\(\S3\) HÀM SỐ LIÊN TỤC
Cầu sông Hàn là một trong những cây cầu bắc qua sông Hàn ở Đà Nẵng. Đây là cây cầu quay đầu tiên do kĩ sư, công nhân Việt nam tự thiết kế và thi công. Khi cầu không quay (Hình 10a), mặt cầu liền mạch nên các phương tiện có thể đi lại giữa hai đầu cầu. Khi cầu quay (Hình 10b) để các tàu, thuyền có thể đi qua thì mặt cầu không còn liền mạch nữa, các phương tiện không thể đi qua giữa hai đầu cầu.
Cầu Sông Hàn khi không quay
Cầu Sông Hàn khi quay để tàu đi qua
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0\in K\).
Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \(x_0\) nếu \(\lim\limits_{x\to x_0}=f\left(x_0\right)\).
Nhận xét.
Để hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x_0\) thì phải có cả ba điều sau
\(\bullet\quad\)Hàm số xác định tại \(x_0\).
\(\bullet\quad\)Tồn tại \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\).
\(\bullet\quad\)\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f\left(x_0\right)\).
Chú ý.
Khi hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại điểm \(x_0\) thì ta nói \(f(x)\) gián đoạn tại điểm \(x_0\) và \(x_0\) được gọi là điểm gián đoạn của hàm số \(f(x)\).
Ví dụ. Xét tính liên tục của hàm số
a. \(f(x)=x^2-2x+3\) tại điểm \(x_0=2\).
b. \(f(x)=\begin{cases}x^2+2 &\quad\text{khi }x>0\\ 2x&\quad\text{khi }x\le0\end{cases}\) tại điểm \(x_0=0\).
a. Ta có \(f(2)=3\) và
\(\lim\limits_{x\to2}f(x)=\lim\limits_{x\to2}\left(x^2-2x+3\right)\) \(=2^2-2\cdot2+3=3\),
suy ra \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2)\).
Vậy hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x_0=2\).
b. Ta có \(f(0)=2\cdot0=0\), và
\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(2x)=2\cdot0=0\),
\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x^2+2\right)=0+2=2\).
Do \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\ne\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) nên không tồn tại \(\lim\limits_{x\to0}f(x)\).
Vậy hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại điểm \(x_0=0\).
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
\(\bullet\quad\)Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\).
\(\quad\) Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \((a;b)\) nếu \(f(x)\) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
\(\bullet\quad\)Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên đoạn \([a;b]\).
\(\quad\) Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \([a;b]\) nếu \(f(x)\) liên tục tại trên khoảng \((a;b)\) và \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)\), \(\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=f(b)\).
Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) là một đường liền, có điểm đầu, điểm cuối như hình vẽ bên. Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này có thể được phát biểu dưới dạng như sau:
Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) và \(f(a)\cdot f(b)<0\) thì luôn tồn tại ít nhất một điểm \(c\in(a;b)\) sao cho \(f(c)=0\).
Ví dụ. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) trên đoạn \([-1;1]\).
Với mọi \(x_0\in(-1;1)\), ta có
\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)= \lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^2}\) \(=\sqrt{1-x_0^2}=f\left(x_0\right)\).
Do đó hàm số \(f(x)\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in(-1;1)\).
Ta lại có
\(\lim\limits_{x\to(-1)^+}f(x)=\lim\limits_{x\to(-1)^+}\sqrt{1-x^2}\) \(=\sqrt{1-(-1)^2}=0=f(-1)\).
\(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\sqrt{1-x^2}\) \(=\sqrt{1-1^2}=0=f(1)\).
Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([-1;1]\).
3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp
\(\bullet\quad\)Hàm số đa thức \(P(x)\), các hàm số lượng giác \(y=\sin x\), \(y=\cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(\bullet\quad\)Hàm số phân thức \(y=\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\), hàm số căn thức \(y=\sqrt{P(x)}\), các hàm số lượng giác \(y=\tan x\), \(y=\cot x\) liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
\(\quad\) Trong đó, \(P(x)\) và \(Q(x)\) là các đa thức.
Nhận xét.
Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp. Khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng của tập xác định của chúng.
Ví dụ. Xét tính liên tục của các hàm số sau
a. \(y=3x^3-4x^2+5x+2\).
b. \(y=\displaystyle\frac{3x^2+x-1}{x-2}\).
a. \(y=3x^3-4x^2+5x+2\) là hàm số đa thức nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b. \(y=\displaystyle\frac{3x^2+x-1}{x-2}\) là hàm số phân thức, có tập xác định \((-\infty;2)\cup(2;+\infty)\) nên nó liên tục trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).
4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Cho hai hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\). Khi đó:
\(\bullet\quad\)Các hàm số \(y=f(x)+g(x)\), \(y=f(x)-g(x)\), \(y=f(x)\cdot g(x)\) liên tục tại \(x_0\).
\(\bullet\quad\)Hàm số \(y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại \(x_0\) nếu \(g\left(x_0\right)\ne0\).
Ví dụ. Xét tính liên tục của hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x}{x+1}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\).
Các hàm số \(y=\sin x\) và \(y=x+1\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\).
Do đó, hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x}{x+1}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne-1\) (hay liên tục trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)).
BÀI TẬP
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập 1
Xét tính liên tục của hàm số:
a. \(f(x)=\begin{cases}x^2+1\quad &\text{khi }x\ge0\\1-x\quad &\text{khi }x<0\end{cases}\) tại điểm \(x=0\).
b. \(f(x)=\begin{cases}x^2+2\quad\text{khi }x\ge1\\x\quad\text{khi }x<1\end{cases}\) tại điểm \(x=1\).
a. Ta có \(f(0)=0^2+1=1\), \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x^2+1\right)=0^2+1=1\),
Ta có
\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(1-x)=1-0=1\).
Do \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=f(0)\) nên hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại điểm \(x=0\).
b. Ta có
\(f(1)=1^2+2=3\), \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\left(x^2+2\right)=1^2+2=3\),
Ta có \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}(x)=1=1\).
Do \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\ne\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\) nên không tồn tại \(\lim\limits_{x\to1}f(x)\).
Vậy hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại điểm \(x=1\).
Bài tập 2
Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}\quad &\text{khi }x\ne-2\\a\quad &\text{khi }x=-2.\end{cases}\)
Tìm \(a\) để hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Với mọi \(x_0\ne-2\), ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.
Mặt khác ta có \(f(-2)=a\),
\(\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\lim\limits_{x\to-2}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}\) \(=\lim\limits_{x\to-2}(x-2)=-2-2=-4\).
Để hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y=f(x)\) phải liên tục tại \(x=-2\)
\(\lim\limits_{x\to-2}f(x)=f(-2)\Leftrightarrow a=-4.\)
Bài tập 3
Xét tính liên tục của các hàm số sau
a. \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2-4}\).
b. \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\).
c. \(h(x)=\cos x+\tan x\).
a. Hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2-4}\) là hàm phân thức, có tập xác định là \((-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)\) nên nó liên tục trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;2)\), \((2;+\infty)\).
b. Hàm số \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\) là hàm vô tỉ có tập xác định là \([-3;3]\) nên nó liên tục trên đoạn \([-3;3]\).
c. Hàm số \(y=\cos x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\), hàm số \(y=\tan x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Do đó nên hàm số \(y=\cos x+\tan x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Bài tập 4
Cho hàm số \(f(x)=2x-\sin x\), \(g(x)=\sqrt{x-1}\).
Xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)\cdot g(x)\) và \(y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\).
a. Hàm số \(f(x)=2x-\sin x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\).
b. Hàm số \(g(x)=\sqrt{x-1}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ge1\).
c. Ta có \(g(x)=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\).
Vậy ta có hàm số \(y=f(x)\cdot g(x)\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ge1\), hàm số \(y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0>1\).
Bài tập 5
Một bãi đậu xe ô-tô đưa ra giá \(C(x)\) (đồng) khi thời gian đậu xe là \(x\) (giờ) như sau:
\(C(x)=\begin{cases}60.000\quad &\text{khi }0<x\le2\\100.000\quad &\text{khi }2<x\le4\\200.000\quad &\text{khi }4<x\le24.\end{cases}\)
Xét tính liên tục của hàm số \(C(x)\).
+) Hàm số \(C(x)\) là hàm hằng trên từng khoảng \((0;2)\), \((2;4)\), \((4;6)\) nên liên tục trên từng khoảng đó.
+) Ta có
\(\begin{cases}\lim\limits_{x\to2^-}C(x)=60.000\\ \lim\limits_{x\to2^+}C(x)=100.000\end{cases}\Rightarrow\) không tồn tại \(\lim\limits_{x\to2}C(x)\), vậy \(C(x)\) không liên tục tại \(x_0=2\).
+) Ta có
\(\begin{cases}\lim\limits_{x\to4^-}C(x)=100.000\\\lim\limits_{x\to4^+}C(x)=200.000\end{cases}\Rightarrow\) không tồn tại \(\lim\limits_{x\to4}C(x)\), vậy \(C(x)\) không liên tục tại \(x_0=4\).
Vậy hàm số \(C(x)\) liên tục trên từng khoảng \((0;2)\), \((2;4)\), \((4;6)\).
Bài tập 6
Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách \(r\) tính từ tâm của nó là \(F(r)=\begin{cases}\displaystyle\frac{GMr}{R^3}\quad &\text{khi }0<r\le R\\ \displaystyle\frac{GM}{r^2}\quad &\text{khi }r\ge R\end{cases}\), trong đó \(M\) là khối lượng, \(R\) là bán kính của Trái Đất, \(G\) là hằng số hấp dẫn. Hàm số \(F(r)\) có liên tục trên \((0;+\infty)\) không?
+) Với mọi \(r\in(0;R)\), hàm số \(F(r)=\displaystyle\frac{GMr}{R^3}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.
+) Với mọi \(r\in(R;+\infty)\), hàm số \(F(r)=\displaystyle\frac{GM}{r^2}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.
+) Ta có
\(\begin{cases}\lim\limits_{r\to R^-}F(r)=\lim\limits_{r\to R^-}\displaystyle\frac{GMr}{R^3}=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\\ \lim\limits_{x\to R^+}F(r)=\lim\limits_{x\to R^+}\displaystyle\frac{GM}{r^2}=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\\ F(R)=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\end{cases}\) nên hàm số \(F(r)\) liên tục tại \(r=R\).
Vậy hàm số \(F(r)\) liên tục trên \((0;+\infty)\).
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập 1
Cho \(f(x)\) và \(g(x)\) là các hàm số liên tục tại \(x=1\). Biết \(f(1)=2\) và \(\lim\limits_{x\to 1}{[2f(x)-g(x)]}=3.\) Tính \(g(1)\).
Ta có \(f(x)\) và \(g(x)\) là các hàm số liên tục tại \(x=1\). Do đó, hàm số \(2f(x)+g(x)\) cũng liên tục tại \(x=1\).
Từ đó, ta có
\(\lim\limits_{x\to 1}{[2f(x)-g(x)]}=2f(1)-g(1)\) \(\Leftrightarrow 3=2.2-g(1)\Leftrightarrow g(1)=1.\)
Vậy \(g(1)=1.\)
Bài tập 2
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a. \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+5x+6}\);
b. \(f(x)=\begin{cases}1+x^2&\text{nếu }x<1\\4-x&\text{nếu }x\ge 1.\end{cases}\)
a. Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\setminus \{-2;-3\}\). Do đó hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;-3)\), \((-3;-2)\) và \((-2,+\infty)\);
b. Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).
Với \(x<1\), ta có \(f(x)= 1+x^2\) là hàm đa thức, do đó liên tục trên khoảng \((-\infty;1)\).
Với \(x>1\), ta có \(f(x)=4-x\) cũng là hàm đa thức, do đó liên tục trên khoảng \((1;+\infty).\)
Tại \(x=1\), ta có
+) \(\lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^-}{(1+x^2)}=2. \)
+) \(\lim\limits_{x\to 1^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^+}{(4-x)}=3. \)
Vì \(\lim\limits_{x\to 1^+}{f(x)}\neq \lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}\) do đó hàm số đã cho không liên tục tại \(x=1\). Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).
Bài tập 3
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số
\(f(x)=\begin{cases}\sin x&\text{nếu } x\ge 0\\ -x+m& \text{nếu }x<0\end{cases}\)
liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\).
Xét tại \(x=0\).
Ta có
+) \(f(0)=\sin0=0\).
+) \(\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\sin x}=0.\)
+) \(\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{(-x+m)}=m.\)
Hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi
\(f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}\Leftrightarrow m=0.\)
Bài tập 4
Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
a. Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b. Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
a) Gọi \(x\) là quãng đường di chuyển, \(f(x)\) là giá tiền tính theo quãng đường.
+) \(0\le x\le 0{,}5\), ta có \(f(x)=10000\) đồng.
+) \(0{,}5<x \le 30\), \(f(x)= 10000+13500(x-0{,}5)\) đồng.
+) \(x>30\), \(f(x)= 408250+11000(x-30)\) đồng.
Vậy \(f(x)=\begin{cases}10000 &\text{nếu } 0\le x\le 0{,}5\\ 10000+13500(x-0{,}5)&\text{nếu } 0{,}5<x\le 30\\ 408250+11000(x-30) &\text{nếu } x>30.\end{cases}\)
b) Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((0; 0{,}5)\), \((0{,}5; 30)\) và \((30;+\infty)\).
Tại \(x=0{,}5\), ta có \(f(0{,}5)=10000\), \(\lim\limits_{x\to {0{,}5}^+}{f(x)}=10000\), \(\lim\limits_{x\to {0{,}5}^-}{f(x)}=10000\).
Vì \(f(0,5)=\lim\limits_{x\to {0{,}5}^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to {0{,}5}^-}{f(x)}\), do đó \(f(x)\) liên tục tại \(x=0,5\).
Tại \(x=30\), ta có \(f(30)=408250\), \(\lim\limits_{x\to 30^-}{f(x)}=408250\), \(\lim\limits_{x\to 30^+}{f(x)}=408250\).
Vì \(f(30)=\lim\limits_{x\to 30^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 30^+}{f(x)}\), do đó\(f(x)\) liên tục tại \(x=30\).
Vậy \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((0;+\infty)\).
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \( f(x)= 2x^{3}+x+1 \) tại điểm \( x=2 \).
Hàm số trên là hàm sơ cấp nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).
Ta có \( f(2)=2\cdot 2^{3}+2+1=19 \).
\(\displaystyle\lim\limits_{x\to 2}f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x\to 2}\left(2x^{3}+x+1\right)\) \(=2\cdot 2^{3}+2+1=19\).
Vậy \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 2}f(x)=f(2)=19 \) nên hàm số \( y=2x^{3}+x+1 \) liên tục tại \( x=2 \).
Bài tập 2
Trong các hàm số
a) Đồ thị hàm số \( f(x)=x^{2}-2x \)
b) Đồ thị hàm số \( g(x)=\displaystyle\frac{x}{x-1} \)
c) Đồ thị hàm số \( h(x)=\begin{cases}-2x &\text{ nếu } x<-1\\ x+1 &\text{ nếu }x\geq 1\end{cases}\)
Hàm số liên tục trên tập xác định là \( f(x)=x^{2}-2x \). Vì đồ thị hàm số ở hình Hình a là một đường liền nét trên mặt phẳng tọa độ.
Bài tập 3
Bạn Nam cho rằng: \(``\)Nếu hàm số \( y=f(x) \) liên tục tại điểm \( x_{0} \), còn hàm số \( y=g(x) \) không liên tục tại \( x_{0} \), thì hàm số \( y=f(x)+g(x) \) không liên tục tại \( x_{0} \)\("\). Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.
Giả sử hàm số \( h(x)=f(x)+g(x) \) là hàm số liên tục tại \( x_{0} \).
Khi đó, hàm số \( g(x)=h(x) -f(x) \) là hiệu của hai hàm số liên tục tại \( x_{0} \) nên hàm số \( g(x) \) là hàm số liên tục tại \( x_{0} \). Điều này mâu thuẫn với giả thiết là \( g(x) \) không liên tục tại \( x_{0} \).
Vậy ý kiến trên là đúng.
Bài tập 4
Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó
a. \( f(x)=x^{2}+\sin x \).
b. \( g(x)=x^{4}-x^{2}+\displaystyle\frac{6}{x-1} \).
c. \( h(x)=\displaystyle\frac{2x}{x-3}+\displaystyle\frac{x-1}{x+4} \).
a. Hàm số \( y=x^{2} \) và hàm số \( y=\sin x \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) nên hàm số \( f(x)=x^{2}+\sin x \) là tổng của hai hàm số trên cũng liên tục trên \( \mathbb{R} \).
b. Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{1\} \).
Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty;1) \) và \( (1;+\infty) \).
c. Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{-4;3\} \).
Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty;-4) \); (-4;3) và \( (3;+\infty) \).
Bài tập 5
Cho hàm số \( f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1 &\text{ nếu } x\ne 4\\ 2a+1 &\text{ nếu } x=4.\end{cases}\)
a. Với \( a=0 \), xét lính liên tục của hàm số tại \( x=4 \).
b. Với giá trị nào của \( a \) thì hàm số liên tục tại \( x=4 \).
c. Với giá trị nào của \( a \) thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?
a. Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).
Ta có \( f(4) =2a+1=1 \) (do \( a=0 \)).
\(\displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x)= \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}\left(x^{2}+x+1\right)\) \(=4^{2}+4+1 =21\).
Vì \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x) \ne f(4) \) nên hàm số trên không liên tục tại \( x=4 \) khi \( a=0 \).
c. Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).
Ta có \( f(4) =2a+1 \).
\(\displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x)= \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}\left(x^{2}+x+1\right)\) \(=4^{2}+4+1 =21\).
Để hàm số liên tục tại \( x=4 \) thì \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x) =f(4)\) \(\Leftrightarrow 2a+1=21\Leftrightarrow a=10 \).
Vậy \( a=10 \) thì hàm số liên tục tại \( x=4 \).
d. Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \).
+) TH1: \( x\ne 4 \), hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).
+) TH2: \( x=4 \), hàm số trên là hàm hằng nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).
Vậy hàm số trên liên tục trên \( \mathbb{R} \).
Bài tập 6
Hình bên cạnh biểu thị độ cao \( h \) (m) của một quả bóng được đá lên thời gian \( t \) (s), trong đó \( h(t)= -2t^{2}+8t \).
a. Chứng tỏ hàm số \( h(t) \) liên tục trên tập xác định.
b. Dựa và đồ thì hãy xác định \( \displaystyle\lim\limits_{t\to 2}\left(-2t^{2}+8t\right) \).
a. Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).
b. Dựa vào đồ thị ta có \( \displaystyle\lim\limits_{t\to 2}\left(-2t^{2}+8t\right) =8 \).