Bài 6. ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Ta có \(J \in CD \subset (CID) \Rightarrow J \in (CID)\).

Vậy bốn điểm \(I\), \(J\), \(C\), \(D\) đồng phẳng.

Ta có \(S \in (SAC)\cap (SBD)\).

Mặt khác, \(\begin{cases}M=AC \cap BD \\ AC\subset (SAC)\\ BD \subset (SBD)\end{cases} \Rightarrow M \in (SAC) \cap (SBD)\).

Suy ra \((SAC) \cap (SBD)=SM\).

+ Ta có, \(IJ\) là đường trung bình tam giác \(SAB\) nên \(IJ \parallel AB\).

+ \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB \parallel CD\). Mà \(IJ \parallel AB\).

Suy ra, \(IJ \parallel CD\).

+ \(EF\) là đường trung bình tam giác \(SCD\) nên \(EF \parallel CD\).

Suy ra \(IJ \parallel EF\).

Ta thấy \(S\) là điểm chung thứ nhất.

Hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) có \(AB \parallel CD\).

Vậy giao tuyến là đường thẳng qua \(S\) và song song \(AB\).

+ Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(SB\) tại \(N\).

+ Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(SD\) tại \(Q\).

+ Qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SC\) tại \(P\).

Ta có

\(\begin{cases}MN \parallel AB \Rightarrow MN \parallel (ABCD)\\ NP \parallel BC \Rightarrow NP \parallel (ABCD)\end{cases}\) \(\Rightarrow (MNPQ) \parallel (ABCD).\)

Ta có tỉ lệ diện tích

\(\displaystyle\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}=\left(\displaystyle\frac{MN}{AB}\right)^2=\left(\displaystyle\frac{SM}{SA}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{9}\).

Suy ra

\(S_{ABCD}=10\cdot 10 =100\) \(\Leftrightarrow S_{MNPQ}=100 \cdot \displaystyle\frac{4}{9}=\displaystyle\frac{400}{9}\).

+ VÌ \(M\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\), \(BC\).

+ Suy ra \(MQ\) là đường trung bình của \(\triangle ABC \Rightarrow MQ \parallel AB\).

+ Tương tự, ta cũng có \(MP \parallel AA'\).

Vậy \((MPQ) \parallel (ABA')\).

+ Qua \(O\) dựng đường thẳng song song với \(MN\) cắt \(CD\) và \(C'D'\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\).

+ Khi đó, \((MNO) \cap (ABCD)=MP\); \((MNO) \cap (CDD'C')=PQ\); \((MNO) \cap (A'B'C'D')=NQ\); \((MNO)\cap (AA'B'B)=MN\).

+ Thiết diện của mặt phẳng \(MNO\) với hình hộp là hình bình hành \(MNPQ\).

a. Do \((\alpha)\) đi qua \(M\) và song song với \((SAD)\) nên cắt các mặt của hình chóp bằng các giao tuyến đi qua \(M\) và song song với \((SAD)\).

Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi và tam giác \(SAD\) đều.

Nên thiết diện thu được là hình thang cân \(MNPQ\) \((MN \parallel PQ\); \(MQ=PN)\).

b. Ta có \(MN=a\), \(\displaystyle\frac{PQ}{BC}=\displaystyle\frac{SQ}{SB}=\displaystyle\frac{MA}{AB}=\displaystyle\frac{x}{a} \Rightarrow PQ=x\); \(MQ=a-x\).

Đường cao \(QH\) của hình thang cân bằng

\(QH=\sqrt{MQ^2-\left(\displaystyle\frac{MN-PQ}{2}\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(a-x)\).

Khi đó, diện tích hình thang cân là \(S=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\left(a^2-x^2\right)\).

a. Ta có \(MN \parallel AC\) và \(AM \parallel CN\) nên tứ giác \(MNCA\) là hình bình hành.

b. Ta có \(C \in (\alpha)\) và \(C \in (MNCA)\) vậy \(C\) thuộc giao tuyến của \(2\) mặt phẳng \((\alpha)\) và \((MNCA)\).

a. Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có \(AO\) là trung tuyến và \(\displaystyle\frac{AM}{AO}=\displaystyle\frac{2AM}{AC}=\displaystyle\frac{2}{3}\).

Suy ra \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\), tương tự \(N\) là trọng tâm tam giác \(ABE\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M\), \(N\) lần lượt trên \(DI\) và \(EI\).

Trong tam giác \(IDE\) ta có

\(\displaystyle\frac{IM}{ID}=\displaystyle\frac{IN}{IE}=\displaystyle\frac{1}{3}\) nên \(MN \parallel DE\) và \(MN=\displaystyle\frac{1}{3} DE\).

b. Trong tam giác \(FAB\) có

\(NN_1 \parallel AB \Rightarrow \displaystyle\frac{AN_1}{AF}=\displaystyle\frac{BN}{BF}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Trong tam giác \(DAB\) có

\(MM_1 \parallel AB \Rightarrow \displaystyle\frac{AM_1}{AD}=\displaystyle\frac{DM}{DI}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Do đó \(\displaystyle\frac{AN_1}{AF}=\displaystyle\frac{AM_1}{AD}\) nên \(M_1N_1 \parallel DF\).

Mà \(DF \subset(DEF)\) suy ra \(M_1N_1 \parallel (DEF)\).

c. Ta có \(M_1N_1 \parallel DF\), \(NN_1 \parallel EF\).

Mà \(M_1N_1\) và \(NN_1\) cắt nhau và nằm trong mặt phẳng \(\left(MNN_1M_1\right)\), còn \(DF\) và \(EF\) cắt nhau và nằm trong mặt phẳng \((DEF)\).

Vậy \(\left(MNN_1M_1\right) \parallel (DEF)\).