Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a) \(f(x)=3x^2+x\);
b) \(f(x)=9x^2-2x+7\);
c) \(f(x)=\displaystyle\int(4x-3)(x^2+3)\mathrm{\,d}x\).
a) \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(3x^2+x)\mathrm{\,d}x=x^3+\displaystyle\frac{x^2}2+C\).
b) \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(9x^2-2x+7)\mathrm{\,d}x\) \(=3x^3-x^2+7x+C\).
c) \(f(x)=\displaystyle\int(4x-3)(x^2+3)\mathrm{\,d}x\) \(=\displaystyle\int(4x^3-3x^2+12x-9)\mathrm{\,d}x\) \(=x^4-x^3+6x^2-9x+C\).
Do đó \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(x^4-x^3+6x^2-9x+C)\mathrm{\,d}x\) \(=\displaystyle\frac{x^5}5-\displaystyle\frac{x^4}4+2x^3-\displaystyle\frac92x^2+Cx+D\).
Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=6x^5+2x-3\), biết \(F(-1)=-5\).
Ta có \(F(x)=\displaystyle\int(6x^5+2x-3)\mathrm{\,d}x=x^6+x^2-3x+C\).
Vì \(F(-1)=-5\) nên \((-1)^6+(-1)^2-3\cdot(-1)+C\) \(=-5\Leftrightarrow C=-5-5=-10\).
Vậy \(F(x)=x^6+x^2-3x+10\).
Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau \(6\) năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt \(6\) năm được tính xấp xỉ bởi công thức \(h'(t)=1{,}5t+5\), trong đó \(h(t)\) (cm) là chiều cao của cây khi kết thúc \(t\) (năm). Cây con khi được trồng cao \(12\) cm.
a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau \(t\) năm.
b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?
a) Chiều cao của cây sau \(t\) năm được xác định bởi
\(h(t)=\displaystyle\int h'(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(1{,}5t+5)\mathrm{\,d}t=0{,}75t^2+5t+C.\)
Vì \(h(0)=12\) nên \(C=-12\).
Vậy \(h(t)=0{,}75t^2+5t+12\).
b) Cây được bán sau \(6\) năm trồng nên khi đó cây cao \(h(6)=0{,}75\cdot6^2+5\cdot6+12=69\) cm.
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số \(B'(t)=20t^3-300t^2+1\,000t,\) trong đó \(t\) tính bằng giờ (\(0\le t\le15\)), \(B'(t)\) tính bằng khách/giờ.
Sau một giờ, \(500\) người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức hàm số \(B(t)\) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0\le t\le15\).
b) Sau \(3\) giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
a) Công thức hàm số biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0\le t\le15\) là
\(B(t)=\displaystyle\int B'(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(20t^3-300t^2+1\,000t)\mathrm{\,d}t\) \(=5t^4-100t^3+500t^2+C.\)
Vì \(B(1)=500\) nên \(5\cdot1^4-100\cdot1^3+500\cdot1^2+C=500\Leftrightarrow C=95\).
Vậy \(B(t)=5t^4-100t^3+500t^2+95\).
b) Sau \(3\) giờ số khách tham dự lễ hội là \(B(3)=2\,300\) (khách).
c) Ta có \(B'(t)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&t=0\\ &t=10\\ &t=5.\end{aligned}\right.\)
Vì \(B(0)=95\); \(B(5)=3\,220\); \(B(10)=95\); \(B(15)=28\,220\) nên số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là \(28\,220\) (khách).
d) Ta có \(B''(t)=60t^2-600t+1\,000=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{15\pm5\sqrt3}3\).
Vì \(B'(0)=0\); \(B'(15)=15\,000\); \(B'\left(\displaystyle\frac{15+5\sqrt3}3\right)\approx-962\); \(B'\left(\displaystyle\frac{15-5\sqrt3}3\right)\approx962\) nên tại thời điểm \(15\) giờ sau khi khai tiệc thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất.
Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi \(m(t)\) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ \(t\) (kể từ khi khởi công dự án). Gọi \(M(t)\) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ \(t\) (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng \(M'(t)=m(t)\).
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong \(400\) ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số \(m(t)=800-2t,\) trong đó \(t\) tính theo ngày \((0\le t\le400)\), \(m(t)\) tính theo người. Đơn giá cho một ngày công lao động là \(400\,000\) đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
Ta có \(M(t)=\displaystyle\int m(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(800-2t)\mathrm{\,d}t=800t-t^2+C\).
Vì \(M(0)=0\) nên \(C=0\), khi đó \(M(t)=800t-t^2\).
Chi phí nhân công lao động của công trình đó là
\(M(400)\cdot400\,000=160\,000\cdot400\,000=64\,000\,000\) (đồng) \(= 64\) (triệu đồng).