ÔN TẬP CHƯƠNG III

a)

\(\bullet\,\) Xét bảng 22, bảng số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội

\(\bar{x}_1=\displaystyle\frac{2 \cdot 18{,}3+3 \cdot 21{,}3+2 \cdot 24{,}3+1 \cdot 27{,}3+4 \cdot 30{,}3}{12}=\displaystyle\frac{124}{5} \approx 24{,}8(\text{độ C}).\)

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội là

\(\begin{aligned}& s_1^2=\displaystyle\frac{1}{12}\left[2 \cdot(18{,}3-24{,}8)^2+3 \cdot(21{,}3-24{,}8)^2+2\cdot(24{,}3-24{,}8)^2\right.\\ &\left.+1 \cdot(27{,}3-24{,}8)^2+4 \cdot(30{,}3-25{,}8)^2\right]=\displaystyle\frac{83}{4} \approx 20{,}75.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(s_1 \approx \sqrt{20{,}75} \approx 4,56(\text{độ C})\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bảng 22 \(R=a_6-a_1=31{,}8-16{,}8=15\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bảng 22

Số phần tử của mẫu là \(n=12\).

+ Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3\) mà \(2<3<5\). Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lơn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm \([19{,}8;22{,}8)\) có \(s=19{,}8 ; h=3 ; n_2=3\) và nhóm 1 là nhóm \([16{,}8 ; 19{,}8)\) có \(c f_1=2\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

\(Q_1=19{,}8+\left(\displaystyle\frac{3-2}{3}\right)\cdot3=20{,}8(\text{độ C}).\)

\(\bullet\,\) Ta có: \(\displaystyle\frac{3 n}{4}=\displaystyle\frac{3\cdot12}{4}=9\) mà \(8<9<12\). Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lơn hơn hoặc bằng 9. Xét nhóm 5 là nhóm \([28{,}8 ; 31{,}8)\) có \(28{,}8 ; l=3 ; n_5=4\) và nhóm 4 là nhóm \([25{,}8 ; 28{,}8)\) có \(c f_4=8\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

\(Q_3=28{,}8+\left(\displaystyle\frac{9-8}{4}\right)\cdot3 \approx 29{,}55(\text{độ C}).\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1 \approx 29{,}55-20{,}8=8{,}75.\)

b) Xét bảng 23 bảng số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Huế

\(\bar{x}_2=\displaystyle\frac{1 \cdot 18{,}3+2 \cdot 21{,}3+3 \cdot 24{,}3+2 \cdot 27{,}3+4 \cdot 30{,}3}{12}=\displaystyle\frac{129}{5} \approx 25{,}8(\text{độ C}).\)

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2021 tại Hà Nội là

\(\begin{aligned}& s_2^2=\displaystyle\frac{1}{12}\left[1 \cdot(18{,}3-25{,}8)^2+2 \cdot(21{,}3-25{,}8)^2+3\cdot(24{,}3-25{,}8)^2\right.\\ &\left.+2 \cdot(27{,}3-25{,}8)^2+4 \cdot(30{,}3-24{,}8)^2\right]=\displaystyle\frac{63}{4} \approx 15{,}75.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(s_2 \approx \sqrt{15{,}75} \approx 3,97(\text{độ C})\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bảng 23 \(R=a_6-a_1=31{,}8-16{,}8=15\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bảng 23

Số phần tử của mẫu là \(n=12\).

\(\bullet\,\) Ta có: \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3\). Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm \([19{,}8;22{,}8)\) có \(s=19{,}8 ; h=3 ; n_2=2\) và nhóm 1 là nhóm \([16{,}8 ; 19{,}8)\) có \(c f_1=1\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

\(Q_1=19{,}8+\left(\displaystyle\frac{3-1}{2}\right) \cdot3=22{,}8(\text{độ C}).\)

\(\bullet\,\) Ta có: \(\displaystyle\frac{3 n}{4}=\displaystyle\frac{3\cdot12}{4}=9\) mà \(8<9<12\). Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lơn hơn hoặc bằng 9. Xét nhóm 5 là nhóm \([28{,}8 ; 31{,}8)\) có \(28{,}8 ; l=3 ; n_5=4\) và nhóm 4 là nhóm \([25{,}8 ; 28{,}8)\) có \(c f_4=8\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

\(Q_3=28{,}8+\left(\displaystyle\frac{9-8}{4}\right) .3 \approx 29{,}55(\text{độ C}).\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1 \approx 29{,}55-22{,}8=6{,}75.\)

\(\bullet\,\) Trong hai thành phố Hà Nội và Huế, thành phố nào có nhiệt độ trung bình tháng đồng đều hơn?

Nhiệt độ trung bình tháng của thành phố Huế đồng đều hơn do có độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

a)

\(\bullet\,\) Bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Đà Lạt.

\(\bullet\,\) Bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Vũng Tàu.

b)

\(\bullet\,\) Xét bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Đà Lạt

Độ ẩm trung bình các tháng tại Đà Lạt

\(\bar{x}_1=\displaystyle\frac{0 \cdot 76{,}65+2 \cdot 79{,}95+1 \cdot 83{,}25+6 \cdot 86{,}55+3 \cdot 89{,}85}{12}=86(\%).\)

Vậy phương sai của mẫu số liệu

\(\begin{aligned}& s_1^2=\displaystyle\frac{1}{12}\left[0 \cdot(76{,}65-86)^2+2 \cdot(79{,}95-86)^2+1\cdot(83{,}25-24{,}86)^2\right.\\ &\left.+6 \cdot(86{,}55-86)^2+3 \cdot(89{,}85-86)^2\right]=\displaystyle\frac{847}{80} \approx 10{,}5875.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(s_1 \approx \sqrt{10{,}5875} \approx 3{,}25(\%)\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu \(R=a_6-a_1=91{,}5-75=16{,}5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

Số phần tử của mẫu là \(n=12\).

\(\bullet\,\) Ta có: \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3\). Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ bằng 3. Xét nhóm 3 là nhóm \([81{,}6 ; 84{,}9)\) có \(s=81{,}6 ; h=3{,}3 ; n_3=1\) và nhóm 2 là nhóm \([78{,}3 ; 81{,}6)\) có \(c f_1=2\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

\(Q_1=81{,}6+\left(\displaystyle\frac{3-2}{1}\right) \cdot3{,}3=84{,}9(\%).\)

\(\bullet\,\) Ta có: \(\displaystyle\frac{3 n}{4}=\displaystyle\frac{3.12}{4}=9\).

Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lơn hơn hoặc bằng 9. Xét nhóm 4 là nhóm \([84{,}9 ; 88{,}2)\) có \(s=84{,}9 ; l=3{,}3 ; n_4=6\) và nhóm 3 là nhóm \([81{,}6 ; 84{,}9)\) có \(c f_3=3\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

\(Q_3=84{,}9+\left(\displaystyle\frac{9-3}{6}\right) \cdot3{,}3 \approx 88{,}2(\%).\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1=88{,}2-84{,}9=3{,}3.\)

\(\bullet\,\) Xét bảng số liệu ghép nhóm độ ẩm trung bình các tháng tại Vũng Tàu

Độ ẩm trung bình các tháng tại Vũng Tàu

\(\bar{x}_2=\displaystyle\frac{5 \cdot 76{,}65+6 \cdot 79{,}95+1 \cdot 83{,}25+0 \cdot 86{,}55+0 \cdot 89{,}85}{12}=78{,}85(\%).\)

Vậy phương sai của mẫu số liệu

\(\begin{aligned}& s_2^2=\displaystyle\frac{1}{12}\left[5 \cdot(76{,}65-78{,}85)^2+6 \cdot(79{,}95-78{,}85)^2+1\cdot(83{,}25-78{,}85)^2\right.\\ &\left.+0 \cdot(86{,}55-78{,}85)^2+0 \cdot(89{,}85-78{,}85)^2\right]=\displaystyle\frac{847}{200} \approx 4{,}235.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(s_1 \approx \sqrt{4{,}235} \approx 2{,}06(\%)\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu \(R=a_6-a_1=91{,}5-75=16{,}5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

Số phần tử của mẫu là \(n=12\).

\(\bullet\,\) Ta có: \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3\). Suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ bằng 3. Xét nhóm 1 là nhóm \([75; 78{,}3)\) có \(s=75; h=3{,}3 ; n_1=5\) có \(c f_0=0\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là

\(Q_1=75+\left(\displaystyle\frac{3-0}{6}\right) .3{,}3=76{,}65(\%).\)

\(\bullet\,\) Ta có: \(\displaystyle\frac{3 n}{4}=\displaystyle\frac{3.12}{4}=9\).

Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lơn hơn hoặc bằng 9. Xét nhóm 2 là nhóm \([78{,}3 ;81{,}6)\) có \(s=78{,}3; l=3{,}3 ; n_2=6\) và nhóm 1 là nhóm \([75 ; 78{,}3)\) có \(c f_1=5\).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là

\(Q_3=78{,}3+\left(\displaystyle\frac{9-5}{6}\right) .3{,}3 \approx 80{,}5(\%).\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1=80{,}5-76{,}65=3{,}85.\)

c) Trong hai thành phố Đà Lạt và Vũng Tàu, thành phố Vũng Tàu có độ ẩm không khí trung bình tháng đồng đều hơn.