ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 6

\(\bullet\,\) Biết \(4^\alpha+4^{-\alpha}=5\)

\(\begin{aligned}&4^\alpha+4^{-\alpha}\\ &= \left(2^\alpha\right)^2+\left(2^{-\alpha}\right)^2\\ &=\left(2^\alpha\right)^2+\left(2^{-\alpha}\right)^2+2\cdot2^\alpha\cdot2^{-\alpha}-2\cdot2^\alpha\cdot2^{-\alpha}\\ &=\left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2-2\\ \Rightarrow \left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2 &= 7 \Rightarrow 2^\alpha+2^{-\alpha} &= \sqrt{7}.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Ta có:

\(\begin{aligned}4^{2\alpha}+4^{-2\alpha} &=\left(4^\alpha\right)^2+\left(4^{-\alpha}\right)^2\\ &=\left(4^\alpha+4^{-\alpha}\right)^2-2\\ &=5^2-2=23.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Ta có:

\(\begin{aligned}&\log_272-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\log_23+\log_227\right)\\ &=\log_272-\displaystyle\frac{1}{2}\log_281\\ &=\log_272-\log_29\\ &=\log_2\displaystyle\frac{72}{9}\\ &=\log_28\\ &=\log_22^3\\&=3.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Ta có:

\(\begin{aligned}5^{\log_240-\log_25}&=5^{\log_28}\\ &=5^{\log_22^3}\\ &=5^3\\ &=125.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Ta có:

\(\begin{aligned}3^{2+\log_92} &=3^2\cdot3^{\log_92}\\ &=9\cdot3^{\tfrac{1}{2}\log_32}\\ &=9\cdot3^{\log_3\sqrt{2}}\\ &=9\sqrt{2}.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\left\{\begin{aligned}&5^x=3\\ &3^y=5\\ \end{aligned}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\log_53\\ &y=\log_35\end{aligned}\right.\)

Do đó \(xy=\log_53\log_35=\log_55=1\).

Cách 1.

\(\begin{aligned}&2\log_2y=2+\tfrac{1}{2}\log_2x\\ \Leftrightarrow\ & \log_2y^2=2+\log_2\sqrt{x}\\ \Leftrightarrow\ & y^2=2^{2+\log_2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow\ & y^2=2^2\cdot2^{\log_2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow\ & y^2=4\sqrt{x}\\ \Leftrightarrow\ & y=2\sqrt[4]{x}.\end{aligned}\)

Cách 2. (sửa đổi theo tình huống)

\(\begin{aligned}&2\log_2y=2+\tfrac{1}{2}\log_2x\\ \Leftrightarrow\ & \log_2y^2=2+\log_2\sqrt{x}\\ \Leftrightarrow\ & y^2=2^{2+\log_2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow\ & y^2=2^2\cdot2^{\log_2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow\ & y^2=4\sqrt{x}\\ \Leftrightarrow\ & y=2\sqrt[4]{x}.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Ta có

\(\begin{aligned}& \left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^{x-2}=\sqrt{8}\\ \Leftrightarrow\ & 2^{2(2-x)}=2^{\tfrac{3}{2}}\\\Leftrightarrow\ & 4-2x=\displaystyle\frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow\ & 4x=5\\ \Leftrightarrow\ & x=\displaystyle\frac{5}{4}.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Ta có

\(\begin{aligned}& 9^{2x-1}=81\cdot27^x\\ \Leftrightarrow\ & 3^{4x-2}=81\cdot3^{3x}\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{3^{4x-2}}{3^{3x}}=3^4\\ \Leftrightarrow\ & 3^{x-2}=3^4\\ \Leftrightarrow\ & x-2=4\\ \Leftrightarrow\ & x=6.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Điều kiện \(x-2>0 \Leftrightarrow x>2\)

\(\begin{aligned}& 2\log_5(x-2)=\log_59\\ \Leftrightarrow\ & 2\log_5(x-2)=2\log_53\\ \Leftrightarrow\ & x-2=3\\ \Leftrightarrow\ & x=5. \text{ (thoả điều kiện)}\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Điều kiện \( \left\{\begin{aligned}&3x+1>0\\ &x-1>0\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow x>1\).

\(\begin{aligned}& \log_2(3x+1)=2-\log_2(x-1)\\\Leftrightarrow\ & \log_2(3x+1)+\log_2(x-1)=2\\ \Leftrightarrow\ & \log_2(3x+1)(x-1)=2\\\Leftrightarrow\ & (3x+1)(x-1)=4\\ \Leftrightarrow\ & 3x^2-2x-5=0\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned} &x=1 \text{ (loại)}\\ &x=\displaystyle\frac{5}{3} \text{ (thoả)}\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy \(x=\displaystyle\frac{5}{3}.\)

\(\bullet\,\) Ta có

\(\begin{aligned}&\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{x+1}>\displaystyle\frac{1}{81}\\ \Leftrightarrow\ & \left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^{x+1}>\left(\displaystyle\frac{1}{9}\right)^2\\ \Leftrightarrow\ & x+1<2\\ \Leftrightarrow\ & x<1.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Ta có

\(\begin{aligned}& \left(\sqrt[4]{3}\right)^x\le 27\cdot3^x\\ \Leftrightarrow\ & \left(3^{\tfrac{1}{4}}\right)^x\le 3^3\cdot3^x\\\Leftrightarrow\ & 3^{\tfrac{x}{4}}\le 3^{x+3}\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{x}{4}\le x+3\\ \Leftrightarrow\ &3x\ge-12\\\Leftrightarrow\ & x\ge-4.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Điều kiện \( \left\{\begin{aligned}& x+1>0\\& 2-4x>0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow -1<x<\displaystyle\frac{1}{2}.\)

\(\begin{aligned}& \log_2(x+1)\le \log_2(2-4x)\\ \Leftrightarrow\ & x+1\le 2-4x\\ \Leftrightarrow\ &5x\le 1\\ \Leftrightarrow\ &x\le \displaystyle\frac{1}{5} \text{ (thoả)}.\end{aligned}\)

Tập nghiệm \(S=\left(-1;\displaystyle\frac{1}{5}\right]\).

\(\bullet\,\) Theo đề ta có \(P(0)=1000\) và \(P(2)=1000+25\%\cdot 1000=1250\).

Từ \(P(0)=1000\) suy ra \(P_0\cdot a^0=1000 \Rightarrow P_0=1000\).

Từ \(P(2)=1250\) suy ra \(P_0\cdot a^2=1250\) \(\Rightarrow a^2=\displaystyle\frac{5}{4}\) \(\Rightarrow a= \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12\).

Vậy \(P(t)=1000\cdot \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^t\).

\(\bullet\,\) Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn là

\(P(5)=1000\cdot \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^5\approx 1700.\)

\(\bullet\,\) \(P(t)=1000\cdot \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^t=2\cdot 1000\) \(\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^t=2 \Rightarrow t\approx 6{,}2\).

Vậy sau \(6{,}2\) ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.

Ta có \(\rm pH=-\log\left[H^+\right] \Rightarrow \left[H^+\right]=10^{-pH}\)

\(\bullet\,\) Dung dịch \(\rm A\) có \(\rm pH=1{,}9 \Rightarrow \left[H^+\right]_A=10^{-1{,}9} \) \(\rm mol/L\).

Dung dịch \(\rm B\) có \(\rm pH=2{,}5 \Rightarrow \left[H^+\right]_B=10^{-2{,}5} \) \(\rm mol/L\).

Dung dịch \(\rm A\) có độ acid cao hơn dung dịch \(\rm B\).

Tỉ số \(\displaystyle\frac{10^{-1{,}9}}{10^{-2{,}5}}\approx 3{,}98\approx 4\) lần.

\(\bullet\,\) Nước chảy ra từ vòi có \(\rm pH=6{,}5\to 6{,}7\) \(\rm\Rightarrow \left[H^+\right]_{\text{nước vòi}}=10^{-6{,}7}\to 10^{-6{,}5}\) \(\rm mol/L\)

Nước cất có \(\rm \left[H^+\right]=10^{-7}\) \(\rm mol/L\).

Do đó nước vòi có độ acid cao hơn nước cất.

Ta có

\begin{align*}B&=\log _a\left(\displaystyle\frac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right)+a^{2 \log _a} \displaystyle\frac{\sqrt{105}}{30} \\&=\log _a\left(a^3 \cdot \sqrt[3]{a}\right)+\displaystyle\frac{105}{900}=\log _a\left(a^{\tfrac{10}{3}}\right)+\displaystyle\frac{7}{60}=\displaystyle\frac{10}{3}+\displaystyle\frac{7}{60}=\displaystyle\frac{69}{20}.\end{align*}

\(\bullet\,\) Ta có \(3^{1-2 x}=4^x\Leftrightarrow 3=36^x\Leftrightarrow x=\log_{36}3\);

\(\bullet\,\) Điều kiện: \(x>-1\).

Ta có

\(\begin{aligned}&\log_3(x+1)+\log_3(x+4)=2\\ \Leftrightarrow\ &\log_3[(x+1)(x+4)]=2\\ \Leftrightarrow\ &(x+1)(x+4)=9\\ \Leftrightarrow\ &x^2+5x-5=0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}x&=\displaystyle\frac{-5+3\sqrt 5}2\\ x&=\displaystyle\frac{-5-3\sqrt 5}2\text{ (loại)}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\displaystyle\frac{-5+3\sqrt 5}2\).

\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\sqrt{4^x-2^{x+1}}\) xác định khi và chỉ khi \(4^x-2^{x+1}\ge0\Leftrightarrow 2^x-2\ge0\Leftrightarrow x\ge1\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = [1;+\infty)\).

\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\ln (1-\ln x)\) xác định khi và chỉ khi \(1-\ln x>0\Leftrightarrow \ln x<1\Leftrightarrow 0<x<\mathrm{e}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = (0;\mathrm{e} )\).

\(\bullet\,\) Tỉ lệ lạm phát là \(8 \%\) một năm thì sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại là \(A=100\cdot\left(1-\displaystyle\frac{8}{100}\right)^2=\displaystyle\frac{2116}{25}=84{,}65\) (triệu đồng).

\(\bullet\,\) Sức mua của \(100\) triệu đồng sau hai năm chỉ còn là \(90\) triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình \(r \%\) của hai năm đó là

\begin{align*}90=100\cdot\left(1-\displaystyle\frac{r}{100}\right)^2 &\Leftrightarrow \left(1-\displaystyle\frac{r}{100}\right)^2=\displaystyle\frac{9}{10} \\&\Leftrightarrow 1-\displaystyle\frac{r}{100}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}} \Leftrightarrow\displaystyle\frac{r}{100}=1-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}} \\& \Leftrightarrow r\approx 5{,}13\%.\end{align*}

\(\bullet\,\) Tỉ lệ lạm phát là \(5 \%\) một năm, gọi \(n\) là số năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa. Khi đó

\begin{align*}P=2P\cdot\left(1-\displaystyle\frac{5}{100}\right)^n &\Leftrightarrow \left(1-\displaystyle\frac{1}{20}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{2} \\&\Leftrightarrow \left (\displaystyle\frac{19}{20}\right )^n=\displaystyle\frac{1}{2}\\&\Leftrightarrow n \approx 13{,}51 \text{ năm}.\end{align*}

Ban đầu có \(500\) con vi khuẩn và sau \(1\) giờ tăng lên \(800\) con nên tỷ lệ tăng trưởng vi khuẩn trong mỗi giờ là: \(800=500 \mathrm{e}^r\Leftrightarrow \mathrm{e}^r=\displaystyle\frac{8}{5}\Leftrightarrow r=\ln\displaystyle\frac{8}{5} .\)

\(\bullet\,\) Sau \(5\) giờ thì số lượng vi khuẩn là \(N(t)=500 \mathrm{e}^{5\ln\tfrac{8}{5}}=\displaystyle\frac{131072}{25}=5242 \text{ con}\).

\(\bullet\,\) Gọi \(t\) là số giờ mà số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi.

Khi đó

\(2N_0=N_0\mathrm{e}^{t\ln\tfrac{8}{5}}\) \(\Leftrightarrow \left (\displaystyle\frac{8}{5}\right )^t=2\Leftrightarrow t \approx 1{,}5 \text{ giờ}.\)

\(\bullet\,\) Công thức tìm chữ số \(d\) nếu cho trước xác suất \(P\) là \(P=\log \displaystyle\frac{d+1}{d}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{d}=10^P-1\) \(\Leftrightarrow d=\displaystyle\frac{1}{10^P-1}.\)

\(\bullet\,\) Thay vào công thức \(d=\displaystyle\frac 1{10^P-1}\), ta có chữ số có xác suất bằng \(9{,}7 \%\) được chọn là \(d=\displaystyle\frac 1{10^P-1}=4.\)

\(\bullet\,\) Thay vào công thức, ta có xác suất cần tìm là \(P=\log \displaystyle\frac{1+1}{1} \approx 30{,}1\%\).

\(\bullet\,\) \(A=\sqrt[3]{5 \sqrt{\displaystyle\frac{1}{5}}}=\left(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\) \(=\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}\).

\(\bullet\,\) \( B=\displaystyle\frac{2^2\cdot 2^{\frac{1}{3}}}{\left(2^2\right)^{\frac{1}{3}}}=2^{2+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}}\) \(=2^{\frac{5}{3}}=(\sqrt{2})^{\frac{10}{3}}=a^{\frac{10}{3}} \).

\(\bullet\,\) \(A=\displaystyle\frac{x^{\frac{5}{4}} \cdot y+x \cdot y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}\) \(=\displaystyle\frac{xy\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}=xy\).

\(\bullet\,\) \( B=\left(\sqrt[7]{\displaystyle\frac{x}{y} \sqrt[5]{\displaystyle\frac{y}{x}}}\right)^{\frac{35}{4}}\) \(=\left(\left(\displaystyle\frac{x}{y} \cdot \left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{5}}\right)^{\frac{1}{7}}\right)^{\frac{35}{4}}\) \(=\left(\left(\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)^{\frac{4}{5}}\right)^{\frac{1}{7}}\right)^{\frac{35}{4}} \) \(=\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)^{\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{35}{4}}=\displaystyle\frac{x}{y} \).

\(\bullet\,\) Điều kiện: \( 2^x-3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \log_2 3 \).

Vậy TXĐ là \( \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{\log_2 3\} \).

\(\bullet\,\) Điều kiện: \( 25-5^x \ge 0 \Leftrightarrow 5^x \le 25 \Leftrightarrow x \le 2 \).

Vậy TXĐ là \( \mathscr{D}=(-\infty;2] \).

\(\bullet\,\) Điều kiện: \( \begin{cases}1 -\ln x \neq 0\\x>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\ln x \neq 1 \\x>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \neq \mathrm{e} \\x>0.\end{cases}\)

Vậy TXĐ là \( \mathscr{D}=(0;+\infty)\setminus\{\mathrm{e}\} \).

\(\bullet\,\) Điều kiện: \(\begin{cases}x>0\\ 1-\log_3 x \ge 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x>0 \\ \log_3 x \le 1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x \le 3.\end{cases}\)

Vậy TXĐ là \( \mathscr{D}=(0;3] \).

\(\bullet\,\) \( a^6=\left(a^{\frac{3}{5}}\right)^{10}=b^{10} \).

\(\bullet\,\) \( a^3b=\left(a^{\frac{3}{5}}\right)^5\cdot b=b^5 \cdot b = b^6 \).

\(\bullet\,\) \( \displaystyle\frac{a^9}{b^9}=\displaystyle\frac{\left(a^{\frac{3}{5}}\right)^{15}}{b^9}\) \(=\displaystyle\frac{b^{15}}{b^9}=b^6 \). \((b \neq 0)\)

\(\bullet\,\) \( \log_a b=\log_a a^{\frac{3}{5}}=\displaystyle\frac{3}{5} \).

\(\bullet\,\) \( \log _a\left(a^2 b^5\right)=\log _a\left(a^2 a^3\right) = \log_a a^5 =5 \).

\(\bullet\,\) \(\log _{\sqrt[3]{a}}\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)= \log _{a^{\frac{1}{3}}}\left(\displaystyle\frac{a}{a^{\frac{3}{5}}}\right)\) \(= \log _{a}\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^3=\log_a a^{\frac{6}{5}}=\displaystyle\frac{6}{5}\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}& & 3^{x^2-4x+5}=9\\&\Leftrightarrow & x^2-4x+5=2\\&\Leftrightarrow & x^2-4x+3=0\\&\Leftrightarrow & x=1 \text{ hay } x=3.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{1;3\}\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}& & 0{,}5^{2x-4}=4\\&\Leftrightarrow & 0{,}5^{2x-4}=0{,}5^{-2}\\&\Leftrightarrow & 2x-4=-2\\&\Leftrightarrow & x=1.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{1\}\).

\(\bullet\,\) Điều kiện \(x> \displaystyle\frac{1}{2}\).

\begin{eqnarray*}& & \log_3 (2x-1)=3\\&\Leftrightarrow & 2x-1=27\\&\Leftrightarrow & x=14.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{14\}\).

\(\bullet\,\) Điều kiện \(x>3\)

\begin{eqnarray*}& & \log x+\log (x-3)=1\\&\Leftrightarrow & \log x(x-3)=1\\&\Leftrightarrow & x^2-3x=10\\&\Leftrightarrow & x=5\ \text{(nhận)} \text{ hay } x=-2\ \text{(loại)}.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{5\}\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}& & 5^x<0{,}125\\&\Leftrightarrow & x< \log_5 0{,}125.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-\infty;\log_5 0{,}125)\).

\(\bullet\,\) Ta có

\begin{eqnarray*}& & \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\geq 3\\&\Leftrightarrow & 2x+1 \leq \log_{\frac{1}{3}} 3\\&\Leftrightarrow & x \leq -1.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(0;-1]\)

\(\bullet\,\) Điều kiện \(x>0\).

Vì cơ số \(0{,}3<1\) nên \(0<x< 0{,}3^0 \Leftrightarrow 0<x<1\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(0<x<1\).

\(\bullet\,\) Điều kiện \(x>\displaystyle\frac{3}{2}\).

Vì cơ số lớn hơn \(1\) nên \(x+4> 2x-3 \Leftrightarrow x<7\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle\frac{3}{2}<x<7\).

\(\bullet\,\) Với \(M=5\) độ Richter ta có \(\log E\approx 11{,}4+1{,}5\cdot 5 \Leftrightarrow E\approx7{,}94\cdot 10^{18}\).

\(\bullet\,\) Ta có \(\log \displaystyle\frac{E_8}{E_5}=\log E_8-\log E_5\approx 11{,}4+1{,}5\cdot 8-(11{,}4+1{,}5\cdot 5)=4{,}5\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{E_8}{E_5}=10^{4{,}5}\).

Vậy năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(8\) độ Richter gấp khoảng \(10^{4{,}5}\approx31623\) lần năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở \(5\) độ Richter.

Ta có

\begin{eqnarray*}& & \displaystyle\frac{H}{H_0}=\mathrm{e}^{-\lambda t}=0{,}86\\&\Leftrightarrow & -\lambda t=\ln 0{,}86\\&\Leftrightarrow & t =\ln 0{,}86: (-\lambda)\\&\Leftrightarrow & t =\ln 0{,}86: (-\displaystyle\frac{\ln 2 }{5730})\\&\Leftrightarrow & t \approx 1247\ \text{(năm)}.\end{eqnarray*}