Có hai chiếc hộp, hộp I có \(5\) viên bi màu trắng và \(5\) viên bi màu đen; hộp II có \(6\) viên bi màu trắng và \(4\) viên bi màu đen. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II.
a) Tính xác suất để viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng.
b) Giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I.
a) Xét các biến cố
+) \(A\): Viên bi lấy ra là viên màu trắng.
+) \(B_1\): 2 viên bi lấy ra từ hộp I có màu trắng.
+) \(B_2\): 2 viên bi lấy ra từ hộp I có màu đen.
+) \(B_3\): 2 viên bi lấy ra từ hộp I có cả hai màu đen trắng.
Ta có
\(\mathrm{P}(B_1) = \displaystyle\frac{\mathrm{C}^2_{5}}{\mathrm{C}^2_{10}}=\displaystyle\frac{2}{9};\) \(\mathrm{P}(B_2) = \displaystyle\frac{\mathrm{C}^2_5}{\mathrm{C}^2_{10}}=\displaystyle\frac{2}{9};\) \( \mathrm{P}(B_3) = \displaystyle\frac{\mathrm{C}^1_5\cdot\mathrm{C}^1_5}{\mathrm{C}^2_10}=\displaystyle\frac{5}{9}.\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
\begin{eqnarray*}\mathrm{P}(A) &=& \mathrm{P}(A|B_1)\cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}(A|B_2)\cdot\mathrm{P}(B_2) + \mathrm{A|B_3}\cdot\mathrm{P}(B_3)\\ &=& \displaystyle\frac{\mathrm{C}^2_8}{\mathrm{C}^2_{12}}\cdot \displaystyle\frac{2}{9} + \displaystyle\frac{\mathrm{C}^2_{6}}{\mathrm{C}^2_{12}}\cdot \displaystyle\frac{2}{9} + \displaystyle\frac{\mathrm{C}^2_7}{\mathrm{C}^2_{12}}\cdot \displaystyle\frac{5}{9}\\ &=& \displaystyle\frac{14}{33}\cdot \displaystyle\frac{2}{9} + \displaystyle\frac{5}{22}\cdot \displaystyle\frac{2}{9} + \displaystyle\frac{7}{22}\cdot \displaystyle\frac{5}{9}\\ &=& \displaystyle\frac{191}{594}.\end{eqnarray*}
b) Từ yêu cầu, ta cần tìm \(\mathrm{P}(B_1|A) + \mathrm{P}(B_3|A)\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có
\begin{eqnarray*}&&\mathrm{P}(B_1|A) + \mathrm{P}(B_3|A)\\ &=& \displaystyle\frac{\mathrm{P}(A|B_1)\cdot \mathrm{P}(B_1)}{\mathrm{P}(A)} + \displaystyle\frac{\mathrm{P}(A|B_3)\cdot \mathrm{P}(B_3)}{\mathrm{P}(A)}\\&=& \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{14}{33}\cdot \displaystyle\frac{2}{9}}{\displaystyle\frac{191}{594}} + \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7}{22}\cdot \displaystyle\frac{5}{9}}{\displaystyle\frac{191}{594}}\\&=& \displaystyle\frac{161}{191}.\end{eqnarray*}
Một loại linh kiện do hai nhà máy số I, số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I, II lần lượt là \(4\%\); \(3\%\). Trong một lô linh kiện để lẫn lộn \(80\) sản phẩm của nhà máy số I và \(120\) sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh liện từ lô hàng đó.
a) Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt.
b) Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?
a) Xét các biến cố
+) \(A\): Linh kiện lấy ra là linh kiện tốt.
+) \(B_1\): Linh kiện lấy ra là linh kiện từ nhà máy số I.
+) \(B_2\): Linh kiện lấy ra là linh kiện từ nhà máy số II.
Theo đề bài, ta có
+) \(\mathrm{P}(A|B_1) =1 - 0{,}04 = 0{,}96\).
+) \(\mathrm{P}\left(A|B_2\right) = 1-0{,}03 = 0{,}97\).
+) \(\mathrm{P}(B_1)=\displaystyle\frac{80}{200}=0{,}4\).
+) \(\mathrm{P}\left(B_2\right) = \displaystyle\frac{120}{200}=0{,}6\).
Khi đó áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
\(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A|B_1)\cdot \mathrm{P}(B_1) + \mathrm{P}\left(A|B_2\right)\cdot\mathrm{P}\left(B_2\right)\) \(=0{,}96\cdot 0{,}4 + 0{,}97\cdot 0{,}6=0{,}966.\)
b) Ta có \(\mathrm{P}\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{P}(A) = 0{,}034\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có
+) \(\mathrm{P}\left(B_1|\overline{A}\right)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}\left(\overline{A}|B_1\right)\cdot \mathrm{P}(B_1)}{\mathrm{P}\left(\overline{A}\right)}\) \(= \displaystyle\frac{0{,}04\cdot 0{,}4}{0{,}034} = \displaystyle\frac{8}{17}\approx 0{,}048\).
+) \(\mathrm{P}\left(B_2|\overline{A}\right)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}\left(\overline{A}|B_2\right)\cdot \mathrm{P}(B_2)}{\mathrm{P}\left(\overline{A}\right)}\) \(= \displaystyle\frac{0{,}03\cdot 0{,}6}{0{,}034} = \displaystyle\frac{8}{167}\approx 0{,}054\).
Vậy với điều kiện linh kiện lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy I sản xuất là cao nhất.
Một chiếc hộp có \(20\) chiếc thẻ cùng loại, trong đó có \(2\) chiếc thẻ màu xanh và \(18\) chiếc thẻ màu trắng. Bạn Châu rút thẻ hai lần một cách ngẫu nhiên, mỗi lần rút một thẻ và thẻ được rút ra không bỏ lại hộp. Tính xác suất để cả hai lần bạn Châu đều rút được thẻ màu xanh.
Xét hai biến cố
\(A\): Thẻ thứ nhất rút được màu xanh.
\(B\): Thẻ thứ hai rút được màu xanh.
Khi đó, ta có xác suất để cả hai lần bạn Châu đều rút được thẻ màu xanh là
\(\mathrm{P}(A\cap B)=\displaystyle\frac{C_2^2}{C_{20}^2}=\displaystyle\frac{1}{190}.\)
Năm \(2001\), Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác \(100 \%\). Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm \(A\) cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là \(70 \%\) còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm \(A\) là \(10 \%\). Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là \(13\) con trên \(1~000~000\) con. Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm \(A\) thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?
Xét hai biến cố
\(N\): Con bò được chọn bị nhiễm bệnh.
\(D\): Con bò được chọn có phản ứng dương tính.
Khi đó, ta có
\(\mathrm{P}(N)=\displaystyle\frac{13}{1 000 000}=0{,}000013;\) \(\mathrm{P}(\overline{N})=1-\mathrm{P}(N)=0{,}999987;\)
\(\mathrm{P}(D|N)=70\%=0{,}7;\) \(\mathrm{P}(D|\overline{N})=10\%=0{,}1.\)
Áp dụng công thức Bayes, ta có
\(\mathrm{P}(N|D)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(D|N) \cdot \mathrm{P}(N)}{\mathrm{P}(N) \cdot \mathrm{P}(D|N)+\mathrm{P}(\overline{N})\mathrm{P}(D|\overline{N})}\) \(=\displaystyle\frac{0{,}7 \cdot 0{,}000013}{0{,}7 \cdot 0{,}000013+0{,}1 \cdot 0{,}999987}\approx 0{,}009\%\).