\(\S3\) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ

a) Ta có \(2\overrightarrow{a}=(-2;4;6)\), \(3\overrightarrow{c}=(12;6;-9)\).

Suy ra \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}=(-11;-1;13)\).

b) Ta có \(2\overrightarrow{b}=(6;2;-4)\).

Khi đó \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}=(-3;2;4)\).

Ta có

\(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=(-7;-4;6).\)

Chọn \(\overrightarrow{c}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=(-7;-4;6)\ne \overrightarrow{0}\).

Theo định lí, véc-tơ \(\overrightarrow{c}\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\).

Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\cdot (-2)+2\cdot 1+(-1)\cdot 2=-6\), \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{14}\), \(|\overrightarrow{b}|=3\).

Suy ra \(\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}=\displaystyle\frac{6}{3\cdot \sqrt{14}}=\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{7}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(6;-3;5)\), \(\overrightarrow{AC}=(2;-1;-3)\).

Suy ra \(\overrightarrow{AB}\ne k\overrightarrow{AC}\) với mọi \(k\in \mathbb{R}\).

Vậy ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.

b) Ta có \(AB=\sqrt{6^2+(-3)^2+5^2}=\sqrt{65}\), \(AC=\sqrt{14}\), \(BC=\sqrt{(0-4)^2+(2-0)^2+(-3-5)^2}=2\sqrt{21}\).

Suy ra chu vi của tam giác \(ABC\) bằng \(AB+AC+BC=\sqrt{65}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}\approx 20{,}96\).

c) Ta có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) suy ra

\(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{-2+4+0}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}\\y_G=\displaystyle\frac{3+0+2}{3}=\displaystyle\frac{5}{3}\\z_G=\displaystyle\frac{0+5+(-3)}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\)

Vậy \(G\left(\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

d) Ta có \(\cos \widehat{BAC}=\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\displaystyle\frac{6\cdot 2+(-3)\cdot (-1)+5\cdot (-3)}{\sqrt{65}\cdot \sqrt{14}}=0\).

a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}2-1=x_C-1\\1-0=y_C-(-1)\\2-1=z_C-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_C=2\\y_C=0\\z_C=2\end{cases}\Rightarrow C(2;0;2)\).

Do \(BB'C'C\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x_{B'}-2=4-2\\y_{B'}-1=5-0\\z_{B'}-2=-5-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_{B'}=4\\y_{B'}=6\\z_{B'}=-5\end{cases}\Rightarrow B'(4;6;-5)\).

Mặt khác \(DD'C'C\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x_{D'}-1=4-2\\y_{D'}-(-1)=5-0\\z_{D'}-1=-5-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_{D'}=3\\y_{D'}=4\\z_{D'}=-6\end{cases}\Rightarrow D'(3;4;-6)\).

Ta có \(\overrightarrow{AC}=(1;0;1)\), \(\overrightarrow{B'D'}=(-1;-2;-1)\) và \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'D'}\right]=(2;0;-2)\).

Suy ra \(\overrightarrow{u}=(2;0;-2)\ne \overrightarrow{0}\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{B'D'}\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AC'}=(2;4;-7)\), \(\overrightarrow{BD}=(-1;-2;-1)\) và \(\overrightarrow{v}=\left[\overrightarrow{AC'},\overrightarrow{BD}\right]=(-18;9;0)\).

Suy ra \(\overrightarrow{v}=(-18;9;0)\ne \overrightarrow{0}\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\overrightarrow{AC'}\), \(\overrightarrow{BD}\).

a) Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều, độ dài ba đoạn dây \(OA\), \(OB\), \(OC\) đều bằng \(L>0\). Ta chọn hệ trục như hình vẽ, với \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(H\) là trung điểm \(BC\).

Trong đó \(A\), \(H\) nằm trên trục \(Gx\) và \(O\) nằm trên trục \(Gz\).

Bán kính của chiếc đèn là \(18\) nên \(AG=18\) suy ra \(AB=18\sqrt{3}\) và \(BH=HC=9\sqrt{3}\).

Do đó, ta có \(G(0,0,0)\), \(A(18,0,0)\), \(B(-9,9\sqrt{3},0)\), \(C(-9,-9\sqrt{3},0)\).

Xét tam giác vuông \(AOG\), suy ra \(OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{L^2-18^2}\) nên \(O(0;0;\sqrt{L^2-18^2})\).

Ta có \(\overrightarrow{OA}=(18;0;-\sqrt{L^2-18^2})\), \(\overrightarrow{OB}=(-9;9\sqrt{3};-\sqrt{L^2-18^2})\) và \(\overrightarrow{OC}=(-9;-9\sqrt{3};-\sqrt{L^2-18^2})\).

Suy ra \(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=L\) và \(|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=|\overrightarrow{F_3}|\).

Tồn tại hằng số \(c\ne 0\) sao cho

\(\overrightarrow{F_1}=c\cdot \overrightarrow{OA}=(18c;0;-c\sqrt{L^2-18^2});\)

\(\overrightarrow{F_2}=c\cdot \overrightarrow{OB}=(-9c;9c\sqrt{3};-c\sqrt{L^2-18^2});\)

\(\overrightarrow{F_3}=c\cdot \overrightarrow{OC}=(-9c;-9c\sqrt{3};-c\sqrt{L^2-18^2}).\)

Suy ra \(\overrightarrow{P}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;-3c\sqrt{L^2-18^2})\), trong đó \(\overrightarrow{P}\) là trọng lực tác dụng lên bóng đèn.

Mà trọng lượng của bóng đèn là \(24\) N nên

\(|\overrightarrow{P}|=24\Leftrightarrow 9c^2(L^2-18^2)=24^2\Leftrightarrow c=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{L^2-18^2}},\forall L\in (18;+\infty).\)

Vậy \(F=|F_1|=|F_2|=|F_3|=\displaystyle\frac{8L}{\sqrt{L^2-18^2}}\).

b) Xét hàm số \(F=\displaystyle\frac{8L}{\sqrt{L^2-18^2}}\) trên \((18;+\infty)\).

Ta có

\(F'=\displaystyle\frac{-2592}{(L^2-18^2)\sqrt{L^2-18^2}}<0\), \(\forall L\in (18;+\infty)\).

Ta có bảng biến thiên

Đồ thị của hàm số

c) Mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là \(10\) N.

Suy ra \(F(L)\le 10\Leftrightarrow F(L)\le F(30)\Leftrightarrow L\ge 30\).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây bằng \(30\) in thỏa mãn yêu cầu bài toán.