\(\S4\) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
\(\bullet\,\) \(y=2x^3-3x^2+1\).
\(\bullet\,\) \(y=-x^3+3x^2-1\).
\(\bullet\,\) \(y=(x-2)^3+4\).
\(\bullet\,\) \(y=-x^3+3x^2-3x+2\).
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2+2x+1\).
\(\bullet\,\) \(y=-x^3-3x\).
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=2x^3-3x^2+1\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=6x^2-6x\).
\[y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=1.\end{aligned}\right.\]
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(+\,\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).
\(+\,\) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\); đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=0\).
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-1\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x\).
\[y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=2.\end{aligned}\right.\]
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(+\,\) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((0;2)\).
\(+\,\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=-1\); đạt cực đại tại \(x=2\), \(y_{_\text{CĐ}}=3\).
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=(x-2)^3+4\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=3(x-2)^2\).
\[y'=0\Leftrightarrow 3(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\quad (\text{nghiệm kép}).\]
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-3x+2\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x-3\).
\[y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x-3=0\Leftrightarrow x=1\quad (\text{nghiệm kép}).\]
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2+2x+1\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3-3x\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=-3x^2-3<0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
Bài tập 2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\).
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{-2x}{x+1}\).
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+6}{x-1}\).
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2x-4}{x-2}\).
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{2x^2+3x-5}{x+2}\).
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{-x+2}\).
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\).
Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=1\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=-\infty\).
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-2x}{x+1}\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x+1)^2}<0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\).
Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).
\(+\,\) Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-2\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=+\infty\).\\
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=-2\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+6}{x-1}\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\).
\[y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=3.\end{aligned}\right.\]
\(+\,\) Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-2+\displaystyle\frac{4}{x-1}\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{4}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(-)\,\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((1;3)\).
\(-)\,\) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{_\text{CĐ}}=-5\); đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{_\text{CT}}=3\).
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2x-4}{x-2}\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(-2x+2)(x-2)-(-x^2+2x-4)}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}\).
\[y'=0\Leftrightarrow -x^2+4x=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\ &x=4.\end{aligned}\right.\]
\(+\,\) Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{4}{x-2}\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-4}{x-2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(-)\,\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((0;2)\), \((4;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;4)\).
\(-)\,\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=2\); đạt cực đại tại \(x=4\), \(y_{_\text{CĐ}}=-6\).
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2+3x-5}{x+2}\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(4x+3)(x+2)-(2x^2+3x-5)}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{2x^2+8x+11}{(x+2)^2}\).
\[y'=0\Leftrightarrow 2x^2+8x+11=0\quad \text{vô nghiệm}.\]
\(+\,\) Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=2x-1-\displaystyle\frac{3}{x+2}\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to(-2)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-2)^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-3}{x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x-1\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(-)\,\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;+\infty)\).
\(-)\,\) Hàm số không có cực trị.
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{-x+2}\).
\(+\,\) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(-x+2)+(x^2-2x-3)}{(-x+2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+2x-7}{(-x+2)^2}\).
\[y'=0\Leftrightarrow -x^2+2x-7=0 \Leftrightarrow \ \text{vô nghiệm}.\]
\(+\,\) Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{3}{-x+2}\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to 2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to 2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).
\(-)\,\) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{3}{-x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(-)\,\) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\), \((2;+\infty)\).
\(-)\,\) Hàm số không có cực trị.
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
Bài tập 3
Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao \(250\) km so với bề mặt của Mặt Trăng.
Trong khoảng \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao \(h\) của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm \(h(t)=-0{,}01t^3+1{,}1t^2-30t+250\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(h\) là độ cao tính bằng kilômét.
\(\bullet\,\) Vẽ đồ thị của hàm số \(y=h(t)\) với \(0\leq t\leq 50\) (đơn vị trên trục hoành là \(10\) giây, đơn vị trên trục tung là \(10\) km).
\(\bullet\,\) Gọi \(v(t)\) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm \(t\) (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với \((0\leq t\leq 50\)). Xác định hàm số \(v(t)\).
\(\bullet\,\) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm \(t=25\) (giây) là bao nhiêu?
\(\bullet\,\) Tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?
\(\bullet\,\) Tìm thời điểm \(t\) (\(0\leq t\leq 50\)) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?
\(\bullet\,\) Vẽ đồ thị của hàm số \(h(t)=-0{,}01t^3+1{,}1t^2-30t+250\).
\(+\,\) Miền khảo sát: \([0;50]\).
\(+\,\) Đạo hàm: \(h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).
\[h'(t)=0\Leftrightarrow -0{,}03t^2+2{,}2t-30=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t\approx 18\\ &t\approx 55.\end{aligned}\right.\]
\(+\,\) Bảng biến thiên:
\(-)\,\) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((0;18)\) và đồng biến trên khoảng \((18;50)\).
\(-)\,\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(t=18\), \(y_{_\text{CT}}=h(18)=8{,}08\).
\(+\,\) Bảng giá trị:
\(+\,\) Đồ thị:
\(\bullet\,\) Xác định \(v(t)\).
Ta có \(v(t)=h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).
\(\bullet\,\) Tính vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh và lúc \(t=25\) (giây).
\(+\,\) Vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh là: \(v(0)=-30\) (km/s).
\(+\,\) Vận tốc tức thời lúc \(t=25\) (giây) là: \(v(25)=6{,}25\) (km/s).
\(\bullet\,\) Tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay tăng trở lại?
\(+\,\) Ta có phương trình gia tốc: \(a(t)=v'(t)=-0{,}06t+2{,}2t\).
\(+\,\) Vì \(a(25)=53{,}5>0\) nên tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.
\(\bullet\,\) Tìm thời điểm mà khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất.
Dựa vào đồ thị ta thấy tại thời điểm \(t=18\) (giây) thì khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất, khoảng cách này bằng \(8{,}08\) km.
Bài tập 4
Xét phản ứng hóa học tạo ra chất \(C\) từ hai chất \(A\) và \(B\): \(A+B\longrightarrow C\). Giả sử nồng độ của hai chất \(A\) và \(B\) bằng nhau \([A]=[B]=a\) (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất \(C\) theo thời gian \(t\) (\(t>0\)) được cho bởi công thức: \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) (mol/l), trong đó \(K\) là hằng số dương.
\(\bullet\,\) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).
\(\bullet\,\) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).
\(\bullet\,\) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).
\(\bullet\,\) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).
\(\bullet\,\) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).
Tốc độ của phản ứng là đạo hàm của \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) theo biến \(t\). Do đó
\[[C]^\prime =\left(\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^\prime=\displaystyle\frac{a^2K\left(aKt+1\right)-a^2Kt\cdot aK}{\left(aKt+1\right)^2}=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]
\(\bullet\,\) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).
Theo câu trên, nếu nếu \(x=[C]\) thì \(x^\prime(t)=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}\).
Ta lại có
\[K(a-x)^2=K \left(a-\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^2=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]
Vậy \(x'(t)=K(a-x)^2\).
\(\bullet\,\) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).
Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}[C]=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}=a\ (mol/l)\).
Vậy nồng độ của chất \(C\) dần đến \(a\ (mol/l)\).
\(\bullet\,\) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).
Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}x^\prime(t)=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}=0\).
Vậy tốc độ của phản ứng dần đến \(0\).