\(\S3\) ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Đồ thị hàm số ở hai hình dưới đây đều có đường tiệm cận ngang là đường thẳng màu đỏ. Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}\);
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{2x^2+x+1}{x-1}\);
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{2x^2-2}{x^2+2}\).
\(\bullet\,\) Ở hình bên trái ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại \(\pm 1\), cắt trục tung tại \(-1\) và nhận đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
Vậy trong \(3\) hàm số chỉ có hàm \(y=\displaystyle\frac{2x^2-2}{x^2+1}\) thoả mãn.
\(\bullet\,\) Ở hình bên phải ta thấy đồ thị có tiệm cận ngang \(y=1\) và không có tiệm cận đứng.
Vậy trong \(3\) hàm số trên chỉ có hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}\) thoả mãn.
Bài tập 2
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị các hàm số sau
\(\bullet\,\)\(y=\displaystyle\frac{x}{2-x}\);
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}\);
\(\bullet\,\) \(y=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\).
\(\bullet\,\) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
Ta thấy \(\lim\limits_{x\to \pm+\infty}\displaystyle\frac{x}{2-x}=-1\).
Vậy \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lại có \(\lim\limits_{x\to 2^+}\displaystyle\frac{x}{2-x}=-\infty\) và \(\lim\limits_{x\to 2^-}\displaystyle\frac{x}{2-x}=+\infty\).
Vậy \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\bullet\,\) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Ta thấy \(\lim\limits_{x\to \pm\infty} [y-(x-3)]=\lim\limits_{x\to \pm \infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}=0\).
Vậy \(y=x-3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Lại có \(\lim\limits_{x\to 0^\pm}\left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=+\infty\).
Vậy \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bài tập 3
Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong \(x\) (tháng) được tính theo công thức \(S(x)=200\left(5-\displaystyle\frac{9}{2+x}\right)\), trong đó \(x\ge 1\)
\(\bullet\,\) Xem \(y=S(x)\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([1;+\infty)\), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.
\(\bullet\,\) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty trong \(x\) (tháng) khi \(x\) đủ lớn.
\(\bullet\,\) Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[200\left(5+\displaystyle\frac{9}{2-x}\right)\right]=200\cdot 5=1000\).
Vậy \(y=1\,000\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=S(x)\).
\(\bullet\,\) Từ phần trên ta có thể rút ra nhận xét: khi số tháng đủ lớn thì công ty có thể bán được số sản phẩm gần bằng \(1\,000\).