Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot 3^2 \cdot 12^0\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{12}\right)^{-1} \cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-2}\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^{-2} \cdot 5^2\right)^{-2}:\left(5 \cdot 5^{-5}\right)\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot 3^2 \cdot 12^0\) \(=\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2\cdot 9\cdot 1=\displaystyle\frac{16}{9}\cdot 9=16\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{12}\right)^{-1} \cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-2}\) \(=12\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2=12\cdot \displaystyle\frac{9}{4}=27\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^{-2} \cdot 5^2\right)^{-2}:\left(5 \cdot 5^{-5}\right)\) \(=2^4\cdot 5^{-4}:5^{-4}=2^4\cdot 1=16\).
Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa \((a>0)\):
\(\bullet\,\) \(3\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[8]{3}\).
\(\bullet\,\) \(\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}\).
\(\bullet\,\) \(\displaystyle\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3 \cdot a^{\tfrac{2}{5}}}\).
\(\bullet\,\) \(3\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[8]{3}\) \(=3\cdot 3^{\tfrac{1}{2}}\cdot3^{\tfrac{1}{4}}\cdot 3^{\tfrac{1}{8}}=3^{1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}}=3^{\tfrac{15}{8}}\).
\(\bullet\,\) \(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt{a\sqrt{a\cdot a^{\tfrac{1}{2}}}}\) \(=\sqrt{a\sqrt{a^{\tfrac{3}{2}}}}=\sqrt{a\cdot a^{\tfrac{3}{4}}}=\sqrt{a^{\tfrac{7}{4}}}=a^{\tfrac{7}{8}}\).
\(\bullet\,\) \(\displaystyle\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3 \cdot a^{\tfrac{2}{5}}}\) \(=\displaystyle\frac{a^{\tfrac{1}{2}}\cdot a^{\tfrac{1}{3}}\cdot a^{\tfrac{1}{4}}}{ a^{\tfrac{3}{5}}\cdot a^{\tfrac{2}{5}}}=\displaystyle\frac{a^{\tfrac{13}{12}}}{a^1}=a^{\tfrac{1}{12}}\).
Rút gọn các biểu thức sau (\(a>0, b>0\)):
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{1}{3}} a^{\tfrac{1}{2}} a^{\tfrac{7}{6}}\).
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{2}{3}} a^{\tfrac{1}{4}}: a^{\tfrac{1}{6}}\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{2} a^{-\tfrac{3}{2}} b^{-\tfrac{1}{2}}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{3} a^{\tfrac{1}{2}} b^{\tfrac{3}{2}}\right)\).
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{1}{3}} a^{\tfrac{1}{2}} a^{\tfrac{7}{6}}=a^{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{7}{6}}=a^2\).
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{2}{3}} a^{\tfrac{1}{4}}: a^{\tfrac{1}{6}}=a^{\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{6}}=a^{\tfrac{3}{4}}\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{2} a^{-\tfrac{3}{2}} b^{-\tfrac{1}{2}}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{3} a^{\tfrac{1}{2}} b^{\tfrac{3}{2}}\right)\) \(=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)a^{\tfrac{-3}{2}+\tfrac{1}{2}}\cdot b^{-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}a^{-1}b\).
Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng \(1\) m\(^2\) và dày khoảng \(1{,}94 \cdot 10^{-7}\) m. Đồng xu \(5\ 000\) đồng dày \(2{,}2 \cdot 10^{-3}\) m. Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại \(5\ 000\) đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm.
Số lá vàng cần chồng là
\( \displaystyle\frac{2{,}2\cdot 10^{-3}}{1{,}94 \cdot 10^{-7}}\approx11\ 300. \)
Tại một xí nghiệp, công thức \(P(t)=500 \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{3}}\) được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian \(t\) (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
\(\bullet\,\) Tính giá trị còn lại của máy sau \(2\) năm; sau \(2\) năm \(3\) tháng.
\(\bullet\,\) Sau \(1\) năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?
\(\bullet\,\) Giá trị còn lại của máy sau \(t=2\) năm là \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{2}{3}}\approx315\).
Giá trị còn lại của máy sau sau \(2\) năm \(3\) tháng (\(t=\displaystyle\frac{9}{4}\) năm) là \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{\tfrac{9}{4}}{3}}=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{3}{4}}\approx297\).
\(\bullet\,\)
Ban đầu giá trị của máy là \(P_0=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0=500\).
Giá trị còn lại của máy sau \(1\) năm sử dụng: \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{1}{3}}=396{,}85\).
Suy ra \(\displaystyle\frac{P}{P_0}=79{,}37\%\).
Biết rằng \(10^\alpha=2\); \(10^\beta=5\).
Tính \(10^{\alpha+\beta}\); \(10^{\alpha-\beta}\); \(10^{2 \alpha}\); \(10^{-2 \alpha}\); \(1000^\beta\); \(0{,}01^{2 \alpha}\).
\(\bullet\,\) \(10^{\alpha+\beta}=10^\alpha\cdot10^\beta=2\cdot 5=10\).
\(\bullet\,\) \(10^{\alpha-\beta}=10^\alpha:10^\beta=\displaystyle\frac{2}{5}\).
\(\bullet\,\) \(10^{2\alpha}=\left(10^\alpha\right)^2=2^2=4\).
\(\bullet\,\) \(10^{-2 \alpha}=\displaystyle\frac{1}{10^{2\alpha}}=\displaystyle\frac{1}{4}\).
\(\bullet\,\) \(1000^\beta=\left(10^3\right)^\beta=\left(10^\beta\right)^3=5^3=125\).
\(\bullet\,\) \(0{,}01^{2 \alpha}=(10^{-2})^{2 \alpha}=\left(10^\alpha\right)^{-4}\) \(=2^{-4}=\displaystyle\frac{1}{16}\).
Biết rằng \(4^\alpha=\displaystyle\frac{1}{5}\). Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \(16^a+16^{-a}\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2\).
\(\bullet\,\) \(16^\alpha+16^{-\alpha}=\left(4^\alpha\right)^2+\displaystyle\frac{1}{\left(4^\alpha\right)^2}\) \(=\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^2+\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{25}+25=\displaystyle\frac{626}{25}\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2=4^\alpha+2+4^{-\alpha}\) \(=\displaystyle\frac{1}{5}+2+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{5}}=\displaystyle\frac{36}{5}\).
Tính
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{-2}\);
\(\bullet\,\) \(4^{\tfrac{3}{2}}\);
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{8}\right)^{\tfrac{-2}{3}}\);
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{-0{,}75}\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{-2}=5^2=25\).
\(\bullet\,\) \(4^{\tfrac{3}{2}}=\sqrt{4^3}=\sqrt{(2^2)^3}=\sqrt{(2^3)^2}=2^3=8\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{8}\right)^{\tfrac{-2}{3}}\) \(=\left(\displaystyle\frac{1}{2^3}\right)^{\tfrac{-2}{3}}\) \(=(2^3)^{\tfrac{2}{3}}=2^{3\cdot \tfrac{2}{3}}=2^2=4\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^{-0{,}75}\) \(=16^{0{,}75}=16^{\tfrac{3}{4}}=(2^4)^{\tfrac{3}{4}}=2^{4\cdot \tfrac{3}{4}}=2^3=8\).
Thực hiện phép tính
\(\bullet\,\) \(27^{\tfrac{2}{3}}+81^{-0{,}75}-25^{0{,}5}\);
\(\bullet\,\) \(4^{2-3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}\).
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}&&27^{\tfrac{2}{3}}+81^{-0{,}75}-25^{0{,}5}\\ &=&(3^3)^{\tfrac{2}{3}}+(3^4)^{-0{,}75}-(5^2)^{0{,}5}\\&=&3^{3\cdot\tfrac{2}{3}}+3^{4\cdot (-0{,}75)}-5^{2\cdot (0{,}5)}\\&=&3^2+3^{-3}-5^1\\&=&\displaystyle\frac{109}{27}.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}&&4^{2-3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}\\&=&(2^2)^{2-3 \sqrt{7}} \cdot (2^3)^{2 \sqrt{7}}\\&=&2^{2\left(2-3 \sqrt{7}\right)} \cdot 2^{6 \sqrt{7}}\\&=&2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}\\&=&16.\end{eqnarray*}
Rút gọn các biểu thức sau
\(\bullet\,\) \(A=\displaystyle\frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}\,(x, y \neq 0)\);
\(\bullet\,\) \(B=\displaystyle\frac{x^2 y^{-3}}{\left(x^{-1} y^4\right)^{-3}}\,(x, y \neq 0)\).
\(\bullet\,\) \(A=\displaystyle\frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}=x^2y^{-3}\).
\(\bullet\,\) \(B=\displaystyle\frac{x^2 y^{-3}}{\left(x^{-1} y^4\right)^{-3}}=\displaystyle\frac{x^2y^{-3}}{x^3y^{-12}}=x^{-1}y^9\).
Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau
\(\bullet\,\) \(A=\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{y}+y^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}\);
\(\bullet\,\) \(B=\left(\displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\).
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}A&=&\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{y}+y^{\tfrac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}\\&=&\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} y^{\tfrac{1}{2}}+y^{\tfrac{1}{3}} x^{\tfrac{1}{2}}}{x^{\tfrac{1}{6}}+y^{\tfrac{1}{6}}}\\&=&\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}} y^{\tfrac{1}{3}}\left(x^{\tfrac{1}{6}}+y^{\tfrac{1}{6}}\right)}{x^{\tfrac{1}{6}}+y^{\tfrac{1}{6}}}\\&=&x^{\tfrac{1}{3}} y^{\tfrac{1}{3}}.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{eqnarray*}B&=&\left(\displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\\ &=&\displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}}{y^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}\cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\\ &=&\displaystyle\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^2}\cdot \displaystyle\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}\\ &=&\displaystyle\frac{x^{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}}{y^{2-2}}\\&=&x^2.\end{eqnarray*}
Chứng minh rằng \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2\).
Ta có
\begin{eqnarray*}&&\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}\\&=&\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}\\&=&\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\\&=&\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)\\&=&2.\end{eqnarray*}
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh
\(\bullet\,\) \(5^{6\sqrt{3}}\) và \(5^{3\sqrt{6}}\);
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{-4}{3}}\) và \(\sqrt{2}\cdot 2^{\tfrac{2}{3}}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(6\sqrt{3}=\sqrt{6^2\cdot 3}=\sqrt{108}\) và \(3\sqrt{6}=\sqrt{3^2\cdot 6}=\sqrt{54}\).
Do \(3\sqrt{6}=\sqrt{54}<\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) và cơ số \(5>1\) nên \(5^{3\sqrt{6}}<5^{6\sqrt{3}}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{-4}{3}}=2^{\tfrac{4}{3}}\) và \(\sqrt{2}\cdot 2^{\tfrac{2}{3}}=2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{3}}=2^{\tfrac{7}{6}}\).
Do \(\displaystyle\frac{7}{6}<\displaystyle\frac{8}{6}=\displaystyle\frac{4}{3}\) và cơ số \(2>1\) nên \(2^{\tfrac{7}{6}}<2^{\tfrac{4}{3}}\) hay \(\sqrt{2}\cdot 2^{\tfrac{2}{3}}<\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{-4}{3}}\).
Nếu một khoản tiền gốc \(P\) được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm \(r\) (\(r\) được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi \(n\) lần trong một năm, thì tổng số tiền \(A\) nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau \(N\) kì gửi cho bởi công thức sau:
\(A=P\left(1+\displaystyle\frac{r}{n}\right)^N.\)
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền \(120\) triệu đồng theo kì hạn \(6\) tháng với lãi suất không đổi là \(5 \%\) một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau \(2\) năm là bao nhiêu?
Ta có \(2\) năm là \(24\) tháng ứng với \(N=4\) kì hạn.
Do kì hạn là \(6\) tháng nên mỗi năm được tính lãi \(n=2\) lần.
Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi bác An nhận được sau \(2\) năm là \(A=120\left(1+\displaystyle\frac{0{,}05}{2}\right)^4\approx 132{,}457\) triệu đồng.
Năm \(2021\), dân số của một quốc gia ở châu Á là \(19\) triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau \(30\) năm nữa. Khi đó dân số \(A\) (triệu người) của quốc gia đó sau \(t\) năm kể từ năm \(2021\) được ước tính bằng công thức \(A=19 \cdot 2^{\tfrac{t}{30}}\). Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau \(20\) năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Dân số của quốc gia này sau \(20\) năm là \(A=19\cdot 2^{\tfrac{20}{30}}\approx 30\) triệu người.
Tính
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{256}\right)^{-0{,}75}+\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}\);
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{49}\right)^{-1{,}5}-\left(\displaystyle\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}\);
\(\bullet\,\) \(\left(4^{3+\sqrt{3}}-4^{\sqrt{3}-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(\left(\displaystyle\frac{1}{256}\right)^{-0{,}75}+\left(\displaystyle\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}=(4^4)^{\frac{3}{4}}+(3^3)^{\frac{4}{3}}=4^3+3^4=145\);
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{49}\right)^{-1{,}5}-\left(\displaystyle\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}=(7^2)^{\frac{3}{2}}-(5^3)^{\frac{2}{3}}=7^3-5^2=318\);
\(\bullet\,\) \(\left(4^{3+\sqrt{3}}-4^{\sqrt{3}-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}\) \(=\left(2^{6+2\sqrt{3}}-2^{2\sqrt{3}-2}\right)\cdot 2^{-2\sqrt{3}}=2^6-2^{-2}=\displaystyle\frac{255}{4}\).
Cho \(a\), \(b\) là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
\(\bullet\,\) \(a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}\);
\(\bullet\,\) \(b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}\);
\(\bullet\,\) \(a^{\frac{4}{3}}: \sqrt[3]{a}\);
\(\bullet\,\) \(\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}\).
\(\bullet\,\) \(a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}=a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{6}}\);
\(\bullet\,\) \(b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}=b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=b\);
\(\bullet\,\) \(a^{\frac{4}{3}}: \sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}}: a^{\frac{1}{3}}\) \(=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a\);
\(\bullet\,\) \(\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}}: b^{\frac{1}{6}}\) \(=b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{6}}\).
Rút gọn mỗi biểu thức sau
\(\bullet\,\) \(\displaystyle\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}-\displaystyle\frac{a^{\frac{5}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}}\) (\(a>0\), \(a\ne 1\));
\(\bullet\,\) \(\displaystyle\frac{\left(\sqrt[4]{a^3b^2}\right)^4}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^6}}}\) (\(a>0\), \(b>0\)).
\(\bullet\,\) Với \(a>0\), \(a\ne 1\), ta có
\begin{eqnarray*}& &\displaystyle\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}-\displaystyle\frac{a^{\frac{5}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}}\\&=& \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a^2-1\right)}{a^{\frac{1}{3}}\left(a-1\right)}-\displaystyle\frac{a^{-\frac{1}{3}}\left(a^2-1\right)}{a^{-\frac{1}{3}}\left(a+1\right)}\\&=&a+1-(a-1)=2.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Với \(a>0\), \(b>0\), ta có
\begin{eqnarray*}& &\displaystyle\frac{\left(\sqrt[4]{a^3b^2}\right)^4}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^6}}}\\&=&\displaystyle\frac{a^3b^2}{\sqrt[6]{a^{12}b^6}}\\&=& \displaystyle\frac{a^3b^2}{\sqrt[6]{(a^2b)^6}}\\&=&\displaystyle\frac{a^3b^2}{a^2b}=ab.\end{eqnarray*}
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần
\(\bullet\,\) \(1^{1{,}5}\); \(3^{-1}\); \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}\);
\(\bullet\,\) \(2\,022^0\); \(\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-1}\); \(5^{\frac{1}{2}}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(1^{1{,}5}=1\); \(3^{-1}=\displaystyle\frac{1}{3}\); \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\).
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần sẽ là \(3^{-1}\); \(1^{1{,}5}\); \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-2}\).
\(\bullet\,\) \(2\,022^0=1\); \(\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-1}=\displaystyle\frac{5}{4}\); \(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\).
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần sẽ là \(2\,022^0\); \(\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-1}\); \(5^{\frac{1}{2}}\).
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau
\(\bullet\,\) \(\sqrt{42}\) và \(\sqrt[3]{51}\);
\(\bullet\,\) \(16^{\sqrt{3}}\) và \(4^{3\sqrt{2}}\);
\(\bullet\,\) \((0{,}2)^{\sqrt{16}}\) và \((0{,}2)^{\sqrt[3]{60}}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(\sqrt{42}=42^{\frac{1}{2}}\) suy ra \(42^3=\left(42^{\frac{1}{2}}\right)^6\) và \(\sqrt[3]{51}=51^{\frac{1}{3}}\) suy ra \(51^2=\left(51^{\frac{1}{3}}\right)^6\).
Mà \(42^3>51^2\) suy ra \(\sqrt{42}>\sqrt[3]{51}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(16^{\sqrt{3}}=4^{2\sqrt{3}}\) và \(4^{3\sqrt{2}}\).
Do \((2\sqrt{3})^2=12\) và \((3\sqrt{2})^2=32\), nên \(2\sqrt{3}<3\sqrt{2}\).
Mặt khác cơ số \(4>1\) nên \(16^{\sqrt{3}}<4^{3\sqrt{2}}\);
\(\bullet\,\) Ta có \((\sqrt{16})^6=16^3\), \((\sqrt[3]{60})^6=60^2\).
Suy ra \(\sqrt{16}>\sqrt[3]{60}\) mà cơ số \(0{,}2<1\) nên \((0{,}2)^{\sqrt{16}}<(0{,}2)^{\sqrt[3]{60}}\).
Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian \(P\) (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi một hàm số \(P=d^{\frac{3}{2}}\), trong đó \(d\) là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (\(1\) AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là \(1\) AU khoảng \(93\,000\,000\) dặm). Hỏi Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là \(1{,}52\) AU.
Sao Hỏa quay quanh Mặt Trời thì mất thời gian \(P=1{,}52^{\frac{3}{2}}\approx 1{,}87\) AU.