a. Hàm số \(y=\cos x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x\in\mathbb{R}\) ta có

\(-x\in\mathbb{R}\) và \(\cos(-x)=\cos x.\)

Do đó hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.

b. Hàm số \(y=\tan x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi|\,k\in\mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x\in\mathscr{D}\) thì

\(x\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\) \(\Leftrightarrow -x\ne -\displaystyle\frac{\pi}{2}-k\pi\) \(\Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}-\pi-k\pi\) \(\Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+l\pi\,(l\in\mathbb{Z}),\)

suy ra \(-x\in\mathscr{D}\).

Mặt khác \(\tan(-x)=-\tan x\).

Do đó hàm số \(y=\tan x\) là hàm số lẻ.

Ta có:

\(\sin x=\sin(x+2\pi)\, \text{với mọi}\, x\in\mathbb{R};\)

\(\tan(x+\pi)=\tan x\) với mọi \(x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,\, k\in\mathbb{Z}.\)

Do đó hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\tan x\) là các hàm số tuần hoàn.

a. Xét hàm số \(y=5\sin^2x+1\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với \(x\in\mathbb{R}\) thì \(-x\in\mathbb{R}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

Ta có

\(y(-x)=5\sin^2(-x)+1\) \(=5\sin^2x+1=y(x)\).

Vậy hàm \(y=5\sin^2x+1\) là hàm số chẵn.

b. Xét hàm số \(y=\cos x+\sin x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với \(x\in\mathbb{R}\) thì \(-x\in\mathbb{R}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

Ta có

\(y(-x)=\cos(-x)+\sin(-x)\) \(=\cos x-\sin x\).

Ta có

\(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}=\sqrt 2\);

\(y\left( -\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\cos \left( -\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) +\left( -\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\left( -\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\right) =0\).

Suy ra \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq y\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) và \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq -y\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Do đó hàm \(y=\cos x+\sin x\) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.

c. Xét hàm số \(y=\tan 2x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

Với \(x\in\mathscr{D}\) thì \(x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}+m\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(m\in\mathbb{Z})\) suy ra

\(-x\ne-\displaystyle\frac{\pi}{4}-m\displaystyle\frac{\pi}{2}\) \(\Leftrightarrow -x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}-m\displaystyle\frac{\pi}{2}\) \(\Leftrightarrow -x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}-(m+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}\) \(\Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{4}+n\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(n\in\mathbb{Z}),\)

tức là ta có \(-x\in\mathscr{D}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

Ta có \(y(-x)=\tan(-2x)=-\tan(2x)=-y(x)\).

Vậy hàm \(y=\tan 2x\) là hàm số lẻ.

a. Điều kiện xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) là \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,\ (k\in\mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

b. Điều kiện xác định của hàm số \(y=\tan\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) là

\(\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq0\) \(\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\) \(\Leftrightarrow x\ne \displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,\ (k\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\tan\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

c. Ta có với mọi \(x\in\mathbb{R}\) thì

\(-1\leq\sin x\leq1\Rightarrow 0\leq\sin^2 x\leq1\) \(\Leftrightarrow 1\leq2-\sin^2 x\leq2.\)

Do đó \(2-\sin^2 x\ne0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2-\sin^2 x}\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\(-1\leq\cos x\leq1\Leftrightarrow-2\leq2\cos x\leq2\) \(\Leftrightarrow-1\leq2\cos x+1\leq3\) \(\Leftrightarrow -1\leq y\leq3.\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y=2\cos x+1\) là \(T=[-1;3]\).

+ Vẽ đồ thị hàm \(y=\sin x\) và đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\) trên cùng một hệ trục toạ độ.

+ Quan sát hình vẽ ta thấy trên \([-\pi;\pi]\) đồ thị hàm số \(y=\sin x\) cắt đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\) tại hai điểm \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) và \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

+ Vậy các giá trị cần tìm là \(x\in\left\{\displaystyle\frac{\pi}{6}; \displaystyle\frac{5\pi}{6}\right\}\).

a. Vì \(-1\le\sin\alpha\le 1\) nên \(-0{,}3\le 0{,}3\sin\alpha\le 0{,3}\) hay \(-0{,}3\le v_x \le 0{,3}\).

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(v_x\) lần lượt là \(0{,}3\) m/s và \(-0{,}3\) m/s.

b. Ta có đồ thị của hàm số \(v_x\) trên \(\left[0;2\pi\right]\) như hình bên.

Dựa vào đồ thị ta có trên các khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\) thì \(v_x\) tăng.

a. Ta có chiều cao \(h_\alpha\) của gàu \(G\) so với mặt nước là

\(h_\alpha = 3 + 3\sin\alpha\;(\text{m}).\)

b. Vì guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây nên trong 60 giây đầu, guồng \(G\) đi được đúng 2 vòng.

Ta có đồ thị của hàm số \(h_\alpha\) trong 2 chu kì đầu tiên như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số sin, ta thấy trong 2 chu kì đầu tiên thì có 4 thời điểm mà gàu \(G\) cách mặt nước \(1{,}5\) mét, ứng với các thời điểm \(t=17{,5}\)s; \(t=27{,5}\)s; \(t=47{,5}\)s và \(t=57{,5}\)s.

a. Hàm số xác định khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}\).

b. Ta thấy \(1+\cos x \geq 0\) và \(2-\cos x >0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\).

a. Tập xác định của hàm số là

\(\mathscr{D}= \mathbb{R} \setminus \left \{ \displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\Big| k \in \mathbb{Z}\right \}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có

\(f(-x)=\sin (-2x)+\tan (-2x)=-\sin 2 x-\tan 2 x=-f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

Vậy \(y=\sin 2 x+\tan 2 x\) là hàm số lẻ.

b. Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có \(f(-x)=\cos (-x)+\sin^2 (-x)=\cos x+ \sin^2 x=f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

Vậy \(y=\cos x+\sin ^2 x\) là hàm số chẵn.

c. Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có

\(f(-x)=\sin (-x) \cos (-2x)=-\sin x \cos 2 x=-f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

Vậy \(y=\sin x \cos 2 x\) là hàm số lẻ

d. Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có

\(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) = 0\); \(f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) = \sqrt{2}\).

Suy ra

\(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) \ne - f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right )\) và \(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) \ne f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right )\).

Vậy hàm số đã cho không là hàm số lẻ cũng không là hàm số chẵn.

a. Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Ta có

\(-1 \leq \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \leq 1\) \(\Rightarrow -3 \leq 2 \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)-1 \leq 1\).

Suy ra tập giá trị của hàm số là \([-3;1]\).

\item Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Ta có

\(-1 \leq \cos x\leq 1\) \(\Rightarrow -2 \leq \sqrt{1+\cos x}-2 \leq \sqrt{2}-2\).

Suy ra tập giá trị của hàm số là \([-2;\sqrt{2}-2]\).

Từ đồ thị của hàm số \(y=\tan x\) suy ra

\(\tan x=0 \Leftrightarrow x = k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)

a. Chu kì của sóng là \(T= \displaystyle\frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{10}} = 20\) (giây).

b. Ta có \(-90 \leq 90 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{10} t\right) \leq 90\), suy ra chiều cao của sóng là \(90- (-90) =180\) (cm).

a. Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi \(x\in\left\{ -\displaystyle\frac{3\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right\} \).

b. Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi \(x\in\left\{ \pm2\pi;\pm\pi;0\right\} \).

c. Đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(-1\) khi \(x=\pm\pi\).

d. Đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi \(x\in\left\{ \pm2\pi;\pm\pi;0\right\} \).

a. Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(-1\) khi \(x\in\left\lbrace -\displaystyle\frac{\pi}{4};\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right\rbrace \).

b. Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi \(x\in\left\lbrace 0;\pi\right\rbrace \).

b. Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi\\ \(x\in\left\{ -\displaystyle\frac{3\pi}{4};\displaystyle\frac{\pi}{4};\displaystyle\frac{5\pi}{4}\right\} \).

c. Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

a. Do \(\left(-\displaystyle\frac{9\pi}{2};-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\right)=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}-4\pi ; \displaystyle\frac{\pi}{2}-4 \pi\right)\) nên hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{9 \pi}{2} ; -\displaystyle\frac{7\pi}{2}\right)\).

Do \(\left(\displaystyle\frac{21\pi}{2} ; \displaystyle\frac{23\pi}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+10\pi ; \displaystyle\frac{3\pi}{2}+10 \pi\right)\) nên hàm số \(y=\sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{21 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{23\pi}{2}\right)\).

b. Do \((-20 \pi ;-19 \pi)=(-20\pi;\pi-20\pi)\) nên hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \((-20 \pi ;-19 \pi)\).

Do \((-9 \pi ;-8 \pi)=(-\pi-8\pi;-8\pi)\) nên hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên khoảng \((-9 \pi ;-8 \pi)\).

a.

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có một giá trị \(\alpha \in\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\sin \alpha=m\).

b.

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có một giá trị \(\alpha \in\left[0;\pi\right]\) sao cho \(\cos \alpha=m\).

c.

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có một giá trị \(\alpha \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) sao cho tan \(\alpha=m\).

d.

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có một giá trị \(\alpha \in(0 ; \pi)\) sao cho \(\cot \alpha=m\).

a. Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

và

\(f(-x)=\sin (-x)\cos (-x)\) \(=-\sin x\cos x=-f(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)=\sin x\cos x\) là hàm lẻ.

b. Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\displaystyle\frac{\pi}{2} \ \Big| \, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

và

\(f(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)\) \(=-\tan x-\cot x=-(\tan x+\cot x)=-f(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)=\tan x+\cot x\) là hàm lẻ.

b. Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

và

\(f(-x)=\sin^2 (-x)\) \(=(-\sin x)^2=\sin^2x=f(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)=\sin x\cos x\) là hàm chẵn.

a. Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=0\) thì phương trình li độ là

\(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos(\omega t).\)

+) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos(\omega\cdot 0)=3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}\right)\) \(=3\cos\displaystyle\frac{\pi}{2}=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}\right)\) \(=3\cos\pi=-3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}\right)\) \(=3\cos\displaystyle\frac{3\pi}{2}=0\);

+) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot T\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\right)\) \(=3\cos2\pi=3\).

Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

b. Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) thì phương trình li độ là

\(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos\left( \omega t-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right).\)

+) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot 0-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos 0=3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\pi=-3\);

+) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot T-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left( \displaystyle\frac{3\pi}{2}\right) =0\).

Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

c. Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) thì phương trình li độ là

\(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos\left( \omega t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) .\)

+) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot 0+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos \pi=-3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos2\pi=3\);

+) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot T+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left( \displaystyle\frac{5\pi}{2}\right) =0\).

Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

Ta có

\(\begin{aligned}h=2 \Leftrightarrow\ &\left| y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2\right|=2\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2=2\\&y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2=-2\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\\&\sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-\displaystyle\frac{8}{5}\text{ (vô nghiệm)}\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Đồ thị

Dựa vào đồ thị ta thấy một số giá trị của \(x\) để ống đựng nước cách mặt nước \(2\) m là

\(x\in\left\lbrace \displaystyle\frac{1}{4};\displaystyle\frac{3}{4};\displaystyle\frac{5}{4};\displaystyle\frac{7}{4};\displaystyle\frac{9}{4};\displaystyle\frac{11}{4};\displaystyle\frac{13}{4};\displaystyle\frac{15}{4};\ldots\right\rbrace \).