a. Hai phương trình \(x^2 - 4=0\) và \(2x^2=8\) có cùng tập nghiệm \(\{ - 2 ; 2\}\) nên hai phương trình này tương đương.

b. Ta có \(x=2\) là một nghiệm của phương trình \(x^2 - 4=0\), nhưng không là nghiệm của phương trình

\(x^2 - 4 + \displaystyle\frac{1}{x - 2}=\displaystyle\frac{1}{x - 2}\).

Do đó hai phương trình này không tương đương với nhau.

a. Vì \(\displaystyle\frac{1}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) nên phương trình \(\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) có các nghiệm là \(x= \displaystyle\frac{\pi}{6} +k 2 \pi\) và \(x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k 2 \pi=\displaystyle\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\)

b. Vì \(-\displaystyle\frac{3}{2}<-1\) nên phương trình \(\sin x=-\displaystyle\frac{3}{2}\) vô nghiệm.

c. \(\sin 2 x=\sin 3 x\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& 3 x=2 x+k 2 \pi\\ &3x=\pi - 2x + k 2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} &x=k 2 \pi\\ &x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+\displaystyle\frac{k2 \pi}{5}\ (k \in \mathbb{Z}).\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=k 2 \pi\) và \(x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+\displaystyle\frac{k2 \pi}{5}\) \((k \in \mathbb{Z}).\)

a. Vì \( - \displaystyle\frac{1}{2}=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) nên phương trình \(\cos x= - \displaystyle\frac{1}{2}=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{2\pi}{3} + k 2\pi,\ k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - \displaystyle\frac{2\pi}{3} + k 2\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).

b. Ta có

\(\cos 2x=\cos\left(x + 60^{\circ}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&2x=x + 60^{\circ} + k 360^{\circ}\\ &2x= - \left(x + 60^{\circ}\right) + k 360^{\circ}\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=60^{\circ} + k 360^{\circ}\\ &x= - 20^{\circ} + k 120^{\circ}\ (k\in\mathbb{Z}). \end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=60^{\circ} + k 360^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - 20^{\circ} + k 120^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}\).

c. Ta có

\(\cos 3x=\sin x\) \(\Leftrightarrow\cos 3x=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - x\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2} - x + k 2\pi\\ &3x= - \left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - x\right) + k 2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned} &x=\displaystyle\frac{\pi}{8} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}\\ &x= - \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi\quad(k\in\mathbb{Z}). \end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{8} + k\displaystyle\frac{\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).

a. Vì \(\sqrt{3}=\tan \displaystyle\frac{\pi}{3}\) nên phương trình \(\tan x=\sqrt{3}=\tan \displaystyle\frac{\pi}{3}\) có các nghiệm là

\[x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\]

b. Ta có

\(\tan 2 x=\tan \displaystyle\frac{\pi}{11} \Leftrightarrow 2x= \displaystyle\frac{\pi}{11}+k \pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{22}+k \displaystyle\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{22}+k \displaystyle\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\).

a. Vì \(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\) nên phương trình \(\cot x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\) có các nghiệm là

\[x=\displaystyle\frac{2 \pi}{3}+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\]

b. Ta có

\(\cot 3 x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{7} \Leftrightarrow 3 x=\displaystyle\frac{\pi}{7}+k \pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{21}+k \displaystyle\frac{\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\).

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{21}+k \displaystyle\frac{\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\).

a. \(\sin 2x=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow \sin 2x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &2x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x =\displaystyle\frac{\pi}{12} +k\pi\\ &x=\displaystyle\frac{5\pi}{12} +k\pi\end{aligned}\right.\ (k\in \mathbb{Z})\).

b. \(\sin\left(x - \displaystyle\frac{\pi}{7}\right)=\sin\displaystyle\frac{2\pi}{7}\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x - \displaystyle\frac{\pi}{7} =\displaystyle\frac{2\pi}{7} +k2\pi\\ &x - \displaystyle\frac{\pi}{7}=\pi - \displaystyle\frac{2\pi}{7} +k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{7} + k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{6\pi}{7} + k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\)

c. \(\sin 4x - \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 4x = \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\)

\(\Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}-x\right)\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{\pi}{3}-x+k2\pi\\ &4x=\pi - \displaystyle\frac{\pi}{3}+x+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&5x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ &3x= \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{15}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\\ &x= \displaystyle\frac{2\pi}{9}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

a. \(\cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x + \displaystyle\frac{\pi}{3} =\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x + \displaystyle\frac{\pi}{3} =-\displaystyle\frac{\pi}{6} +k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{2} +k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b. \(\cos 4x=\cos\displaystyle\frac{5\pi}{12}\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\\ &4x=-\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{5\pi}{48}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\\ &4x=-\displaystyle\frac{5\pi}{48}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

c. \(\cos^2 x=1\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos x=1\\ &\cos x=-1\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\ &x=\pi +k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\)

a. \(\tan x=\tan 55^{\circ}\) \(\Leftrightarrow x=55^{\circ} +k180^{\circ}\quad (k\in \mathbb{Z})\).

b. \(\tan \left(2 x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=0\Leftrightarrow 2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=k\pi\) \(\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{8}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\quad (k\in \mathbb{Z})\).

a. \(\cot \left(\displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=-\pi+k2\pi\, (k\in \mathbb{Z}).\)

b. \(\cot 3 x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Leftrightarrow \cot 3 x=\cot \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow 3x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{9}+\displaystyle\frac{k\pi}{3} \, (k\in \mathbb{Z}).\)

+ Phương trình hoành độ giao điểm

\(\cos x=\sin x\Leftrightarrow \tan x=1\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\quad (k\in \mathbb{Z}).\)

+ Vậy đồ thị hàm số \(y=\cos x\) và \(y=\sin x\) giao nhau tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\, (k\in \mathbb{Z})\).

+ Theo giả thiết, ta có

\(10 \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-5\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2} =-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ &10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2} =\pi+\displaystyle\frac{\pi}{3} +k2\pi \end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t =-\displaystyle\frac{\pi}{12} +\displaystyle\frac{k\pi}{5} \\ &t=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5} \end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

+Vậy để \(s=-5\sqrt{3}\) cm thì \(t=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\quad (k \in \mathbb{N}^*)\) và \(t=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\quad (k\in \mathbb{N})\).

a. Xét \(\triangle OMH\) có

\(OM=OH\cdot \tan \alpha\Rightarrow y_M=\tan \alpha=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)\).

Vậy hàm số biểu thị toạ độ \(y_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) theo thời gian \(t\) là \(y_M=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)\).

b. Theo giả thiết, ta có

\(y_N=-1\)

\(\Leftrightarrow \tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi t}{10}=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow t=-\displaystyle\frac{5}{2}+10k \,(k\in \mathbb{N}^*).\)

a. Ta có

\(\sin x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow \sin x=\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{3} \right) \) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.,\ k \in \mathbb{Z}\).

b. Ta có

\(2\cos x=-\sqrt2 \) \(\Leftrightarrow \cos x=-\displaystyle\frac{\sqrt2}{2} \) \(\Leftrightarrow \cos x=\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{4} \right) \) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.,\ k \in \mathbb{Z}\).

c. Ta có

\(\sqrt3\tan\left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=1 \) \(\Leftrightarrow \tan \left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3} \) \(\Leftrightarrow \tan \left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=\tan\left(30^\circ \right) \\ \) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ=30^\circ+k180^{\circ} \) \(\Leftrightarrow x=30^\circ+k360^{\circ},\ k \in \mathbb{Z}\).

d. Ta có

\(\cot(2x-1)=\cot\displaystyle\frac{\pi}{5} \) \(\Leftrightarrow 2x-1=\displaystyle\frac{\pi}{5} +k\pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k}{2}\pi,\ k \in \mathbb{Z}\).

a.

\(\sin 2x+\cos 4x=0\) \(\Leftrightarrow -\sin2x=\cos4x\) \(\Leftrightarrow \cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \right) =\cos4x \) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x=2x+\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&4x=-2x-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&6x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k}{3}\pi\end{aligned}\right.,\ k \in \mathbb{Z}.\)

b.

\(\cos 3x=-\cos 7x\) \(\Leftrightarrow \cos 3x=\cos (\pi-7x)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&3x=\pi-7x+k2\pi\\&3x=7x-\pi+k2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k}{5}\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k}{4}\pi\end{aligned}\right.,\ k \in \mathbb{Z}\).

a. Quả đạn chạm đất \(\Rightarrow y=0\).

Khi đó

\(\displaystyle\frac{-g}{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha} x^2+x \tan \alpha=0\) \(\Leftrightarrow x\left(\displaystyle\frac{-g}{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha} x+ \tan \alpha\right)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=\displaystyle\frac{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha.\tan \alpha}{g}\end{aligned}\right.\)

Vậy tầm xa của quả đạn tính theo góc \(\alpha\) là \(x=\displaystyle\frac{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha.\tan \alpha}{g}\).

b. Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo \(22000 \mathrm{~m}\) thì

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha.\tan \alpha}{g}=22000 \\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{2. 500^2. \cos ^2 \alpha.\tan \alpha}{9,8}=22000 \\ \Leftrightarrow\ &\cos ^2 \alpha.\tan \alpha=0,4312.\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\alpha}.\tan \alpha=0,4312.\\ \Leftrightarrow\ &0,4312\tan^2 \alpha-\tan\alpha+0,4312=0.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\tan\alpha=0{,}57\\&\tan\alpha=1{,}75\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\alpha\approx 30^\circ +k180^\circ \\&\alpha\approx 60^\circ +k180^\circ\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Do góc \(0<\alpha<90^\circ\) nên ta chọn \(\alpha\approx 30^\circ\) hoặc \(\alpha\approx 60^\circ\).

c. Tầm xa của quả đạn là \(x=\displaystyle\frac{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha.\tan \alpha}{g}\).

Do đó quả đạn bay xa nhất khi \( \cos ^2 \alpha.\tan \alpha\) lớn nhất.

Ta có: \(\cos ^2 \alpha.\tan \alpha =\displaystyle\frac{\tan \alpha}{1+\tan^2\alpha}\).

Mặt khác \(1+\tan^2\alpha \ge 2\tan\alpha\) nên ta có \(\displaystyle\frac{\tan \alpha}{1+\tan^2\alpha} \le \displaystyle\frac{1}{2}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\tan\alpha =1 \Leftrightarrow \alpha=45^\circ \) (do \(0<\alpha<90^\circ\)).

Vậy khi góc bắn \(\alpha=45^\circ\) thì quả đạn bay xa nhất.

Vật đi qua vị trí cân bằng khi và chỉ khi

\(x=0 \Leftrightarrow 2 \cos \left(5 t-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0\) \(\Leftrightarrow \cos \left(5 t-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0\) \(\Leftrightarrow 5 t-\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\) \(\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{2\pi}{15}+\displaystyle\frac{k\pi}{5} \left(k\in \mathbb{Z}\right).\)

Vì \( 0\leq t \leq 6 \) nên \(0\leq\displaystyle\frac{2\pi}{15} +\displaystyle\frac{k\pi}{5}\leq 6 \Leftrightarrow -0{,}6\leq k \leq 8{,}8\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \), nên \(k\in \{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8\}\).

Vậy vật đi qua vị trí cân bằng \( 9 \) lần.

a. Ta có

\(\begin{aligned}&\sin \left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) =-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \Leftrightarrow\ & \sin \left(2x -\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) =\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&2x-\displaystyle\frac{\pi}{3} =-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ &2x-\displaystyle\frac{\pi}{3} = \pi+\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&2x=k2\pi\\&2x=\displaystyle\frac{5\pi}{3} +k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=k\pi\\ &x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

b. Ta có

\(\begin{aligned}&\sin \left(3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =-\displaystyle\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow\ & \sin \left(3x +\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&3x+\displaystyle\frac{\pi}{4} = -\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\pi -\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&3x= -\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\\ &3x=\displaystyle\frac{11\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right. \\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{5}{36}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\ &x=\displaystyle\frac{11\pi}{36}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

c. Ta có

\(\begin{aligned}&\cos\left(\displaystyle\frac{x}{2} +\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Leftrightarrow\ & \cos \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned} &\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}= -\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned} &\displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k4\pi\\&x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k4\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

d. Ta có

\(2\cos 3x+5=3 \Leftrightarrow \cos 3x =-1\) \(\Leftrightarrow 3x=\pi+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\,\,(k\in \mathbb{Z})\)

e. Ta có

\(3\tan x=-\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow \tan x =-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\Leftrightarrow \tan x=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z}).\)

f. Ta có

\(\begin{aligned}&\cot x-3=\sqrt{3}\left(1-\cot x\right)\\ \Leftrightarrow\ & \cot x-3 =\sqrt{3}-\sqrt{3}\cot x\\ \Leftrightarrow\ & (1+\sqrt{3})\cot x=\sqrt{3}(1+\sqrt{3})\\ \Leftrightarrow\ & \cot x=\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow\ & \cot x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{6}\\ \Leftrightarrow\ & x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

a. Ta có

\(\begin{aligned}&\sin \left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=x+k2\pi\\&2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\pi-x+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

b. Ta có

\(\begin{aligned}&\sin 2x=\cos 3x\\ \Leftrightarrow\ & \cos 3x =\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x\right)\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\\ &3x=\pi-\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x\right) +k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&5x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x =\displaystyle\frac{\pi}{12} +\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\\ &x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

c. Ta có

\(\cos^2 2x =\cos^2 \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos 2x=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \quad (1)\\ &\cos 2x=-\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right). \quad (2)\end{aligned}\right.\)

\(\begin{aligned}(1) \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned} &2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &2x=-\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right.(k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}(2) \Leftrightarrow\ &\cos 2x=\cos\left[\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \right]\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned} &2x=\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\\ &2x=-\left[\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\right]+k2\pi \end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned} &3x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned} &x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\)

a. \(3\sin x+2=0\) trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)\).

Dựa đồ thị hàm số \(y=\sin x\) ta thấy phương trình \(3\sin x+2=0\) có \(5\) nghiệm trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)\).

b. \(\cos x=0\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=\cos x\) ta thấy phương trình \(\cos x=0\) có \(6\) nghiệm trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right]\).

a. Thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Ta giải phương trình

\(\begin{aligned}d(t)=12 \Leftrightarrow\ & 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=12 \\ \Leftrightarrow\ & \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=0\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =k \pi \\ \Leftrightarrow\ & t-80 = 182k\\ \Leftrightarrow\ & t= 182k+80 (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

Ta lại có

\(0<182k+80 \le 365 \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{80}{182} < k \le \displaystyle\frac{285}{182}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&k=0\\ &k=1.\end{aligned}\right.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(80\) (ứng với \(k=0\)) và ngày thứ \(262\) (ứng với \(k=1\)) trong năm.

b. Vào ngày nào trong năm thành phố \(A\) có đúng \(9\) giờ có ánh sáng mặt trời?

Ta giải phương trình

\(\begin{aligned}d(t)=9 \Leftrightarrow\ & 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=9 \\ \Leftrightarrow\ & \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=-1\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2 \pi \\ \Leftrightarrow\ & t-80 = -91+364k\\ \Leftrightarrow\ & t= 364k-11 (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

Ta lại có

\(0<364k-11 \le 365\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{11}{364}< k \le \displaystyle\frac{376}{364} \Leftrightarrow k=1.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(9\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(353\) trong năm.

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố \(A\) có đúng \(15\) giờ có ánh sáng mặt trời?

Ta giải phương trình

\begin{aligned}d(t)=15 \Leftrightarrow\ & 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=15 \\ \Leftrightarrow\ & \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=1\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2 \pi \\ \Leftrightarrow\ & t-80 = 91+364k\\ \Leftrightarrow\ & t= 364k+171 (k\in \mathbb{Z}).\end{aligned}

Ta lại có

\(0<364k+171 \le 365\) \(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{171}{364}< k \le \displaystyle\frac{196}{364} \Leftrightarrow k=0.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(15\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(171\) trong năm.

Khoảng cách \(h\) là \(3\) m khi

\(3\cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = - 3\) \(\Leftrightarrow \cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = -1\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1) =-\pi +k2\pi\) \(\Leftrightarrow t=-1+3k,\, k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy vào thời điểm \(t=-1+3k,\, k\in \mathbb{Z}\) nào thì khoảng cách \(h\) là \(3\) m.

Khoảng cách \(h\) là \(0\) m khi

\(3\cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0\) \(\Leftrightarrow \cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1) =\displaystyle\frac{\pi}{2} +k\pi\) \(\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{3}{2}k,\, k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy vào thời điểm \(t=\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{3}{2}k,\, k\in \mathbb{Z}\) nào thì khoảng cách \(h\) là \(0\) m.