ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 7

Ta có \(f^\prime(x)=2x-2\) nên \(f^\prime(-1)=-4\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(-1 ; 6)\) là

\(y=f^\prime(-1)(x+1)+6\Leftrightarrow y=-4x+2.\)

Đạo hàm của các hàm số sau là

\(\bullet\,\) \(y^\prime=12x^3-21x^2+6x\).

\(\bullet\,\) \(y^\prime=3(x^2-x)^2(x^2-x)^\prime=3(x^2-x)^2(2x-1)\).

\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(4x-1)^\prime\cdot(2x+1)-(2x+1)^\prime\cdot(4x-1)}{(2x+1)^2}\) \(=\displaystyle\frac{6}{(2x+1)^2}\).

Đạo hàm của các hàm số sau là

\(\bullet\,\) \(y^\prime=(2x+3)e^x+(x^2+3x-1)e^x\) \(=e^x(x^2+5x-1)\).

\(\bullet\,\) \(y^\prime=(x^3)^\prime\ \cdot\log_2 x+x^3\cdot (\log_2 x)^\prime\) \(=3x^2\log_2 x+\displaystyle\frac{x^3}{x\ln2}\).

Đạo hàm của các hàm số sau là

\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(e^x+1)^\prime}{\cos^2(e^x+1)}=\displaystyle\frac{e^x}{\cos^2(e^x+1}\).

\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(\sin3x)^\prime}{2\sqrt{\sin3x}}=\displaystyle\frac{3\cos3x}{2\sqrt{\sin3x}}\).

\(\bullet\,\) \(y^\prime=\displaystyle\frac{(1-2^x)^\prime}{\sin^2(1-2^x)}=\displaystyle\frac{2^x\ln x}{\sin^2(1-2^x)}\).

Đạo hàm cấp \(1\) của các hàm số sau là

\(\bullet\,\) \(y^\prime=3x^2-8x+2\).

\(\bullet\,\) \(y^\prime=2xe^x+x^2e^x=e^x(2x+x^2)\).

Đạo hàm cấp \(2\) của các hàm số trên là

\(\bullet\,\) \(y^{\prime\prime}=6x-8\).

\(\bullet\,\) \(y^{\prime\prime}=e^x(2x+x^2)+e^x(2+2x)\) \(=e^x(x^2+4x+2)\).

Ta có \(s'(t)=4,9\cdot 2t\).

\(\bullet\,\) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc \(t=2\) là \(s'(2)=4,9\cdot 2\cdot 2=19,6\) m/s.

\(\bullet\,\) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.

Thời gian viên sỏi rơi từ độ cao \(44,1\) m đến lúc chạm đất

\(4,9t^2=44,1\) suy ra \(t=3\) vì \((t>0).\)

Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là \(s'(3)=4,9\cdot 2\cdot 3=29,4\) m/s.

\(P'(t)=\left(\displaystyle\frac{500t}{t^2+9}\right)'\) \(=\displaystyle\frac{(500t)'(t^2+9)-500t\left(t^2+9\right)'}{\left(t^2+9\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{500(t^2+9)-100t\cdot 2t}{\left(t^2+9\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{-500t^2+4500}{(t^2+9)^2}\).

Tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t=12\) là \(P'(12)\simeq -2,88\) nghìn người/năm.

Ta có \(S'(r)=\left(\displaystyle\frac{1}{r^4}\right)'=\left(r^{-4}\right)'=-4r^{-5}=\displaystyle\frac{-4}{r^5}\).

Tìm tốc độ thay đổi của \(S\) theo \(r\) khi \(r=0,8\) là \(S'(0,8)\simeq-12,207\).

Ta có \(T'(t)=-0,2t+1,2\).

Tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm \(t=1,5\) là \(T'(1,5)=0,9\).

Ta có \(R'(v)=-\displaystyle\frac{600}{v^2}\).

Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp \(v=80\) là \(R'(80)=-0,09375\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&5\cdot \left(\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}\right)^4 \cdot \left(\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}\right)'\\&=&5\cdot \left(\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}\right)^4 \cdot \displaystyle\frac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}\\&=&5\cdot \left(\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}\right)^4 \cdot \displaystyle\frac{5}{(x+2)^2}\\&=& 25\cdot \left(\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}\right)^4 \cdot \displaystyle\frac{1}{(x+2)^2};\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\displaystyle\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\);

\(\bullet\,\) Ta có \(y'=\mathrm{\, e}^x\cdot \sin^2x+2\cdot \mathrm{\, e}^x\cdot \sin x\cdot \cos x=\mathrm{\, e}^x\cdot \left(\sin ^2 x+\sin 2x\right)\);

\(\bullet\,\) Ta có \(y'=\displaystyle\frac{\left(x+\sqrt{x}\right)'}{ \left(x+\sqrt{x}\right)\ln 10}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}}{ \left(x+\sqrt{x}\right)\ln 10}=\displaystyle\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}\right)\ln 10}\).

\(\bullet\,\) Với \(\alpha \) nguyên dương. Khi đó tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

\(\bullet\,\) Với \(\alpha \) nguyên âm hoặc \(\alpha = 0\). Khi đó tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

\(\bullet\,\) Với \(\alpha\) không nguyên \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

\(\bullet\,\) Bằng cách viết \(y=x^{\alpha}=\mathrm{\, e}^{\alpha \cdot \ln x}\), tính đạo hàm của hàm số đã cho.

\(y'=\left(\alpha \cdot \ln x\right)'\cdot \mathrm{\, e}^{\alpha \cdot \ln x}=\alpha \cdot\displaystyle\frac{1}{x}\cdot \mathrm{\, e}^{\alpha \cdot \ln x}=\displaystyle\frac{\alpha }{x}\cdot \mathrm{\, e}^{\alpha \cdot \ln x}=\displaystyle\frac{\alpha }{x}\cdot x^{\alpha}\).

\(f'(x)=\displaystyle\frac{(3x+1)'}{2\sqrt{3x+1}}=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}\).

\(f(1)=\sqrt{3\cdot 1+1}=2\).

\(f'(1)=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3\cdot 1+1}}=\displaystyle\frac{3}{4}\).

\(g(x)=2+4(x^2-1)\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)\).

Do đó \(g(2)=2+4(2^2-1)\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)=11\).

\(f'(x)=\displaystyle\frac{x-1-(x+1)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}\).

\(f''(x)=-\displaystyle\frac{-2\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}=\displaystyle\frac{4}{(x-1)^3}\).

Vì hàm số không xác định tại \(x=1\) nên không tồn tại \(f''(1)\).

\begin{eqnarray*}f'(x)=x^2f(x)&\Rightarrow & f''(x)=2x\cdot f(x)+x^2\cdot f'(x)=2x\cdot f(x)+x^2\cdot x^2\cdot f(x)\\&\Rightarrow & f''(1)=2\cdot 1\cdot f(1)+ f'(1)=2\cdot 2+1^4\cdot 2=6.\end{eqnarray*}

\(y'=3x^2+6x\).

\(y'(1)=9\).

\(y(1)=1^3+3\cdot 1^2-1=3\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3+3x^2-1\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\) là \(y-3=9\left(x-1\right)\Leftrightarrow y=9x-6\).

\(y=\displaystyle\frac{a}{x}\Rightarrow y'=-\displaystyle\frac{a}{x^2}\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M(x_0;y_0)\) là

\(y=-\displaystyle\frac{a}{x_0^2}(x-x_0)+\displaystyle\frac{a}{x_0}\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{ax}{x_0^2}+\displaystyle\frac{2a}{x_0}\).

Suy ra diện tích tam giác \(OAB\) là

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\bigg | \displaystyle\frac{2a}{x_0}\bigg|\cdot \mid 2x_0\mid=2a^2\) (không đổi).

\(\bullet\,\) Với hàm số a, ta có \(a\) có thể nhận giá trị âm hoặc dương (thể hiện tăng tốc hay giảm tốc ) tuỳ thuộc vào thời gian \(t\). Do đó \(a\) là hàm số biểu thị gia tốc của xe ô tô.

\(\bullet\,\) Với hàm \(b\), ta quan sát thấy \(b\) luôn nhận giá trị dương và có thời điểm \(b\) tăng có thời điểm \(b\) giảm do đó \(b\) là hàm số biểu thị vận tốc.

\(\bullet\,\) Với hàm số \(c\), ta quan sát thấy đồ thị hàm số luôn nhận giá trị dương và luôn đi lên theo thời gian \(t\), do đó \(c\) là hàm số biểu thị quãng đường.

\(s=f(t)=t^3-6t^2+9t\Rightarrow v(t)=f'(t)=3t^2-12t+9\Rightarrow a(t)=f''(t)=6t-12\).

\(\bullet\,\) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t=2\) giây là

\(v(2)=f'(2)=3\cdot 2^2-12\cdot 2+9=-3 \, \text{(m/s})\).

Vận tốc của vật tại thời điểm \(t=4\) giây là \(v(4)=f'(4)=3\cdot 4^2-12\cdot 4+9=9\, \text{(m/s})\).

\(\bullet\,\) Vật đứng yên khi \(v(t)=0\Leftrightarrow 3t^2-12t+9=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t=1\\&t=2.\end{aligned}\right.\)

\(\bullet\,\) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t=4\) giây là \(a(4)=6\cdot 4-12=12 \, \text{(m/s}^2)\).

\(\bullet\,\) Tổng quãng đường vật đi được trong \(5\) giây đầu tiên là

\(|s(1)-s(0)|+|s(3)-s(1)|+|s(5)-s(3)|\) \(=4+4+20=28\) (m)

\(\bullet\,\) Trong \(5\) giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?

+ Để biết khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc ta cần xét dấu gia tốc.

+ Ta có \(a(t)>0\Leftrightarrow t>2\) và \(a(t)<0\Leftrightarrow t<2\).

+ Vậy vật giảm tốc trong \(2\) giây đầu tiên rồi sau đó tăng tốc.

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\left(x^2+2 x\right)'\left(x^3-3 x\right)+\left(x^2+2 x\right)\left(x^3-3 x\right)'\\&=&\left(2x+2\right)\left(x^3-3 x\right)+\left(x^2+2 x\right)\left(3x^2-3\right)\\&=&5x^4+8x^3-9x^2-12x.\end{eqnarray*}

Vậy \(y'=5x^4+8x^3-9x^2-12x\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\displaystyle\frac{-(-2x+5)'}{(-2x+5)^2}\\&=&\displaystyle\frac{2}{(-2x+5)^2}.\end{eqnarray*}

Vậy \(y'=\displaystyle\frac{2}{(-2x+5)^2}\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\displaystyle\frac{(4x+5)'}{2\sqrt{4x+5}}\\&=&\displaystyle\frac{2}{\sqrt{4x+5}}.\end{eqnarray*}

Vậy \(y'=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{4x+5}}\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\left( \sin x\right)' \cdot \cos x + \sin x \cdot \left( \cos x\right) '\\&=& \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \left( -\sin x \right) \\&=&\cos2x.\end{eqnarray*}

Vậy \(y'=\cos2x\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\left( x\right)' \cdot \mathrm{e}^x + x \cdot \left( \mathrm{e}^x\right) '\\&=& \mathrm{e}^x + x \cdot \mathrm{e}^x \\&=&\left( 1+x\right) \mathrm{e}^x.\end{eqnarray*}

Vậy \(y'=\left( 1+x\right) \mathrm{e}^x.\)

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&2\cdot \ln x \cdot \left(\ln x \right)' \\&=& \displaystyle\frac{2 \ln x}{x}.\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&2 (x^4)'-3 (x^3)'+5 (x^2)' \\&=&8x^3-9x^2+10 x. \\y''&=& 8(x^3)'-9(x^2)'+10( x)'.\\&=& 24x^2-18x+10.\end{eqnarray*}

Vậy \(y''=24x^2-18x+10.\)

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\displaystyle\frac{-2\left( 3-x\right)' }{(3-x)^2} \\&=&\displaystyle\frac{2}{(3-x)^2}\\y''&=& \displaystyle\frac{-2\left((3-x)^2 \right)'}{(3-x)^4}.\\&=& \displaystyle\frac{4}{(3-x)^3}.\end{eqnarray*}

Vậy \(y''=\displaystyle\frac{4}{(3-x)^3}.\)

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\left( \sin 2 x \right)'\cos x +\sin 2 x \left( \cos x\right)' \\&=&2 \cos 2x \cos x- \sin 2x \sin x.\\y''&=&2\left[\left( \cos 2x\right) ' \cos x+\cos 2x \left( \cos x\right) '\right]- \left[\left( \sin 2x\right)'\sin x+\sin 2x \left( \sin x\right) '\right]\\&=&2\left[-2\sin 2x \cos x-\cos 2x \sin x \right]- \left[2\cos 2x\sin x+\sin 2x \cos x \right]\\&=&-5\sin 2x \cos x- 4\cos 2x\sin x.\end{eqnarray*}

Vậy \(y''=-5\sin 2x \cos x- 4\cos 2x\sin x.\)

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&(-2 x+3)'\mathrm{e}^{-2 x+3}\\&=&-2 \mathrm{e}^{-2 x+3}\\y''&=&(-2)(-2 x+3)'\mathrm{e}^{-2 x+3}\\&=& 4 \mathrm{e}^{-2 x+3}.\end{eqnarray*}

Vậy \(y''=4 \mathrm{e}^{-2 x+3}.\)

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\displaystyle\frac{(x+1)'}{x+1}\\&=&\displaystyle\frac{1}{x+1}.\\y''&=&\displaystyle\frac{-(x+1)'}{(x+1)^2}\\&=& \displaystyle\frac{-1}{(x+1)^2}.\end{eqnarray*}

Vậy \(y''=\displaystyle\frac{-1}{(x+1)^2}.\)

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\displaystyle\frac{\left(e^x+1\right)'}{e^x+1}\\&=&\displaystyle\frac{e^x}{e^x+1}=1-\displaystyle\frac{1}{e^x+1}.\\y''&=&\displaystyle\frac{(e^x+1)'}{(e^x+1)^2}\\&=& \displaystyle\frac{e^x}{(e^x+1)^2}.\end{eqnarray*}

Vậy \(y''=\displaystyle\frac{e^x}{(e^x+1)^2}.\)

Ta có gia tốc tức thời là \(a = \left( v(t)\right)'=2t+2\).

\(\bullet\,\) Tại thời điểm \(t=3 (\mathrm{s})\) ta được gia tốc tức thời là \(a = \left( v(t)\right)'=2\cdot3+2=8 (\mathrm{m}/\mathrm{s^2}).\)

\(\bullet\,\) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng \(8 \left( \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \) tức là \(2 t+t^2\Leftrightarrow t= 2, t>0.\)

Khi đó gia tốc \(a = \left( v(t)\right)'=2t+2=2\cdot2+2=6 (\mathrm{m}/\mathrm{s^2})\).

\(\bullet\,\) Vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t(\mathrm{~s})\) là

\begin{eqnarray*}v&=&x'=-4\pi \sin \left( \pi t-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right) \\a &=&v'=-4\pi^2 \cos \left( \pi t-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right).\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) Thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng \(0\) là

\begin{eqnarray*}v&=&x'=-4\pi \sin \left( \pi t-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right)=0 \\&\Leftrightarrow&\sin \left( \pi t-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right)=0 \\&\Leftrightarrow&t=\displaystyle\frac{2}{3} +k (\mathrm{s}), \,(\text{với}\, k \in \mathbb{N}).\end{eqnarray*}