\(\S2\) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{4}{1+x^2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Các giới hạn

\(\begin{aligned}& \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0;\\& \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.\end{aligned}\)

Đạo hàm \(f'(x)=\displaystyle\frac{-8x}{\left(1+x^2\right)^2}\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\)

Bảng biến thiên

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\max\limits_{\mathscr{D}}f(x)=f(0)=4\).

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=x-\displaystyle\frac{3}{x}\) trên nửa khoảng \((0;3]\).

Đạo hàm \(f'(x)=1+\displaystyle\frac{3}{x^2}\); ta có \(f'(x)>0\ \forall x\in(0;3]\).

Vậy \(\max\limits_{(0;3]}f(x)=2\) tại \(x=3\).

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=x+\displaystyle\frac{4}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

Đạo hàm \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=2\in(0;+\infty)\\&x=-2\notin(0;+\infty).\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=4\).

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=x^3-12x+1\) xác định trên khoảng \((1;+\infty)\).

Các giới hạn \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=-10\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-12\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-12=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=2\in(1;+\infty)\\&x=-2\notin(1;+\infty).\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\min\limits_{(1;+\infty)}f(x)=-15\).

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2\), trên đoạn \(\left[-1;2\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-3x\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-3x=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\in[-1;2]\\&x=0\in[-1;2].\end{aligned}\right.\)

Các giá trị \(f(-1)=-\displaystyle\frac{5}{2}\), \(f(0)=0\), \(f(1)=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(f(2)=2\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[-1;2]}f(x)=2\), \(\min\limits_{[-1;2]}f(x)=-\displaystyle\frac{5}{2}\).

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=x^4-2x^3+x^2+1\), trên đoạn \(\left[-1;1\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=4x^3-6x^2+2x\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3-6x^2+2x \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\in[-1;1]\\&x=\displaystyle\frac{1}{2}\in[-1;1]\\&x=0\in[-1;1].\end{aligned}\right.\)

Các giá trị \(f(-1)=5\), \(f(0)=1\), \(f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{17}{16}\), \(f(1)=1\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[-1;1]}f(x)=5\), \(\min\limits_{[-1;1]}f(x)=1\).

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=e^x\left(x^2-5x+7\right)\), trên đoạn \(\left[0;3\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=e^x(x^2-3x+2)\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow e^x(x^2-3x+2)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=2\in[0;3]\\&x=1\in[0;3].\end{aligned}\right.\)

Các giá trị \(f(0)=7\), \(f(1)=3e\), \(f(2)=e^2\), \(f(3)=e^3\).\\

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;3]}f(x)=e^3\), \(\min\limits_{[0;3]}f(x)=7\).

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(f(x)=\cos2x+2x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\pi\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=-2\sin2x+2\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow -2\sin2x+2=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\).

Vì \(x\in \left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right] \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Các giá trị \(f(-\displaystyle\frac{\pi}{2})=-\pi\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{2}+1\), \(f(1)=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(f(2)=2\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=2\pi+2\), \(\min\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=-\pi\).

Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).

Đạo hàm \(s'(t)=-3t^2+12t+1.\)

Cho \(s'(t)=0 \Leftrightarrow -3t^2+12t+1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{6+\sqrt{39}}{3}\in[0;5]\\&x=\displaystyle\frac{6-\sqrt{39}}{3}\notin[0;5].\end{aligned}\right.\)

Các giá trị \(f(0)=5\), \(f\left(\tfrac{6+\sqrt{39}}{3}\right)\approx41{,}04\), \(f(5)=35\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}f(x)\approx41{,}04\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=5\).

\(\bullet\,\) Số xăng trong bình ban đầu là \(V(0)=4\) lít.

\(\bullet\,\) Dung tích bình xăng \(V=V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\) lít.

\(\bullet\,\) Xét hàm số \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)

Đạo hàm \(V'(t)=300t(2-3t)\).

Cho \(V'(t)=0 \Leftrightarrow 300t(t-3t)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t=0\in[0;0{,}5]\\&t=\displaystyle\frac{2}{3}\notin[0;0{,5}].\end{aligned}\right.\)

Các giá trị \(V(0)=4\), \(V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\).

Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ \(30\) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Xét hàm số \(V=k(R-r)r^2\) trên nửa khoảng \([0;R)\)

Ta có \(V(r)=k(R-r)r^2 \Rightarrow V'(r)=-3kr^2+2kRr=-kr(3r-2R)\).

Cho \(V'(r)=0 \Leftrightarrow -kr(3r-2R)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&r=0&\in[0;R)\\&r=\displaystyle\frac{2R}{3}&\in[0;R)\end{aligned}\right.\).

Các giá trị \(V(0)=0\), \(V\left(\displaystyle\frac{2R}{3}\right)=4k\left(\displaystyle\frac{R}{3}\right)^3\).

Bán kính khí quản lớn nhất khi \(r=\displaystyle\frac{2R}{3}\).

Bảng biến thiên

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\max\limits_{[0;R)}V(r)=V\left(\displaystyle\frac{2R}{3}\right)=4k\left(\displaystyle\frac{R}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{4kR^3}{27}\).