\(\S3\) HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập 1
Vẽ đồ thị các hàm số: \(y=4^x\).
Bảng giá trị và đồ thị của hàm số như hình trên.
Bài tập 2
Vẽ đồ thị các hàm số: \(y=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^x\).
Bảng giá trị và đồ thị của hàm số như hình trên.
Bài tập 3
So sánh các cặp số sau:
\(\bullet\,\) \(1{,}3^{0{,}7}\) và \(1{,}3^{0{,}6}\).
\(\bullet\,\) \(0{,}75^{-2{,}3}\) và \(0{,}75^{-2{,}4}\).
\(\bullet\,\) Do \(1{,}3>1\) nên hàm số \(y=1{,}3^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(0{,}7>0{,}6\) nên \(1{,}3^{0{,}7}>1{,}3^{0{,}6}\).
\(\bullet\,\) Do \(0{,}75<1\) nên hàm số \(y=0{,}75^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(-2{,}3>-2{,}4\) nên \(0{,}75^{-2{,}3}<0{,}75^{-2{,}4}\).
Bài tập 4
Tìm tập xác định của các hàm số:
\(\bullet\,\) \(y=\log_2(3-2x)\).
\(\bullet\,\) \(y=\log_3\left(x^2+4x\right)\).
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\log_2(3-2x)\) xác định khi \(3-2x>0\Leftrightarrow x<\displaystyle\frac{3}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y=\log_2(3-2x)\) là \(\mathscr{D}=\left(-\infty;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\log_3\left(x^2+4x\right)\) xác định khi \(x^2+4x>0\Leftrightarrow x<-4\vee x>0\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y=\log_3\left(x^2+4x\right)\) là \(\mathscr{D}=(-\infty;-4)\cup(0;+\infty)\).
Bài tập 5
Vẽ đồ thị hàm số: \(y=\log x\).
Bảng giá trị và đồ thị của hàm số như hình trên.
Bài tập 6
Vẽ đồ thị hàm số: \(y=\log_{\tfrac{1}{4}}x\).
Bảng giá trị và đồ thị của hàm số như hình trên.
Bài tập 7
So sánh các cặp số sau:
\(\bullet\,\) \(\log_{\pi}0{,}8\) và \(\log_{\pi}1{,}2\).
\(\bullet\,\) \(\log_{0{,}3}2\) và \(\log_{0{,}3}2{,}1\).
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\log_{\pi}x\) có cơ số \(\pi>1\) nên đồng biến trên \((0;+\infty)\).
Mà \(0{,}8<1{,}2\) nên \(\log_{\pi}0{,}8<\log_{\pi}1{,}2\).
\(\bullet\,\) Hàm số \(y=\log_{0{,}3}x\) có cơ số \(0{,}3<1\) nên nghịch biến trên \((0;+\infty)\).
Mà \(2<2{,}1\) nên \(\log_{0{,}3}2>\log_{0{,}3}2{,}1\).
Bài tập 8
Cường độ ánh sáng \(I\) dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I=I_0\cdot a^d\), trong đó \(I_0\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, \(a>0\) là hằng số và \(d\) là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước biển.
\(\bullet\,\) Có thể khẳng định rằng \(0<a<1\) không? Giải thích.
\(\bullet\,\) Biết rằng cường độ ánh sáng tại độ sâu \(1\)m bằng \(0{,}95I_0\). Tìm giá trị của \(a\).
\(\bullet\,\) Tại độ sâu \(20\)m, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với \(I_0\)? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)
\(\bullet\,\) Do \(I_0\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển là không đổi, nên cường độ ánh sáng \(I\) tỉ lệ thuận với hàm số \(a^d\).
Do \(I\) giảm dần theo độ sâu, nên hàm số \(a^d\) nghịch biến, suy ra \(0<a<1\).
\(\bullet\,\) Tại độ sâu \(1\)m, ta có cường độ ánh sáng \(I=0{,}95I_0\), suy ra \(0{,}95I_0=I_0a^1\Leftrightarrow a=0{,}95\).
\(\bullet\,\) Tại độ sâu \(20\)m, suy ra \(d=20\). Cường độ ánh sáng tại đó là \(I=I_0a^d=I_0\cdot0{,}95^{20}\approx0{,}4I_0\).
Vậy tại độ sâu \(20\)m, cường độ ánh sáng tại đó bằng khoảng \(40\)\% so với \(I_0\).
Bài tập 9
Công thức \(h=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{P}{P_0}\) là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao \(h\) so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng ki-lô-mét) theo áp suất không khí \(P\) tại điểm đó và áp suất \(P_0\) của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng \(Pa\) - đơn vị áp suất, đọc là Pascal).
\(\bullet\,\) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng \(\displaystyle\frac{1}{2}P_0\) thì máy bay đang ở độ cao nào?
\(\bullet\,\) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng \(\displaystyle\frac{4}{5}\) lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu ki-lô-mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
\(\bullet\,\) Nếu áp suất ở ngoài máy bay là \(\displaystyle\frac{1}{2}P_0\) thì độ cao của máy bay là
\(h=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}P_0}{P_0}\) \(=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{1}{2}\approx5{,}8\text{km}.\)
\(\bullet\,\) Gọi áp suất lần lượt của hai ngọn núi A và B là \(P_A\), \(P_B\). Ta có \(P_A=\displaystyle\frac{4}{5}P_B\).
Độ cao của núi A và núi B là \(\begin{cases}h_A=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{P_A}{P_0}\\ h_B=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{P_B}{P_0}.\end{cases}\)
Ta có
\begin{eqnarray*}h_A&=&-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{P_A}{P_0}\\ &=&-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{5}P_B}{P_0}\\ &=&-19{,}4\cdot\left(\log\displaystyle\frac{4}{5}+\log\displaystyle\frac{P_B}{P_0}\right)\\ &=&-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{4}{5}+h_B\approx h_B+1{,}9.\end{eqnarray*}
Vậy núi A cao hơn núi B \(1{,}9\)km.
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập 1
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(\bullet\,\) \(y = \log |x+3|\) ;
\(\bullet\,\) \(y = \ln (4-x^{2})\).
\(\bullet\,\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x+3 \neq 0\) hay \(x \neq -3\).
Suy ra tập xác định \(\mathscr D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).
\(\bullet\,\) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4-x^2>0\) hay \(-2<x<2\).
Suy ra tập xác định \(\mathscr D = \left( -2; 2 \right)\).
Bài tập 2
Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng \(m(t)\) của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau \(t\) ngày được cho bởi hàm số \(m(t) = 13 \mathrm{e}^{-0,0015t}\).
\(\bullet\,\) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm \(t = 0\).
\(\bullet\,\) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?
\(\bullet\,\) \(m(0) = 13\mathrm e^{0} = 13\) (kilôgam).
\(\bullet\,\) \(m(45) = 13\mathrm e^{-0,015 \cdot 45} \approx 6{,}62\) (kilôgam).
Bài tập 3
Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau \(t\) tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức \(M(t) = 75 - 20 \ln (t+1),\) \(0 \leq t \leq 12\) (đơn vị: \(\%\)). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.
Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng là \(M(6) = 75 - 20 \ln (6+1) \approx 36{,}1 \%.\)
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Tìm tập xác định của các hàm số
\(\bullet\,\) \(y=12^x\);
\(\bullet\,\) \(y=\log_5(2 x-3)\);
\(\bullet\,\) \(y=\log_{\tfrac{1}{5}}\left(-x^2+4\right)\).
\(\bullet\,\) Tập xác định của hàm số \(y=12^x\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) Điều kiện \(2x-3>0\Leftrightarrow x>\displaystyle\frac{3}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y=\log_5(2x-3)\) là \(\mathscr{D}=\left(\displaystyle\frac{3}{2};+\infty \right) \).
\(\bullet\,\) Điều kiện \(-x^2+4>0\Leftrightarrow -2<x<2\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y=\log_{\tfrac{1}{5}}\left(-x^2+4\right)\) là \(\mathscr{D}=(-2;2)\).
Bài tập 2
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?
\(\bullet\,\) \(y=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^x\);
\(\bullet\,\) \(y=\left(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)^x\);
\(\bullet\,\) \(y=\log_\pi x\);
\(\bullet\,\) \(y=\log_{\tfrac{\sqrt{15}}{4}} x\).
\(\bullet\,\) Vì \(0<\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}<1\) nên hàm số \(y=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) Vì \(0<\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}<1\) nên hàm số \(y=\left(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) Vì \(\pi>1\) nên hàm số \(y=\log_\pi x\) đồng biến trên \((0;+\infty)\).
\(\bullet\,\) Vì \(0<\tfrac{\sqrt{15}}{4}<1\) nên hàm số \(y=\log_{\tfrac{\sqrt{15}}{4}} x\) nghịch biến trên \((0;+\infty)\).
Bài tập 3
Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ \(t\) là hàm số theo biến \(t\) được cho bởi công thức: \(S=A \cdot e^{rt}\). Trong đó \(A\) là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là \(98564407\) người và tỉ lệ tăng dân số \(0,93\%\)/năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Dân số Việt Nam vào năm 2030 là
\(S=A \cdot e^{rt}=98564407\cdot e^{0,93\%\cdot 9}\approx 107169341\text{ (người).}\)
Bài tập 4
Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: \(f(t)=c\left(1-e^{-k t}\right)\), trong đó \(c\) là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, \(k\) (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, \(t\) (ngày) là thời gian học và \(f(t)\) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được. Giả sử một em học sinh phải tiếp thu \(25\) đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học \(\sinh\) là \(k=0{,}2\). Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau \(2\) ngày? Sau \(8\) ngày?
Số đơn vị kiến thức mới em học sinh sẽ nhớ sau \(2\) ngày là
\(f(2)=25\left(1-e^{-0{,}2\cdot2}\right)\approx 8{,}24\text{ (đơn vị)}.\)
Số đơn vị kiến thức mới em học sinh sẽ nhớ sau \(8\) ngày là
\(f(8)=25\left(1-e^{-0{,}2\cdot8}\right)\approx 19{,}95\text{ (đơn vị)}.\)
Bài tập 5
Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: \(\mathrm{pH}=-\log \left[\mathrm{H}^{+}\right]\). Phân tích nồng độ ion hydrogen \(\left[\mathrm{H}^{+}\right]\) trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau: Mẫu 1: \(\left[\mathrm{H}^{+}\right]=8 \cdot 10^{-7}\); Mẫu \(2:\left[\mathrm{H}^{+}\right]=2 \cdot 10^{-9}\).
Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên.
Hàm số \(\mathrm{pH}=-\log \left[\mathrm{H}^{+}\right]\) có \(a=10>1\) nên nghịch biến trên \((0;+\infty)\).
Vì \(8 \cdot 10^{-7}>2 \cdot 10^{-9}\) nên độ pH của mẫu 1 bé hơn độ pH của mẫu 2.
Bài tập 6
Một người gửi \(10\) triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng vối lãi suất \(6\%\)/năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và người đó không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau \(y\) (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là \(x\) (đồng), người đó sử dụng công thức \(y=\log_{1,06}\left(\displaystyle\frac{x}{10}\right)\). Hỏi sau bao nhiêu năm thì người đó có được tổng số tiền cả vốn và lãi là \(15\) triệu đồng? \(20\) triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Người đó có được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là \(15\) triệu đồng sau
\(y=\log_{1,06}\left(\displaystyle\frac{15}{10}\right)\approx 7\text{ (năm).}\)
Người đó có được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là \(20\) triệu đồng sau
\(y=\log_{1,06}\left(\displaystyle\frac{20}{10}\right)\approx 12\text{ (năm).}\)