ÔN TẬP CHƯƠNG 2

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{2n+1}{n+2}=\displaystyle\frac{2n+4-3}{n+2}=2-\displaystyle\frac3{n+2}\).

Do \(n\in\mathbb{N}^*\) nên \(n\ge1\). Từ đó ta có

\(\begin{align*}&n+2\ge3\Rightarrow0<\displaystyle\frac{3}{n+2}\le1\cr\Leftrightarrow\ &-1\leq -\displaystyle\frac3{n+2}<0\Rightarrow 1\leq u_n<2.\end{align*}\)

Vậy, \((u_n)\) bị chặn.

a. Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}5u_1+10u_5 =0\\ S_4=14\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}5u_1+10u_1+40d=0\\ 4u_1+6d =14\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}15u_1+40d =0\\ 4u_1+6d=14\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=8\\ d=-3.\end{cases}\end{aligned}\)

Vậy \(u_1=8\); \(d=-3\).

b. Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}2u_1+20d=60\\ (u_1+3d)^2+(u_1+11d)^2=1170\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=30-10d\\ (30-7d)^2+(30+7d)^2=1170\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=30-7d\\ 5d^2-36d+63=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=0\\ d=3\end{cases} \text{hoặc} \begin{cases}u_1=36\\ d=-\displaystyle\frac{3}{5}. \end{cases} \end{aligned}\)

a. Ta có

\(\begin{cases}u_5=96\\u_6=192\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}q=\displaystyle\frac{u_6}{u_5}=2\\192=u_1q^5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}q=2\\u_1=\displaystyle\frac{192}{32}=6.\end{cases}\)

b. Theo bài ra, ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_4-u_2=72\\ u_5-u_3=144\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1\cdot q^3-u_1\cdot q=72\\ u_1\cdot q^4-u_1\cdot q^2=144\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1q(q^2-1)=72\\ u_1q^2(q^2-1)=144 \end{cases}\\ \Rightarrow\ &\begin{cases}q=\displaystyle\frac{144}{72}=2\\ u_1=12. \end{cases} \end{aligned}\)

Tỉ suất tăng dân số tự nhiên \(=\) (tỉ lệ sinh) \(+\) (tỉ lệ nhập cư) \(-\) (tỉ lệ tử) \(+\) (tỉ lệ xuất cư).

Sau một năm số lượng cá thể của quần thể là \(11000 \cdot \left[1+ (12\% - 8\% -2\%)\right]=11220\) cá thể.

Theo đề ta có

\(\begin{cases}u_1=400\\u_{13}=800\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=400\\u_1q^{12}=800\end{cases}\) \(\Rightarrow q^{12} = 2 \Rightarrow q = \pm 1{,}414\).

Dân số Việt Nam năm \(2040\) là \(97{,}6 \cdot (1+1{,}14\%)^{20}=122{,}4\) (triệu người).

Lúc \(1\) giờ đồng hồ đánh \(1\) tiếng chuông.

Lúc \(2\) giờ đồng hồ đánh \(2\) tiếng chuông.

\(\cdots\)

Lúc \(12\) giờ trưa đồng hồ đánh \(12\) tiếng chuông.

Do đó, từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

\(1+ 2+ 3+ \cdots + 11+ 12\).

Đây là tổng \(12\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1= 1\), công sai \(d = 1\).

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(12\) giờ trưa là \(\displaystyle\frac{12\cdot (1+12)}{2}=78\).

Lần phân chia thứ nhất, \(1\) tế bào thành \(2\) tế bào, số tế bào lần \(1\) phân chia là \(u_1 = 2\).

Lần phân chia thứ hai \(2\), số tế bào lần \(2\) phân chia là \(u_2=2\cdot 2 = u_1 \cdot 2\).

Lần phân chia thứ \(3\) có \(4\) tế bào phân chia, số tế bào lần \(3\) phân chia là \(u_3=2\cdot u_2\).

Như vậy một tế bào phân đôi sẽ tạo thành cấp số nhân có công bội là \(2\), số hạng đầu là \(u_1=2\).

Sau \(n\) lần phân chia từ một tế bào phân được thành \(u_n=2^{n-1}u_1\).

Đổi \(24\) giờ \(=24 \cdot 60 = 72 \cdot 20\) (phút) \(\Rightarrow 24\) giờ gấp \(72\) lần \(20\) phút.

Do đó, sau \(24\) giờ số tế bào nhận được là \(u_{72}=2^{71}\cdot 2 = 2^{72}\) (tế bào).

a. Giả sử \((u_n)\) là một cấp số cộng, có công sai \(d\).

Khi đó \(u_n=u_1+(n-1)d\).

Với \(k \geq 2\), ta có

\(u_{k-1}+u_{k+1} = u_1+(k-2)d+u_1+kd\) \(= 2u_1+2(k-1)d=2u_k\).

Vậy \(u_k=\displaystyle\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k \geq 2.\)

b. Giả sử \((u_n)\) là một cấp số nhân, có công bội \(q\).

Khi đó \(u_n=q^{n-1}u_1\).

Với \(k \geq 2\), ta có

\(u_{k-1}u_{k+1} = q^{k-2}u_1q^{k}u_1\) \(= q^{2k-2}u_1^2=(u_k)^2\).

Vậy \( u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 .\)

Giả sử cấp số cộng cần tìm là \(x,\,y, \, z\) . Theo tính chất của cấp số cộng ta có \(x+z=2y\).

Kết hợp giả thiết ta có \(x+y+z=21 \Rightarrow 3y=21 \Leftrightarrow y=7\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(x,\,y, \, z\) thì \(x=7-d\), \(z=7+d\).

Sau khi cộng thêm các số \(2\), \(3\), \(9\) vào ba số \(x\), \(y\), \(z\) ta được ba số \( x + 2\), \(y + 3\), \(z + 9\) hay \(9 - d\), \(10\), \(16 - d\).

Theo tính chất của cấp số nhân ta có

\((9-d)(16+d)=100\) \(\Leftrightarrow 144-7d-d^2=100\) \(\Leftrightarrow d^2+7d-44=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& d=4 \\ &d=-11.\end{aligned}\right.\)

Với \(d = 4\) ta được cấp số cộng \(3\), \(7\), \(11\).

Với \(d = -11\) ta được cấp số cộng \(18\), \(7\), \(-4\).

a. Mỗi bậc thang cao \(16\) cm = \(0{,}16\) m \(\Rightarrow n\) bậc thang cao \(0{,}16\cdot n\) (m).

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân \(0{,}5\) m nên công thức tính độ cao của bậc \(n\) so với mặt sân sẽ là \(h_n = (0{,} 5 + 0{,}16n)\) (m).

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với \(n = 25\) là

\(h_{25} = 0{,}5 + 0{,}16.25 = 4,5\) (m)

Lần phân chia thứ nhất, \(1\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh là \(u_1=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Lần phân chia thứ hai, \(8\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_2=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)\).

Lần phân chia thứ ba, \(8^2\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_3=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^2\).

Lần phân chia thứ tư, \(8^3\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_4=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^3\).

Lần phân chia thứ năm, \(8^4\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_5=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^4\).

Như vậy diện tích các hình vuông tăng thêm sau mỗi lần chia tạo thành cấp số nhân có công bội là \(q=\displaystyle\frac{8}{9}\), số hạng đầu là \(u_1=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Do đó, tổng diện tích hình vuông tô màu xanh sau \(5\) lần chia là

\(u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=\displaystyle\frac{1-q^5}{1-q}\cdot u_1\) \(=\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^5}{1-\displaystyle\frac{8}{9}}\cdot \displaystyle\frac{1}{9}\) \(=\displaystyle\frac{26281}{39366}.\)

a. \(u_n=\displaystyle\frac{n^2}{n+1}\);

Xét hiệu

\(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{(n+1)^2}{n+2}-\displaystyle\frac{n^2}{n+1}\) \(=\displaystyle\frac{(n^3+3n^2+3n+1)-(n^3+2n)}{(n+1)(n+2)}\) \(=\displaystyle\frac{3n^2+n+1}{(n+1)(n+2)}>0\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

Vì \(u_n=\displaystyle\frac{n^2}{n+1}>0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới bởi \(0\).

b. \(u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}\);

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}>0\) và

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{n^5}{(n+1)^5}<1\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.

\(1=u_1>u_n=\displaystyle\frac{2}{n^5}>0\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.

c. \(u_n=(-1)^n.n^2\).

Ta có \(u_1=-1\); \(u_2=4\); \(u_3=-9\);

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.

a. \(u_2+u_5=42\) và \(u_4+u_9=66\);

Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_2+u_5=42 \\ u_4+u_9=66\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}2u_1+5d=42 \\ 2u_1+11d=66\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1&=11 \\ d&=4.\end{cases}\end{aligned}\)

Vậy số hạng đầu \(u_1=11\), công sai \(d=4\)

b. \(u_2+u_4=22\) và \(u_1 . u_5=21\).

Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_2+u_4=22 \\ u_1 . u_5=21\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}2u_1+4d=22 \\ u_1.(u_1+4d)=21\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=11-2d \\ (11-2d).(11+2d)=21\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=11-2d \\ 4d^2=100\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\begin{cases}u_1=1 \\ d= 5\end{cases}\\ &\begin{cases}u_1=21 \\ d= -5.\end{cases}\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy có hai cấp số cộng thỏa mãn đề bài số hạng đầu \(u_1=1\), công sai \(d=5\); số hạng đầu \(u_1=21\), công sai \(d=-5\).

a. \(u_6=192\) và \(u_7=384\);

Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_6=192 \\ u_7=384\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1.q^5=192 \\ u_1.q^6=384\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=6\\ q=2\end{cases}\end{aligned}\).

Vậy số hạng đầu \(u_1=6\), công bội \(q=2\).

b. \(u_1+u_2+u_3=7\) và \(u_5-u_2=14\).

Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_1+u_2+u_3&=7 \\ u_5-u_2&=14\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1.(1+q+q^2)&=7 \\ u_1.q.(q^3-1)&=14\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1.(1+q+q^2)=7\\ q(q-1)=2\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1.(1+q+q^2)=7\\ q^2-q-2=0.\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned} &\begin{cases}u_1=1 \\ q=2\end{cases}\\ &\begin{cases}u_1&=7 \\ q&=-1\end{cases}\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy có hai cấp số nhân thỏa mãn đề bài số hạng đầu \(u_1=1\), công sai \(q=2\); số hạng đầu \(u_1=7\), công sai \(q=-1\).

Do bốn góc \(A,B,C,D\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên số đo \(4\) góc của tứ giác \(ABCD\) lần lượt là \(u_1,u_1+d,u_1+2d,u_1+3d\).

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_1+u_1+d+u_1+2d+u_1+3d=360 \\ u_1+2d=5u_1\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases}4u_1+6d=360 \\ -4u_1+2d=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=22,5 \\ d=45.\end{cases}\end{aligned}\)

Vậy số đo các góc của tứ giác lần lượt là

\(22,5^\circ; 67,5^\circ; 112,5^\circ; 157,5^\circ\).

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \(u_1=1\) và công sai \(d=1\).

Theo giả thiết ta có:

\(S_n=4950\) \(\Leftrightarrow n+\displaystyle\frac{(n-1)n}{2} =4950 \) \(\Leftrightarrow n^2 +n -4950=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&n=-99 (L)\\ &n=100.\end{aligned}\right.\)

Vậy có \(100\) hàng cây được trồng.

Do diện tích của mặt sàn tính từ tầng một lập thành một cấp số nhân với \(u_2=\displaystyle\frac{1}{2}.12288=6144\) và \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có

\(\begin{cases}u_2=6144 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases} \) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=12288 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\).

Ta có

\(u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\displaystyle\frac{1}{12^{10}}=12m^2\).

Vậy diện tích của mặt sàn tầng trên cùng là \(12m^2\).

Nhiệt độ sau mỗi giờ của khay nước theo thứ tự lập thành cấp số nhân với \(u_1=23\) và \(q=(1-20\%)\).

Ta có \(u_6=u_1.q^5=23.(1-20\%)^5 \approx 7,5\).

Nhiệt độ của khay nước sau \(6\) giờ là \( \approx 7,5^\circ \).

Gọi cạnh một hình vuông thứ \(n\), \(n+1\) lần lượt là \(a_n, a_{n+1}\).

Do

\(MN=\sqrt{MB^2+BN^2}\) \(=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{AB}{4}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{3AB}{4}\right)^2 }\) \(=AB.\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Nên ta có cạnh hình vuông thứ \(n+1\) là:

\(a_{n+1}=a_n.\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Vậy dãy số \(\left(a_n\right)\) là cấp số nhân.

Do lãi suất là \(12\%\)/năm tương đương với lãi là \(1\%\)/tháng.

Sau \(1\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1+1\%)-a=10^9\cdot(1,01)-S_1\).

Sau \(2\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^2-a\cdot(1.01)-a=10^9(1,01)^2-S_2\).

Sau \(3\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^3-a(1.01)^2-a(1.01)-a\) \(=10^9\cdot(1.01)^3-S_3\).

Sau \(24\) tháng, ông An còn nợ là:

\(10^9\cdot(1.01)^{24}-S_{24}=0\).

Do đó

\(S_{24}=10^9\cdot(1.01)^{24} \) \(\Leftrightarrow a\cdot\displaystyle\frac{1-(1.01)^{24}}{1-(1.01)}=10^9\cdot(1.01)^{24}\) \(\Leftrightarrow a =\displaystyle\frac{10^9\cdot(1.01)^{24}\cdot0.01}{(1.01)^{24}-1}\) \(\approx 47073472{,}22\).

Vậy mỗi tháng ông An phải trả \(47073500\).