Bài 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\), có thể xảy ra một trong ba trường hợp:
TH1. \((P)\) và \((Q)\) có ba điểm chung không thẳng hàng, ta nói hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) trùng nhau, kí hiệu \((P)\equiv(Q)\).
TH2. \((P)\) và \((Q)\) phân biệt và có một điểm chung, ta nói \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau theo giao tuyến \(d\) đi qua điểm chung, kí hiệu \((P)\cap(Q)=d\).
TH3. \((P)\) và \((Q)\) không có bất kì điểm chung nào, nghĩa là \((P)\cap(Q)=\varnothing\), ta nói \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau, kí hiệu \((P)\parallel(Q)\) hoặc \((Q)\parallel(P)\).
Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
Ví dụ. Hộp giấy có các mặt là hình chữ nhật được vẽ lại với các đỉnh là \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) như bên dưới. Quan sát hộp giấy và chỉ ra các cặp mặt phẳng song song với nhau.
Các cặp mặt phẳng song song với nhau ở Hình 3b là: \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\); \((AA'B'B)\) và \((DD'C'C)\); \((AA'D'D)\) và \((BB'C'C)\).
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Định lí 1.
Nếu mặt phẳng \((P)\) chứa hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng \((Q)\) thì \((P)\) song song với \((Q)\).
Chú ý.
Chẳng hạn nếu \(A,B,C\) không thẳng hàng và \(AB\parallel MN\) và \(AC\parallel MP\) thì \((ABC)\parallel(MNP)\).
Ví dụ. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\) đáy lớn \(AD\) và \(AD=2BC\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AD\). Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((BMN)\) và \((SCD)\) song song với nhau.
+ Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) suy ra \(MN\parallel SD \Rightarrow MN\parallel (SCD)\). (1)
+ Tứ giác \(BCDN\) có \(BC\parallel ND\) và \(BC=ND\) nên là hình bình hành, suy ra \(BN\parallel CD\), do đó \(BN\parallel (SCD)\). (2)
+ Mặt khác ta có \(MN\) và \(BN\) cùng chứa trong \((BMN)\), \(MN\cap BN=N\). (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra \((BMN)\parallel(SCD)\).
3. Tính chất của hai mặt phẳng song song
Định lí 2.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Định lí 3.
Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau. Nếu \((R)\) cắt \((P)\) thì cắt \((Q)\) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.
Ví dụ. Trong mặt phẳng \((P)\), cho hình bình hành \(ABCD\). Vẽ các nửa đường thẳng song song với nhau, nằm về một phía đối với \((P)\) và lần lượt đi qua các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Một mặt phẳng \((P')\) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\).
a. Chúng minh mp\((AA',BB')\) song song với mp\((CC',DD')\).
b. Chứng minh tứ giác \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.
c. Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\). Chứng minh \(OO'\parallel AA'\).
a. Ta có \(AB\parallel CD\), \(AA'\parallel DD'\), suy ra mp\((AA',BB')\) song song với mp\((CC',DD')\).
b. Mặt phẳng \((P)\) cắt hai mặt phẳng song song mp\((AA',BB')\) và mp\((CC',DD')\) theo giao tuyến \(A'B'\) và \(C'D'\) suy ra \(A'B'\parallel C'D'\).
Tương tự ta cũng có \(A'D'\parallel B'C'\).
Tứ giác \(A'B'C'D'\) có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
c. Hai mặt phẳng \((AA'C'C)\) và \((BB'D'D)\) lần lượt đi qua hai đường thẳng song song \(AA'\), \(DD'\) và cắt nhau theo giao tuyến \(OO'\) suy ra \(OO'\parallel AA'\).
3. Định lý Thalès trong không gian
Định lí 4.
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Ví dụ. Cho ba mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) đôi một song song. Hai đường thẳng \(d\) và \(d^{\prime}\) cắt ba mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) lần lượt tại \(A, B, C\) và \(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\). Cho \(A B=3, B C=7\), \(A^{\prime} C^{\prime}=20\). Tính các độ dài \(A^{\prime} B^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}\).
+ Áp dụng định lý Thalès trong không gian đối với ba mặt phẳng song song \((P),(Q),(R)\) và hai cát tuyến \(d, d^{\prime}\), ta có
\(\quad\)\(\dfrac{A^{\prime} B^{\prime}}{B^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{A B}{B C}=\dfrac{3}{7}\).
+ Suy ra
\(\quad\)\(\dfrac{A^{\prime} B^{\prime}}{3}=\dfrac{B^{\prime} C^{\prime}}{7}=\dfrac{A^{\prime} B^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}}{3+7}\) \(=\dfrac{A^{\prime} C^{\prime}}{10} =\dfrac{20}{10}=2.\)
+ Suy ra \(A^{\prime} B^{\prime}=6 ; B^{\prime} C^{\prime}=14\).
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Hình lăng trụ
Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \(\left(P^{\prime}\right)\) song song với nhau. Trên \((P)\) cho đa giác lồi \(A_1 A_2 \ldots A_n\). Qua các đỉnh của đa giác này, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt \(\left(P^{\prime}\right)\) lần lượt tại \(A_1^{\prime}, A_2^{\prime}, \ldots, A_n^{\prime}\). Hình tạo bởi các hình bình hành \(A_1 A_2 A_2^{\prime} A_1^{\prime}, A_2 A_3 A_3^{\prime} A_2^{\prime}, \ldots, A_n A_1 A_1^{\prime} A_n^{\prime}\) và hai đa giác \(A_1 A_2 \ldots A_n, A_1^{\prime} A_2^{\prime} \ldots A_n^{\prime}\) gọi là hình lăng trụ, kí hiệu \(A_1 A_2 \ldots A_n \cdot A_1^{\prime} A_2^{\prime} \ldots A_n^{\prime}\).
Trong hình lăng trụ \(A_1 A_2 \ldots A_n, A_1^{\prime} A_2^{\prime} \ldots A_n^{\prime}\), ta gọi
+ Hai đa giác \(A_1 A_2 \ldots A_n\) và \(A_1^{\prime} A_2^{\prime} \ldots A_n^{\prime}\) là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
+ Các điểm \(A_1, A_2, \ldots, A_n, A_1^{\prime}, A_2^{\prime}, \ldots, A_n^{\prime}\) là các đỉnh.
+ Các hình bình hành \(A_1 A_2 A_2^{\prime} A_1^{\prime}, A_2 A_3 A_3^{\prime} A_2^{\prime}, \ldots, A_n A_1 A_1^{\prime} A_n^{\prime}\) là các mặt bên.
+ Các đoạn thẳng \(A_1 A_1^{\prime}, A_2 A_2^{\prime}, \ldots, A_n A_n^{\prime}\) là các cạnh bên.
+ Các cạnh bên song song và bằng nhau.
+ Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song và bằng nhau.
Chú ý.
Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,\(\ldots\) tương ứng được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác,\(\ldots\)
Ví dụ 1.
a. Gọi tên các hình lăng trụ trong các hình sau đây.
b. Gọi tên các thành phần của hình lăng trụ trong hình đầu tiên.
a. Gọi tên các hình
+ Hình a) là hình lăng trụ tam giác \(A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\).
+ Hình b) là hình lăng trụ tứ giác \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\).
+ Hình c) là hình lăng trụ ngũ giác \(IBCJE \cdot I'B'C'J'E'\).
b. Hình lăng trụ tam giác \(A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) trong Hình \(a\) có
+ Hai mặt đáy là các tam giác \(A B C, A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\).
+ Sáu đỉnh \(A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\).
+ Ba mặt bên là các hình bình hành \(A A^{\prime} B^{\prime} B, B B^{\prime} C^{\prime} C, C C^{\prime} A^{\prime} A\).
+ Ba cạnh bên \(A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}\).
Hình hộp
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Trong một hình hộp ta có
+ Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó.
+ Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
+ Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo.
+ Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ví dụ 2. Cho hình hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Chứng minh \(\left(B D A^{\prime}\right)\) và \(\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\) là các mặt phẳng song song.
+ Ta có \(B B^{\prime} \parallel D D^{\prime}\) và \(B B^{\prime}=D D^{\prime}\), suy ra \(B B^{\prime} D^{\prime} D\) là hình bình hành, do đó \(B D\parallel B^{\prime} D^{\prime}\).
+ Tương tự ta cũng có \(A^{\prime} B\parallel D^{\prime} C\).
+ Từ đó suy ra \(\left(B D A^{\prime}\right)\parallel\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\).
BÀI TẬP
Bài tập 1. Trong mặt phẳng \((P)\) cho hình bình hành \(A B C D\). Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với \((P)\) lần lượt đi qua các điểm \(A, B, C, D\). Một mặt phẳng \((Q)\) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại \(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}\). Chứng minh rằng \(A A^{\prime}+C C^{\prime}=B B^{\prime}+D D^{\prime}.\)
+ Do mặt phẳng \((Q)\) cắt mặt phẳng \((A x, B y)\) theo giao tuyến \(A^{\prime} B^{\prime}\); cắt mặt phẳng \((C z, D t)\) theo giao tuyến \(C^{\prime} D^{\prime}\), mà hai mặt phẳng \((A x, B y)\) và \((C z, D t)\) song song nên \(A^{\prime} B^{\prime} \parallel C^{\prime} D^{\prime}\).
+ Tương tự có \(A^{\prime} D^{\prime} \parallel B^{\prime} C^{\prime}\) nên \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) là hình bình hành.
+ Gọi \(O, O^{\prime}\) lần lượt là tâm \(A B C D\) và \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\).
+ Dễ dàng có \(O O^{\prime}\) là đường trung bình của hai hình thang \(A A^{\prime} C^{\prime} C\) và \(B B^{\prime} D^{\prime} D\) nên
\[OO^{\prime}=\frac{A A^{\prime}+C C^{\prime}}{2}=\frac{B B^{\prime}+D D^{\prime}}{2}.\]
+ Vậy \(A A^{\prime}+C C^{\prime}=B B^{\prime}+D D^{\prime}\).
Bài tập 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(SA, SD\).
a. Chứng minh rằng \((OMN) \parallel (SBC)\).
b. Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(F\) là một điểm thuộc \(ON\). Chứng minh \(EF\) song song với \((SBC)\).
a. Do \(O M\) là đường trung bình của tam giác \(S A C\) nên \(O M \parallel S C \qquad (1)\).
Lại có, \(O N\) là đường trung bình của tam giác \(S D B\) nên \(O N \parallel S B \qquad (2)\).
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \((O M N) \parallel (S B C)\).
b. Ta có \(O E\) là đường trung bình của tam giác \(A B D\) nên \(O E \parallel A D\), mà \(A D \parallel M N\), suy ra \(O E \parallel M N\).
Do đó \(E\) sẽ thuộc mặt phẳng \((O M N)\).
Suy ra \(EF \subset(O M N)\).
Theo ý a, ta có \((O M N) \parallel (S B C)\) nên \(EF \parallel (S B C)\).
Bài tập 3. Cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABEF\) ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo \(AC\) và \(BF\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\) sao cho \(AM = BN\). Các đường thẳng song song với \(AB\) vẽ từ \(M\), \(N\) lần lượt cắt \(AD\), \(AF\) tại \(M'\), \(N'\).
a. Chứng minh \(\left(CBE\right) \parallel \left(ADF\right)\).
b. Chứng minh \(\left(DEF\right)\parallel\left(MNN'M'\right)\).
a. Vì \(\begin{cases}BC\parallel AD\\ BE\parallel AF\end{cases}\) nên \(\left(BCE\right)\parallel\left(ADF\right)\).
b. Ta có
\(\displaystyle\frac{AM}{AC} = \displaystyle\frac{BN}{BF} = \displaystyle\frac{AN'}{AF}\). Suy ra \(MN'\parallel CF\).
Mặt khác, lại có \(EF\parallel NN'\) (do cùng song song với \(AB\)).
Do đó \(\left(DEF\right)\parallel\left(MNN'M'\right)\).
Bài tập 4. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(B'D'A\) và \(BDC'\). Chứng minh \(G\) và \(G'\) chia đoạn \(A'C\) thành ba phần bằng nhau.
+ Gọi \(O\), \(O'\) và \(Q\) lần lượt là tâm các hình bình hành \(ABCD\), \(A'B'C'D'\) và \(AA'C'C\).
+ Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(AB'D'\) \(\Rightarrow A'Q\) đi qua \(G\).
+ Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(BDC'\) \(\Rightarrow CQ\) đi qua \(G'\).
+ Do đó \(A'C\) qua \(G\) và \(G'\).
+ Lại có \(\displaystyle\frac{A'G}{A'Q}=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow \displaystyle\frac{A'G}{A'C}=\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow A'G=\displaystyle\frac{1}{3}A'C\);
+ Và \(\displaystyle\frac{CG'}{CQ}=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow \displaystyle\frac{CG'}{A'C}=\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow CG'=\displaystyle\frac{1}{3}A'C\).
+ Do đó \(A'G=GG'=G'C=\displaystyle\frac{1}{3}A'C\).
Bài tập 5. Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lúc giác \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\), Bình gắn hai thanh tre \(A_1D_1\), \(F_1C_1\) song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại \(O_1\).
a. Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left(A_1D_1,F_1C_1\right)\) với các mặt bên của lăng trụ.
b. Cho biết \(A'A_1 = 6AA_1\) và \(AA' = 70\) cm, tính \(CC_1\) và \(C_1C'\).
a. Qua \(O_1\) kẻ \(B_1C_1\) song song với mặt phẳng đáy như hình vẽ, khi đó ta có
+ \(\left(A_1D_1,F_1C_1\right)\cap\left(ABB'A'\right) = A_1B_1\).
+ \(\left(A_1D_1,F_1C_1\right)\cap\left(BCC'B'\right) = B_1C_1\).
+ \(\left(A_1D_1,F_1C_1\right)\cap\left(CDD'C'\right) = C_1D_1\).
+ \(\left(A_1D_1,F_1C_1\right)\cap\left(DEE'D'\right) = D_1E_1\).
+ \(\left(A_1D_1,F_1C_1\right)\cap\left(EFF'E'\right) = E_1F_1\).
+ \(\left(A_1D_1,F_1C_1\right)\cap\left(AFF'A'\right) = A_1F_1\).
b. Ta có
\(\begin{cases} A'A_1 = 6AA_1\\ A'A_1 + AA_1 = AA' = 70\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases} A'A_1 = 60\\ AA_1 = 10.\end{cases}\)
Suy ra \(CC_1 = AA_1 = 10\) cm và \(C_1C' = A_1A' = 60\) cm.
Bài tập 6. Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế.
+ Các tấm pin năng lượng mặt trời mô phỏng hình ảnh các mặt phẳng song song.
+ Các tấm kính ốp đối diện nhau xung quanh tòa nhà mô phỏng hình ảnh các mặt phẳng song song.
+ Trần nhà và sàn nhà, các bậc cầu thang bộ, từng lớp của ruộng bậc thang, ... cho ta hình ảnh của những mặt phẳng song song trong thực tế.