyle\frac13\displaystyle\int\limits_{-1}^22^u\mathrm{d}u\,=\displaystyle\frac13\cdot\displaystyle\frac{2^u}{\ln 2}\Big|_{-1}^2\) \(=\displaystyle\frac1{3\ln 2}(2^2-2^{-1})=\displaystyle\frac{7}{6\ln2}\).

e) \(\displaystyle\int\limits_0^22^x\cdot3^{x+1}\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\limits_0^23\cdot6^x\mathrm{d}x\,\) \(=\displaystyle\frac2{\ln6}6^x\Big|_0^2=\displaystyle\frac2{\ln6}(6^2-6^0)=\displaystyle\frac{70}{\ln6}\).

f) \(\displaystyle\int\limits_0^1\displaystyle\frac{7^x}{11^x}\mathrm{d}x\,=\displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\frac7{11}\right)^x\mathrm{d}x\,=\displaystyle\frac1{\ln\displaystyle\frac7{11}}\left(\displaystyle\frac7{11}\right)^x\Big|_0^1\) \(=\displaystyle\frac1{\ln7-\ln11}\left(\displaystyle\frac7{11}-1\right)=\displaystyle\frac4{11(\ln11-\ln7)}\).

a) Công thức xác định hàm số \(h(t)\) là

\begin{align*}h(t)&=\displaystyle\int v(t)\mathrm{d}t\,=\displaystyle\int(-0{,}12t^2+1{,}2t)\mathrm{d}t\,\\ &=-\displaystyle\frac{0{,}12}3t^3+\displaystyle\frac{1{,}2}2t^2+C=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+C.\end{align*}

Vì \(h(0)=520\) nên \(C=520\).

Vậy \(h(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+520\).

b) Ta có \(h'(t)=v(t)=-0{,}12t^2+1{,}2t=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&t=0\\&t=10.\end{aligned}\right.\)

Lập bảng biến thiên, ta được

Vậy độ cao của khinh khí cầu khi bay là \(540\) mét.

c) Khi khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát ứng với \(t\) là nghiệm của phương trình

\(h(t)=h(0)\Leftrightarrow -0{,}04t^3+0{,}6t^2+520=520\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&t=0\\&t=15.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(15\) phút sau khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát.

a) Khi có \(360\) công nhân được sử dụng ta có

\begin{align*}m(t)=360&\Leftrightarrow 500+50\sqrt t-10t=360\Leftrightarrow 10t-50\sqrt t-140=0\\ &\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&\sqrt t=7\\&\sqrt t=-2\text{ (loại)}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow t=49.\end{align*}

Vậy sau \(t\) ngày thì có \(360\) công nhân được sử dụng.

b) Ta có

\(m'(t)=50\cdot\displaystyle\frac1{2\sqrt t}-10=0\Leftrightarrow \sqrt t=\displaystyle\frac{25}{10}=2{,}5\Leftrightarrow t=2{,}5^2=6{,}25\).

Ta có \(m(0)=500\); \(m(2)=560\); \(m(3)=560\); \(m(10)=0\).

Vậy số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ \(2\) và ngày thứ \(3\).

c) Vì \(M'(t)=m(t)\) nên tổng số ngày công để hoành thành công trình đó là

\(\int\limits_0^{100}M'(t)\mathrm{\,d}t=\int\limits_0^{100}(500+50\sqrt t-10t)\mathrm{\,d}t\approx33~333\text{ (ngày).}\)

Cách khác, ta có

\begin{align*}M(t)&=\displaystyle\int m(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(500+50\sqrt t-10t)\mathrm{\,d}t\cr&=500t+50\cdot\displaystyle\frac23t^{\frac32}-10\cdot\displaystyle\frac{t^2}2+C=500t+\displaystyle\frac{1000}{3}t\sqrt t-5t^2+C.\end{align*}

Vì \(M(0)=0\) nên \(C=0\).

Vậy số ngày công để hoành thành công trình đó là

\(M(100)=500\cdot100+\displaystyle\frac{1000}{3}\cdot100\cdot\sqrt{100}-5\cdot100^2\approx33~333\text{ (ngày).}\)

Tốc độ lây lan của virus cúm ở ngày thứ \(t\) là \(P'(t)\) nên ta có

\begin{align*}&P'(t)=k(1~000-P(t))\\ \Leftrightarrow\ &P'(t)+k\cdot P(t)=k\cdot1~000\\ \Rightarrow\ &(\mathrm{e}^{kt}P(t))'=1~000k\mathrm{e}^{kt}\\ \Rightarrow\ &\mathrm{e}^{kt}P(t)=\int1~000k\mathrm{e}^{kt}\mathrm{\,d}t=1~000\mathrm{e}^{kt}+C\\ \Rightarrow\ &P(t)=1~000+C\cdot\mathrm{e}^{-kt}.\end{align*}

Vì \(P(4)=52\) nên \(1~000+C\cdot\mathrm{e}^{-4k}=52\Leftrightarrow C=-948\mathrm{e}^{4k}\).

Vậy, \(P(10)=1~000-948\mathrm{e}^{4k-k\cdot10}=1~000-948\mathrm{e}^{-6k}\).

a) Từ dữ liệu đề bài, ta có hệ

\(\begin{cases}d=0\\10^3a+10^2b+10c+d=5\\20^3a+20^2b+20c+d=21\\30^3a+30^2b+30c+d=40\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\displaystyle\frac1{750}\\b=\displaystyle\frac{19}{200}\\c=-\displaystyle\frac{19}{60}\\d=0.\end{cases}\)

Từ đó ta có

\(f(x)=-\displaystyle\frac1{750}x^3+\displaystyle\frac{19}{200}x^2-\displaystyle\frac{19}{60}x\).

b) Quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ \(60\) là

\(S=\int\limits_0^60f(t)\mathrm{\,d}t=1~950\text{ (mét).}\)

a) Ta có

\begin{align*}A&=\displaystyle\int\limits_0^a\mathrm{e}^x\mathrm{d}x\,=\mathrm{e}^x\Big|_0^a=\mathrm{e}^a-1\\ B&=\displaystyle\int\limits_0^b\mathrm{e}^x\mathrm{d}x\,=\mathrm{e}^x\Big|_0^b=\mathrm{e}^b-1.\end{align*}

b) Khi đó

\begin{align*}B=3A&\Leftrightarrow\mathrm{e}^b-1=3(\mathrm{e}^a-1)\Leftrightarrow\mathrm{e}^b=3\mathrm{e}^a-2\Leftrightarrow b=\ln(3\mathrm{e}^a-2).\end{align*}

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên. Giả sử parabol có phương trình dạng \((P)\colon y=ax^2+bx+c\).

Vì parabol có đỉnh là \((0;4{,}8)\), cắt trục hoành tại \(A(-2;0)\), \(B(2;0)\) nên

\(\begin{cases}-\displaystyle\frac b{2a}=0\\ 4a+2b+c=0\\ c=4{,}8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-1{,}2\\b=0\\c=4{,}8.\end{cases}\)

Vậy \((P)\colon y=-1{,}2x^2+4{,}8\).

Suy ra diện tích cổng là

\(S_1=\displaystyle\int\limits_{-2}^2(-1{,}2x^2+4{,}8)\mathrm{d}x\,\) \(=(-0{,}4x^3+4{,}8x)\Big|_{-2}^2=12{,}8\text{ (m\(^2\)).}\)

Từ đó diện tích cần sơn là \(10(2+4+2)-12{,}8=67{,}2\) m\(^2\).

Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó là \(67{,}2\cdot15\,000=1\,008\,000\) đồng.

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y=x^2-4x+5\); \(y=0\); \(x=1\); \(x=4\).

b) Thể tích khối tròn xoay là

\begin{align*}V&=\pi\displaystyle\int\limits_1^4(x^2-4x+5)^2\mathrm{d}x\,=\pi\displaystyle\int\limits_1^4(x^4+16x^2+25-8x^3+10x^2-40x)\mathrm{d}x\,\\ &=\pi\left(\displaystyle\frac{x^5}{5}-2x^4+\displaystyle\frac{26}{3}x^3-20x^2+25x\right)\Big|_1^4=\displaystyle\frac{78\pi}{5}.\end{align*}