ÔN TẬP CHƯƠNG II

Ta có \([\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(-2;14;10)\).

Chọn \(\overrightarrow{w}=(-2;14;10)\ne \overrightarrow{0}\), ta có \(\overrightarrow{w}\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\).

Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) gắn với hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ, đơn vị của mỗi trục bằng \(a\).

Khi đó \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\),

\(C(a;a;0)\), \(A'(0;0;a)\), \(B'(a;0;a)\), \(D'(0;a;a)\), \(C'(a;a;a)\).

Ta có \(M\) là trung điểm \(AA'\) suy ra tọa độ của \(M\) là \(\left(0;0;\displaystyle\frac{1}{2}a\right)\).

Mặt khác \(N\) là trung điểm \(CC'\) suy ra tọa độ của \(N\) là \(\left(a;a;\displaystyle\frac{1}{2}a\right)\).

Suy ra \(\overrightarrow{MN}=(a;a;0)\), \(\overrightarrow{AD'}=(0;a;a)\).

Khi đó

\(\cos (\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AD'})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AD'}}{|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{AD'}|}=\displaystyle\frac{a\cdot 0+a\cdot a+0\cdot a}{\sqrt{a^2+a^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+a^2+a^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}a.\)

Vậy góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{AD'}\) bằng \(60^\circ\).

a) Tọa độ các đỉnh của hình lập phương lần lượt là

\(C(1;1;0)\), \(B'(1;0;1)\), \(D'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\).

b) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(A'BD\) là \(G\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3}\right).\)

c) Tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{OG}=\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3}\right)\) và \(\overrightarrow{OC'}=(1;1;1)\).

Khi đó, \(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{OC'}\) suy ra \(\overrightarrow{OG}\), \(\overrightarrow{OC'}\) cùng phương nên ba điểm \(O\), \(G\), \(C'\) thẳng hàng và \(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{OC'}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-2;-4;8)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;2;3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{AB}\ne k\overrightarrow{AC}\) với mọi \(k\in \mathbb{R}\) nên \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương.

Vậy ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.

b) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \begin{cases}-2=-1-x_D\\-4=2-y_D\\8=0-z_D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_D=-1\\y_D=6\\z_D=2.\end{cases}\)

Vậy \(D(-1;6;2)\).

c) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là

\(G\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{-2}{3};\displaystyle\frac{2}{3}\right).\)

d) Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(-2;-4;8)\Rightarrow AB=2\sqrt{21};\)

\(\overrightarrow{AC}=(-3;2;3)\Rightarrow AC=\sqrt{22};\)

\(\overrightarrow{BC}=(-1;6;-5)\Rightarrow BC=\sqrt{62}.\)

Suy ra chu vi của tam giác \(ABC\) bằng \(AB+AC+BC=2\sqrt{21}+\sqrt{22}+\sqrt{62}\approx 21{,}73\).

e) Ta có

\(\cos \widehat{BAC}=\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\displaystyle\frac{(-2)\cdot (-3)+(-4)\cdot 2+8\cdot 3}{2\sqrt{21}\cdot \sqrt{22}}=\displaystyle\frac{\sqrt{462}}{42}.\)

Theo giả thiết ta suy ra

\(\overrightarrow{EA_1}=(0;1;-6)\); \(\overrightarrow{EA_2}=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};-\displaystyle\frac{1}{2};-6\right)\);\break \(\overrightarrow{EA_3}=\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};-\displaystyle\frac{1}{2};-6\right)\).

Suy ra \(|\overrightarrow{EA_1}|=|\overrightarrow{EA_2}|=|\overrightarrow{EA_3}|=\sqrt{37}\). Do đó \(|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=|\overrightarrow{F_3}|\).

Vì vậy, tồn tại hằng số \(c\ne 0\) sao cho

\(\overrightarrow{F_1}=c\cdot \overrightarrow{EA_1}=(0;c;-6c);\)

\(\overrightarrow{F_2}=c\cdot \overrightarrow{EA_2}=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}c;-\displaystyle\frac{1}{2}c;-6c\right);\)

\(\overrightarrow{F_3}=c\cdot \overrightarrow{EA_3}=\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}c;-\displaystyle\frac{1}{2}c;-6c\right).\)

Suy ra \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;-18c)\).

Mặt khác, ta có \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}\), trong đó \(\overrightarrow{F}=(0;0;-300)\) là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra \(-18c=-300\), tức là \(c=\displaystyle\frac{50}{3}\).

Vậy \(\overrightarrow{F_1}=\left(0;\displaystyle\frac{50}{3};-100\right)\); \(\overrightarrow{F_2}=\left(\displaystyle\frac{25\sqrt{3}}{3};-\displaystyle\frac{25}{3};-100\right)\); \(\overrightarrow{F_3}=\left(-\displaystyle\frac{25\sqrt{3}}{3};-\displaystyle\frac{25}{3};-100\right)\)