ÔN TẬP CHƯƠNG 1

+ Trong 3 giây, số vòng quạt quay được là: \(\displaystyle\frac{3}{60}\cdot 45=2{,}25\).

+ Suy ra, góc quay có số đo là: \(2{,}25\cdot 2\pi=4{,}5\) (rad).

a. Ta có \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{8}{9}\)

\(\Rightarrow \sin\alpha=\pm \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Mặt khác, \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<0\) nên \(\sin\alpha<0\).

Do đó \(\sin\alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

b. Ta có

\(\sin 2 \alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{3}\) \(=-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{9}\).

c. \(\cos \left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}-\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{1+2\sqrt{6}}{6}\).

a. Ta có

\(\begin{aligned}\sin (\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \sin (\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}&\Rightarrow \sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)\\ &=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &= \sin^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\alpha\sin^2\beta\\ &=\sin^2\alpha\left(1-\sin^2\beta\right) +\left(1-\sin^2\alpha\right)\sin^2\beta\\ &=\sin^2\alpha-\sin^2\beta.\end{aligned}\)

b. Ta có

\(\begin{aligned}&\cos ^4 \alpha-\cos ^4\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\\ =\ &\cos^4\alpha-\cos^4\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\\ =\ &\cos^4\alpha-\sin^4\alpha \\ =\ &\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)\\ =\ &\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha.\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}&\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)-\sin 2 x=0\\ \Leftrightarrow\ & \sin 2x=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &2x=\pi-x-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\)

Ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của họ \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\) là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) (ứng với \(k=0\)); nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\) là \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}\) (ứng với \(k=0\)). Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lượng giác đã cho là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\).

a. \(\sin 2 x+\cos 3x=0\)

\(\begin{aligned}&\sin 2x+\cos 3x=0\\ \Leftrightarrow\ &\cos 3x=-\sin 2x \\ \Leftrightarrow\ &\cos 3x=\sin \left(-2x\right)\\ \Leftrightarrow\ &\cos 3x=\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2} +2x\right)\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\ &3x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{10} +\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\)

ậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}, k\in\mathbb{Z}\).

b. \(\sin x \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\);

\(\begin{aligned}&\sin x \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4} \\ \Leftrightarrow\ &2\sin x\cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\sin 2x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&2x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\pi\\&x=\displaystyle\frac{3\pi}{8}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).

c. \(\sin x+\sin 2 x=0\).

\(\begin{aligned}&\sin x+\sin 2 x=0 \\ \Leftrightarrow\ &\sin x+2\sin x\cos x=0 \\ \Leftrightarrow\ &\sin x \left(1+2\cos x\right)=0 \\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\sin x=0\\&1+2\cos x=0\end{aligned}\right. \\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\sin x=0\\&\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=k\pi\\&x=\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\).

a. Với \(t=2\) thì

\(h(2)=0,8 \cos 0{,}5\cdot 2+4\) \(=0,8 \cos 1+4\approx 4{,}43\) (m).

b. Tàu có thể hạ thủy vào những thời điểm \(t\) thỏa mãn

\(0{,}8 \cos 0{,}5 t+4 \geq 3{,}6 \Leftrightarrow \cos 0{,}5 t \geq -\displaystyle\frac{1}{2}.\quad (*)\)

Đặt \(0{,}5t=x\). Với \(t\in[0;12]\) thì \(x\in [0;6]\). Khi bất phương trình \((*)\) trở thành \(\cos x\geq -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y=f(x)=\cos x\) trên \([0;6]\):

Dựa vào đồ thị, ta có

\(\begin{aligned}&\cos x \geq -\displaystyle\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&0\leq x\leq \displaystyle\frac{2\pi}{3}\\ &\displaystyle\frac{4\pi}{3}\leq x\leq 6\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&0\leq 2x\leq \displaystyle\frac{4\pi}{3}\\ &\displaystyle\frac{8\pi}{3}\leq 2x\leq 12\end{aligned}\right.\\ \text{ hay } &\left[\begin{aligned}&0\leq t\leq \displaystyle\frac{4\pi}{3}\approx 4{,}19\\ &8{,}38\approx\displaystyle\frac{8\pi}{3}\leq t\leq 12.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy tàu có thể hạ thủy vào các thời điểm \(t\) (giờ) thỏa mãn \(\left[\begin{aligned}&0\leq t\leq 4{,}19\\&8{,}38\leq t\leq 12.\end{aligned}\right.\)

a. Ta có

\(\begin{aligned}-1 &\leq \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\leq 1, \forall t\geq 0\\ \Rightarrow 3&\geq -3\sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\geq -3, \forall t\geq 0.\end{aligned}\)

Suy ra \(v\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(3\), điều này xảy ra khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}&\sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1\\ \Leftrightarrow\ &1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ \Leftrightarrow\ &t=-\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\quad (k\in\mathbb{N}^*).\end{aligned}\)

b. Ta có

\(\begin{aligned}v=1{,}5 \Leftrightarrow\ &-3 \sin \left(1{,}5 +\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) =1{,}5\\ \Leftrightarrow\ &\sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) =-\displaystyle\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\pi+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&t =-\displaystyle\frac{\pi}{3} +\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\\ &t=\displaystyle\frac{5\pi}{9} +\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\end{aligned}\right. \quad (k\in\mathbb{N}).\end{aligned}\)

Vậy vận tốc con lắc bằng \(1{,}5\) cm/s tại các thời điểm \(t=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\) và \(t=\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\).

a. Hàm số biểu diễn toạ độ của điểm \(E\) trên trục \(Bx\) theo \(t\) là

\(\begin{aligned}x_E&=\overline{BE}=AB\cdot \tan \theta_s(t)\\ &=5\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t-12)\, (m).\end{aligned}\)

b. Gọi \(t_N\) là thời điểm bóng cây phủ đến vị trí \(N\), khi đó \(t_N\) là nghiệm của phương trình

\(\begin{aligned}&5\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12) = -4 \\ \Leftrightarrow\ & \tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12) =-\displaystyle\frac{4}{5}\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12)\approx -0{,}675+k\pi \\ \Leftrightarrow\ & t_N\approx \displaystyle\frac{-0{,}675}{\displaystyle\frac{\pi}{12}}+12+12k \approx 9{,}4+12k.\end{aligned}\)

Vì \(6< t_N<18\) nên \(k=0\); Lúc đó \(t_N=9{,}4\) (giờ).

Với \(6< t<18\) thì \(-\displaystyle\frac{\pi}{2} < \displaystyle\frac{\pi}{12}(t-12)< \displaystyle\frac{\pi}{2}\).

Suy ra hàm số \(x_E\) đồng biến trên \((6;18)\).

Bóng cây phủ qua vị trí tường rào \(N\) khi và chỉ khi

\(x_E\leq x_N \Leftrightarrow t\leq t_N=9{,}4\,\text{(giờ)}.\)

Vậy các thời điểm bóng cây phủ qua vị trí tường rào \(N\) là từ hơn \(6\) giờ đến \(9{,}4\) giờ.

Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) nên \(\begin{cases}\cos\alpha <0\\ \sin\alpha >0.\end{cases}\)

Khi đó

\(\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\) \(=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).

a. Ta có

\(\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}\).

b. Ta có

\(\cos\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-3-\sqrt{6}}{6}\).

c. Ta có

\(\sin\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\).

d. Ta có

\(\cos\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-3+\sqrt{6}}{6}\).

a. Ta có

\(\left(\sin \alpha+\cos\alpha\right)^2\) \(=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha\) \(=1+\sin 2\alpha\);

b. Ta có

\(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha\) \(=\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)\) \(=\cos 2\alpha\).

a. Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\(\begin{aligned}&-1\le \cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\le 1\\ \Leftrightarrow\ &-2\le 2\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\le 2\\ \Leftrightarrow\ &-3\le 2\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)-1\le 1. \end{aligned}\)

Vậy \(\min y=-3\) khi và chỉ khi

\(\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1\) \(\Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}=\pi+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

\(\max y=1\) khi và chỉ khi

\(\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=1\) \(\Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}=k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \([-3;1]\).

b. Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) \(=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Khi đó

\(\begin{aligned} &-1\le \sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1\\ \Leftrightarrow\ &-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt{2}.\end{aligned}\)

Vậy \(\min y=-\sqrt{2}\) khi và chỉ khi

\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\) \(\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

\(\max y=\sqrt{2}\) khi và chỉ khi

\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\) \(\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

a. Ta có

\(\begin{aligned}&\cos\left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\ &3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&3x=\pi+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right.,\ \left(k\in\mathbb{Z}\right). \end{aligned}\)

b. Ta có

\(\begin{aligned} &2\sin^2x-1+\cos 3x=0\\ \Leftrightarrow\ &\cos 3x-\cos 2x=0\\ \Leftrightarrow\ &\cos 3x=\cos 2x\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&3x=2x+k2\pi\\&3x=-2x+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&5x=k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\end{aligned}\right.,\ \left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{aligned}\)

c. Ta có

\(\begin{aligned}&\tan\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=\tan\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}=x-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x\ne\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k\pi\\ x\ne\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\\ x=-\displaystyle\frac{11\pi}{30}+k\pi\end{cases},\ \left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{aligned}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-\displaystyle\frac{11\pi}{30}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

a. Chu kì của hàm số \(p(t)\) là \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{160\pi}=\displaystyle\frac{1}{80}\).

b. Chu kì của huyết áp là \(T=\displaystyle\frac{1}{80}\) nghĩa là \(1\) phút thì nhịp tim của người này là \(80\).

c. Ta có

\(\begin{aligned} &-1\le \sin(160\pi t)\le 1\\ \Leftrightarrow\ & -25\le 25\sin(160\pi t)\le 25\\ \Leftrightarrow\ & 90\le 115+25\sin(160\pi t)\le 140. \end{aligned}\)

Do đó, số chỉ huyết áp của người này là \(140/90\). Huyết áp của người này so với huyết áp bình thường là cao hơn.

Ta có

\(\displaystyle\frac{\sin i}{\sin r}=\displaystyle\frac{n_2}{n_1}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin 50^\circ}{\sin r}=\displaystyle\frac{1{,}33}{1}\) \(\Leftrightarrow \sin r=\displaystyle\frac{\sin 50^\circ}{1{,}33}\) \(\Rightarrow r\approx 35{,}17^\circ\).

Ta có \(3 \cos x+2=0 \Leftrightarrow \cos x =- \displaystyle\frac{2}{3}\).

Từ đồ thị ta có số nghiệm của phương trình \(3 \cos x+2=0\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{5 \pi}{2}\right]\) là \(4\).

a. Ta có

\(\sin \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+k\pi\\&x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k\pi\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\)

b. Ta có

\(\cos \left(\displaystyle\frac{3 x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{3 x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&\displaystyle\frac{3 x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{18}+k\displaystyle\frac{4\pi}{3}\\&x=-\displaystyle\frac{7\pi}{18}+k\displaystyle\frac{4\pi}{3}\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\)

c. Ta có

\(\begin{aligned} &\sin 3 x-\cos 5 x=0 \\ \Leftrightarrow\ & \sin 3x = \cos 5x \\ \Leftrightarrow\ &\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-3x\right) =\cos{5x} \\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{\pi}{2}-3x=5x+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{\pi}{2}-3x=-5x+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{16}-k\displaystyle\frac{\pi}{4}\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

d. Ta có

\(\cos ^2 x=\displaystyle\frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos x = \displaystyle\frac{1}{2}\\&\cos x =-\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&x=\pm \displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\)

e. Ta có

\(\sin x-\sqrt{3} \cos x=0\) \(\Leftrightarrow \sin x =\sqrt{3}\cos x. \qquad (1)\)

Nhận xét: Nếu \( \cos x=0 \) thì theo \( (1) \) ta được \( \sin x=0 \) điều này vô lí vì khi đó \( \sin^2x+\cos^2 x =0 \).

Do đó \( \cos x \neq 0 \). Chia hai vế của \( (1) \) cho \( \cos x \), ta được

\(\tan x= \sqrt{3} \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).\)

f. Ta có

\(\sin x+\cos x=0 \Leftrightarrow \sin x= -\cos x. \qquad (1)\)

Nhận xét: Nếu \( \cos x=0 \) thì theo \( (1) \) ta được \( \sin x=0 \) điều này vô lí vì khi đó \( \sin^2x+\cos^2 x =0 \).

Do đó \( \cos x \neq 0 \). Chia hai vế của \( (1) \) cho \( \cos x \), ta được

\(\tan x= -1 \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). \)

a. Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 15 \) m là nghiệm của phương trình

\(3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=15\) \(\Leftrightarrow \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=1\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=k2\pi\) \(\Leftrightarrow t= -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \quad (k \in \mathbb{Z}).\)

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow 0{,}15 < k < 2{,}16 \Rightarrow k \in \{1;2\}\).

Vậy mực nước sâu \( 15 \) m ở thời gian \( t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 10\) giờ 5 phút và \(t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 2 \approx 22\) giờ 5 phút.

b. Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 9 \) m là nghiệm của phương trình

\(3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=9\) \(\Leftrightarrow \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=\pi+ k2\pi\) \(\Leftrightarrow t= 6-\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \quad (k \in \mathbb{Z}).\)

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le 6-\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24\) \(\Rightarrow -0{,}35 < k < 1{,}66 \Rightarrow k \in \{0;1\}\).

Vậy mực nước sâu \( 15 \) m ở thời gian \( t=6-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 0 \approx 4\) giờ 5 phút và \(t=6-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 16\) giờ 5 phút.

c. Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 10{,}5 \) m là nghiệm của phương trình

\(\begin{aligned}&3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10{,}5\\ \Leftrightarrow\ &\cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\&\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=-\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. \\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&t=4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \\&t=-4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k\end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).\end{aligned}\)

\( t=4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \).

Do \( 0\le t <24 \) nên

\( 0 \le 4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24\) \(\Rightarrow -0{,}89 < k < 1{,}12 \Rightarrow k \in \{0;1\}\).

\( t=-4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \).

Do \( 0\le t <24 \) nên

\( 0 \le -4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24\) \(\Rightarrow 1{,}2 < k < 3{,}21 \Rightarrow k \in \{2;3\}\).

Vậy mực nước sâu \( 10{,}5 \) m ở thời gian \( t=4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 0 \approx 10\) giờ 39 phút, \(t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 22\) giờ 39 phút, \(t=-4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 2 \approx 9\) giờ 31 phút, \(t=-4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 3 \approx 21\) giờ 31 phút.

a. Ta có hoành độ của \( A \) là giá trị thực dương nhỏ nhất của \( x \) để \( 4{,}8 \cdot \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \).

Ta có \( 4{,}8 \cdot \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \Leftrightarrow \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{9}=k\pi \Leftrightarrow x=9\pi \).

Khi đó giá trị thực dương nhỏ nhất là \( x=9\pi \) nên \( A(9\pi;0) \).

Do đó độ dài đoạn thẳng \( OA=9\pi\approx 28{,}3 \) nên chiều rộng là khoảng \( 28{,}3 \) m.

b. Đầu tiên ta tìm khoảng cách từ vị trí chân cầu làm gốc tọa độ đến vị trí trên sông mà tại đó độ cao của cây cầu là \( 3{,}6 \) m.

Do đó ta cần tìm nghiệm thuộc khoảng \( (0;9\pi) \) của phương trình

\(4{,}8 \sin \displaystyle\frac{x}{9} = 3{,}6 \Leftrightarrow \sin \displaystyle\frac{x}{9}=\displaystyle\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{x}{9}=\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{9}=\pi - \arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+k2\pi\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=9\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+18k\pi\\ &x=9\pi - 9\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+18k\pi.\end{aligned}\right.\)

Khi đó tập nghiệm thỏa mãn là

\(S=\left\lbrace 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}; 9\pi - 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}\right\rbrace \).

Do đó độ rộng tối đa của sà lan khi đi qua cầu là

\(9\pi - 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}- 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}\approx 13{,}01<13{,}1 \text{ m.}\)

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu của đề bài.

c. Đầu tiên, ta cũng tìm khoảng cách từ vị trí chân cầu làm gốc độ đến vị trí trên sông nơi mà xà lan gần chân cầu đó nhất.

Ta tính được \( \displaystyle\frac{28{,}3}{2} - \displaystyle\frac{9}{2} = 9{,}65 \) m.

Chiều cao tại vị trí đó là

\(h=4{,}8 \sin \displaystyle\frac{9{,}65}{9} \approx 4{,}22 < 4 {,}3 \) m.

Vậy ta đã chứng minh được chiều cao khối hàng hóa phải nhỏ hơn \( 4{,}3 \) m.