Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 16\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 27\);
\(\bullet\,\) \( \log 1000 \);
\(\bullet\,\) \( 9^{\log_3 12} \).
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 16=\log_2 2^4=4\cdot \log_2 2=4\cdot 1=4\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 27=\log_3 3^3=3 \cdot \log_3 3=3\cdot 1=3\);
\(\bullet\,\) \( \log 1000=\log 10^3=3\cdot \log 10=3\cdot 1=3 \);
\(\bullet\,\) \( 9^{\log_3 12} =\left(3^2\right)^{\log_3 12}\) \(=\left(3^{\log_3 12}\right)^2=12^2=144\).
Tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức sau có nghĩa
\(\bullet\,\) \( \log_3 (1-2x)\);
\(\bullet\,\) \( \log_{x+1} 5\).
\(\bullet\,\) \( \log_3 (1-2x)\) có nghĩa khi \( 1-2x>0\Leftrightarrow x<\displaystyle\frac{1}{2} \);
\(\bullet\,\) \( \log_{x+1} 5\) có nghĩa khi \( 0<x+1\neq 1\Leftrightarrow \begin{cases}x>-1 \\ x\neq 0\end{cases}\).
Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \( \log_{6} 9+\log_6 4\);
\(\bullet\,\) \( \log_5 2-\log_5 50\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 \sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{2}\log_3 15 \).
\(\bullet\,\) \( \log_{6} 9+\log_6 4=\log_6 (9\cdot 4)\) \(=\log_6 36=\log_6 6^2=2\log_6 6=2\cdot 1=2\);
\(\bullet\,\) \( \log_5 2-\log_5 50=\log_5 \displaystyle\frac{2}{50}\) \(=\log_5 \displaystyle\frac{1}{25}=\log_5 5^{-2}=-2\cdot \log_5 5=-2\cdot 1=-2\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 \sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{2}\log_3 15=\log_3 \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}\) \(=\log_3 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=\log_3 1-\log_3 3^{\frac{1}{2}}\) \(=0-\displaystyle\frac{1}{2}\log_3 3=0-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1=-\displaystyle\frac{1}{2} \).
Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 9 \cdot \log_3 4\);
\(\bullet\,\) \( \log_{25} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\);
\(\bullet\,\) \( \log_2 3 \cdot \log_9 \sqrt{5}\cdot \log_5 4\).
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 9 \cdot \log_3 4=\log_2 9 \cdot \displaystyle\frac{\log_2 4}{\log_2 3}\) \(=\log_2 3^2 \cdot \displaystyle\frac{2\log_2 2}{\log_2 3}=2\log_2 3 \cdot \displaystyle\frac{2\cdot 1}{\log_2 3}=2\cdot 2=4\);
\(\bullet\,\) \( \log_{25} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}=\log_{5^2} (5^{\frac{-1}{2}})\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{-1}{2}\log_5 5=-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot 1=-\displaystyle\frac{1}{4}\);
\(\bullet\,\) \(\log_2 3 \cdot \log_9 \sqrt{5}\cdot \log_5 4=\log_2 3\cdot \displaystyle\frac{\log_2 \sqrt{5}}{\log_2 9}\cdot \log_5 2^2\) \(=\log_2 3\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{\log_2 5}{2\log_2 3}\cdot 2\log_5 2\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\log_2 5\cdot \log_5 2=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Đặt \( \log 2=a \), \( \log 3=b \). Biểu thị các biểu thức sau theo \( a \) và \( b \).
\(\bullet\,\) \( \log_4 9=\displaystyle\frac{\log 9}{\log 4}=\displaystyle\frac{\log 3^2}{\log 2^2}\) \(=\displaystyle\frac{2\log 3}{2\log 2}=\displaystyle\frac{b}{a}\);
\(\bullet\,\) \( \log_6 12=\displaystyle\frac{\log 12}{\log 6}=\displaystyle\frac{2\log 2+\log 3}{\log 2+\log 3}\) \(=\displaystyle\frac{2a+b}{a+b}\);
\(\bullet\,\) \( \log_5 6=\displaystyle\frac{\log 6}{\log 5}=\displaystyle\frac{\log 2+\log 3}{\log (2+3)}\).
Lại có \( \log 2=a\Rightarrow 10^a=2 \) và \( \log 3=b\Rightarrow 10^b=3 \).
Do đó \( \log_5 6=\displaystyle\frac{\log 6}{\log 5}\) \(=\displaystyle\frac{\log 2+\log 3}{\log 10 -\log 2}=\displaystyle\frac{a+b}{1-a}.\)
\(\bullet\,\) Nước cất có nồng độ H\(^+ \) là \( 10^{-7} \) mol/L. Tính nồng độ pH của nước cất.
\(\bullet\,\) Một dung dịch có nồng độ H\(^+ \) gấp \( 20 \) lần nồng độ H\(^+ \) của nước cất. Tính pH của dung dịch đó.
\(\bullet\,\) Ta có \( \text{pH}=-\log[\text{H}^+]=-\log 10^{-7} =7 \).
\(\bullet\,\) Nồng độ \( \text{H}^+ \) của dung dịch là \( 20\cdot 10^{-7} \) mol/L.
Độ pH của dung dịch là \( \text{pH}=-\log[20\cdot 10^{-7}]\approx 5{,}7.\)
Tính
\(\bullet\,\) \(\log _2 2^{-13}\);
\(\bullet\,\) \(\ln \mathrm{e}^{\sqrt{2}}\);
\(\bullet\,\) \(\log _8 16-\log _8 2\);
\(\bullet\,\) \(\log _2 6 \cdot \log _6 8\).
\(\bullet\,\) \(\log _2 2^{-13}=-13\log_22=-13\);
\(\bullet\,\) \(\ln \mathrm{e}^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ln\mathrm{e}=\sqrt{2}\);
\(\bullet\,\) \(\log _8 16-\log _8 2=\log_82+\log_88-\log_82=1\);
\(\bullet\,\) \(\log _2 6 \cdot \log _6 8=\log_28=\log_22^3=3\log_22=3\).
Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
\(\bullet\,\) \(A=\ln \left(\displaystyle\frac{x}{x-1}\right)+\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x}\right)-\ln \left(x^2-1\right)\);
\(\bullet\,\) \(B=21 \log _3 \sqrt[3]{x}+\log _3\left(9 x^2\right)-\log _3 9\).
\(\bullet\,\) \(A=\ln \left(\displaystyle\frac{x}{x-1}\right)+\ln \left(\displaystyle\frac{x+1}{x}\right)-\ln \left(x^2-1\right)=\ln\left[\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x}{x-1}\cdot\displaystyle\frac{x+1}{x}}{x^2-1}\right]\)
\\Hay \(A=\ln\left[\displaystyle\frac{x+1}{(x+1)(x-1)^2}\right]=-2\ln(x-1)\);
\(\bullet\,\) \(B=21 \log _3 \sqrt[3]{x}+\log _3\left(9 x^2\right)-\log _3 9=\log_3\displaystyle\frac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^{21}\cdot9x^2}{9}=9\log_3x\).
Rút gọn các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \(A=\log _{\tfrac{1}{3}} 5+2 \log _9 25-\log _{\sqrt{3}} \displaystyle\frac{1}{5}\);
\(\bullet\,\) \(B=\log _{a} M^2+\log _{a^2} M^4\).
\(\bullet\,\) \(A=\log _{\displaystyle\frac{1}{3}} 5+2 \log _9 25-\log _{\sqrt{3}} \displaystyle\frac{1}{5}=-\log_35+2\log_35+2\log_35=3\log_35\);
\(\bullet\,\) \(B=\log _{a} M^2+\log _{a^2} M^4=2\log_aM+\displaystyle\frac{4}{2}\log_aM=4\log_aM\).
Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \(A=\log _2 3 \cdot \log _3 4 \cdot \log _4 5 \cdot \log _5 6 \cdot \log _6 7 \cdot \log _7 8\);
\(\bullet\,\) \(B=\log _2 2 \cdot \log _2 4 \cdots \log _2 2^n\).
\(\bullet\,\) Áp dụng công thức \(\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac\), ta được
\(A=\log _2 3 \cdot \log _3 4 \cdot \log _4 5 \cdot \log _5 6 \cdot \log _6 7 \cdot \log _7 8=\log_28=\log_22^3=3\);
\(\bullet\,\) \(B=\log _2 2 \cdot \log _2 4 \cdots \log _2 2^n=\log _2 2^1 \cdot \log _2 2^2 \cdots \log _2 2^n=1\cdot2\cdots n=n!\).
Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là \(\) a=15500(5-\log p), \(\) trong đó \(a\) là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và \(p\) là áp suất không khí (tính bằng pascal). Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao \(8850 \mathrm{~m}\) so với mực nước biển.
Đỉnh Everest có độ cao \(8850 \mathrm{~m}\) so với mực nước biển suy ra
\(8850=15500(5-\log p)\Leftrightarrow \log p=\displaystyle\frac{1373}{310}\Leftrightarrow p=26855{,}44\mathrm{~(pascal)}.\)
Áp suất không khí ở đỉnh Everest là \(p=26855{,}44\mathrm{~(pascal)}\).
Mức cường độ âm \(L\) đo bằng decibel (\(\mathrm{dB}\)) của âm thanh có cường độ \(I\) (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là \(\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\)) được định nghĩa như sau: \(\) L(I)=10 \log \displaystyle\frac{I}{I_0}, \(\) trong đó \(I_0=10^{-12} \mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\) là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe). Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
\(\bullet\,\) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ \(I=10^{-7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2\).
\(\bullet\,\) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I=10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2\).
\(\bullet\,\) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ \(I=10^{-7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2\) có mức cường độ âm là
\(L(I)=10 \log \displaystyle\frac{10^{-7}}{10^{-12}}=50~(\mathrm{dB}).\)
\(\bullet\,\) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I=10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2\)
có mức cường độ âm là
\(L(I)=10 \log \displaystyle\frac{10^{-3}}{10^{-12}}=90~(\mathrm{dB}).\)
Tính:
\(\bullet\,\) \(\log _{12} 12^{3}\);
\(\bullet\,\) \(\log _{0,5} 0{,}25\);
\(\bullet\,\) \(\log _{a} a^{-3} \;(a>0, a \neq 1)\).
\(\bullet\,\) \(\log _{12} 12^{3}=3\);
\(\bullet\,\) \(\log _{0{,}5} 0,25=\log _{0,5} 0{,}5^2=2\);
\(\bullet\,\) \(\log _{a} a^{-3}=-3\).
Tính:
\(\bullet\,\) \(8^{\log _{2} 5}\);
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{10}\right)^{\log 81}\);
\(\bullet\,\) \(5^{\log _{25} 16}\).
\(\bullet\,\) \(8^{\log _{2} 5}=\left(2^3\right)^{\log_25}=\left(2^{\log_25}\right)^3=5^3=125\);
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{10}\right)^{\log 81}=\left(10^{-1}\right)^{\log 81}=\left(10^{\log 81}\right)^{-1}=81^{-1}=\displaystyle\frac{1}{81}\);
\(\bullet\,\) \(5^{\log _{25} 16}=5^{\log _{5^2} 2^4}=5^{2\log _{5} 2}=\left(5^{\log_52}\right)^2=2^2=4\).
Cho \(\log _{a} b=2\). Tính:
\(\bullet\,\) \(\log _{a}\left(a^{2} b^{3}\right)\);
\(\bullet\,\) \(\log _{a} \displaystyle\frac{a \sqrt{a}}{b \sqrt[3]{b}}\);
\(\bullet\,\) \(\log _{a}(2 b)+\log _{a}\left(\displaystyle\frac{b^{2}}{2}\right)\).
\(\bullet\,\) \(\log _{a}\left(a^{2} b^{3}\right)=\log _{a}a^2+\log _{a}b^3=2+3\log _{a}b=8\);
\(\bullet\,\) \(\log _{a} \displaystyle\frac{a \sqrt{a}}{b \sqrt[3]{b}}=\log_a a\sqrt{a}-\log_ab\sqrt{b}=\log_aa^\frac{3}{2}-\log_ab^\frac{4}{3}=\displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{4}{3}\log_ab=-\displaystyle\frac{7}{6}\);
\(\bullet\,\) \(\log _{a}(2 b)+\log _{a}\left(\displaystyle\frac{b^{2}}{2}\right)=\log_a2+\log_ab+\log_ab^2-\log_a2=\log_ab+2\log_ab=3\log_ab=6\).
Cho hai số thực dương \(a, b\) thoả mãn \(a^{3} b^{2}=100\). Tính giá trị của biểu thức \(\)P=3 \log a+2 \log b.\(\)
Ta có: \(a^{3} b^{2}=100\).
Suy ra \(\log a^3b^2=\log 100\) \(\Leftrightarrow\log a^3+\log b^2=\log 10^2\) \(\Leftrightarrow3\log a+2\log b=2\).
Vậy \(P=2\).
Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ \(\mathrm{pH}\) của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ \(\mathrm{pH}\) thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ \(7{,}2\) đến \(8{,}8\) và tốt nhất là trong khoảng từ \(7{,}8\) đến \(8{,}5\). Phân tích nồng độ \(\left[\mathrm{H}^{+}\right]\) trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được \(\left[\mathrm{H}^{+}\right]=8 \cdot 10^{-8}\). Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?
Độ pH của đầm là: \(\mathrm{pH}=-\log \left[\mathrm{H}^{+}\right]=-\log \left( 8\cdot 10^{-8}\right)\approx 7{,}1\).
Do vậy, độ pH của đầm không thích hợp cho tôm sú phát triển.
Một vi khuẩn có khối lượng khoảng \(5 \cdot 10^{-13}\) gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần. Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là \(6 \cdot 10^{27} \mathrm{gam}\)) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Số lần phân chia: \(N=N_0 \cdot 2^n \Rightarrow n=\log_2\left(\displaystyle\frac{N}{N_0}\right)\) \(=\log_2\left(\displaystyle\frac{6 \cdot 10^{27}}{5 \cdot 10^{-13}}\right)\) \(=\log_2\left(1{,}2\cdot 10^{40}\right)\approx 133\).
Thời gian cần thiết là: \(133: 3\approx 44{,}3\) giờ.
Vậy sau 45 giờ thì khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất.