Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Mô tả vị trí giữa các cặp đường thẳng \(a\) và \(b\), \(b\) và \(c\), \(c\) và \(d\) trong hình bên.
+ Đường thẳng \(a\) và \(b\) không có điểm chung.
+ Đường thẳng \(b\) và \(c\) song song.
+ Đường thẳng \(c\) và \(d\) cắt nhau.
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Nêu các trường hợp có thể xảy ra với hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có thể cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\). Hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) có nằm cùng trong bất kỳ mặt phẳng nào không?
Hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) không nằm cùng trong bất kỳ mặt phẳng nào.
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau:
+ TH1. Có một mặt phẳng chứa \(a\) và \(b\). Khi đó ta nói \(a\) và \(b\) đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng, có ba khả năng sau đây xảy ra:
\(\bullet\) Nếu \(a\) và \(b\) có hai điểm chung thì ta nói \(a\) trùng \(b\), kí hiệu \(a \equiv b\).
\(\bullet\) Nếu \(a\) và \(b\) có một điểm chung duy nhất \(M\) thì ta nói \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\), kí hiệu \(a \cap b = M\).
\(\bullet\) Nếu \(a\) và \(b\) không có điểm chung thì ta nói \(a\) và \(b\) song song với nhau, kí hiệu \(a \parallel b\).
+ TH2. Không có mặt phẳng nào chứa cả \(a\) và \(b\). Khi đó ta nói hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau hay \(a\) chéo với \(b\).
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Chú ý.
+ Hai đường thẳng gọi là \textbf{chéo nhau} nếu chúng không đồng phẳng.
+ Cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu mp\((a,b)\).
Ví dụ 1. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AC\). Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a. \(MN\) và \(BC\);
b. \(AN\) và \(CD\);
c. \(MN\) và \(CD\).
a. Trong mặt phẳng \((ABC)\), ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), suy ra \(MN \parallel BC\).
b. Trong mặt phẳng \((ACD)\), ta có \(AN\) cắt \(CD\) tại điểm \(C\)
c. Giả sử \(MN\) và \(CD\) cùng nằm trong một mặt phẳng \((P)\), suy ra đường thẳng \(NC\) nằm trong \((P)\), suy ra \((P)\) chứa điểm \(A\).
Tương tự, ta cũng có \(AM\) nằm trong \((P)\), suy ra \((P)\) chứa điểm \(B\). Suy ra \((P)\) chứa cả bốn đỉnh của tứ diện \(ABCD\). Điều này vô lý.
Vậy hai đường thẳng \(MN\) và \(CD\) không nằm trong cùng bất kỳ mặt phẳng nào, suy ra \(MN\) chéo với \(CD\).
Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a. \(AB\) và \(CD\);
b. \(SA\) và \(SC\);
c. \(SA\) và \(BC\).
a. Trong mặt phẳng \((ABCD)\), ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB \parallel CD\).
b. Trong mặt phẳng \((SAC)\), ta có \(SA\) cắt \(SC\) tại điểm \(S\).
c. Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\).
+ Giả sử \(SA\) và \(BC\) cùng nằm trong một mặt phẳng \((P)\), suy ra đường thẳng \(AC\) nằm trong \((P)\), suy ra \((P)\) chứa điểm \(O\).
+ Tương tự, ta cũng có \(OB\) nằm trong \((P)\), suy ra \((P)\) chứa điểm \(D\). Suy ra \((P)\) chứa cả năm đỉnh của hình chóp \(S.ABCD\). Điều này vô lý.
+ Vậy hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) không nằm trong cùng bất kỳ mặt phẳng nào, suy ra \(SA\) chéo với \(BC\).
Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong trong hình cầu sắt ở hình bên.
2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
Trong không gian, cho điểm \(M\) ở ngoài đường thẳng \(d\). Đặt \((P) = mp(M, d)\). Trong \((P)\), qua \(M\) vẽ đường thẳng \(d'\) song song với \(d\), đặt \((Q) = mp\left(d, d'\right)\). Có thể khẳng định hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) trùng nhau không?
Có thể khẳng định hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) trùng nhau.
Cho ba mặt phẳng \((P)\), \((Q)\), \((R)\) cắt nhau theo ba giao tuyến \(a\), \(b\), \(c\) phân biệt với \(a = (P) \cap (R)\); \(b = (Q) \cap (R)\); \(c = (P) \cap (Q)\). Nếu \(a\) và \(b\) có điểm chung \(M\) thì điểm \(M\) có thuộc \(c\) không?
Nếu \(a\) và \(b\) có điểm chung \(M\) thì điểm \(M\) thuộc \(c\).
Định lí.
Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Ví dụ 1. Cho tứ diện \(ABCD\). Trong mặt phẳng \((ABC)\) vẽ hình bình hành \(ACBE\). Gọi \(d\) là đường thẳng trong không gian đi qua \(A\) và song song với \(BC\). Chứng minh điểm \(E\) thuộc đường thẳng \(d\).
+ Ta có \(ACBE\) là hình bình hành, suy ra \(AE \parallel BC\).
+ Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\), suy ra \(AE\) phải trùng \(d\), vậy điểm \(E\) phải thuộc \(d\).
Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\). Vẽ hình thang \(ADMS\) có hai đáy là \(AD\) và \(MS\). Gọi \(d\) là đường thẳng trong không gian đi qua \(S\) và song song với \(AD\). Chứng minh đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((SAD)\).
+ Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng qua \(S\) và song song \(AD\).
+ Suy ra \(MS \equiv d\) nên \(d \subset (SAD)\).
Định lí.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Ví dụ 3.
a. Trong Hình a, hai tam giác \(ABC\) và \(ABD\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyến đồng quy.
b. Trong Hình b, hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABMN\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyến song song.
a. Trong hình a, ta có
\((BAC) \cap (BAD) = BA;\) \((BAC) \cap (BCD) = BC;\) \((BCD) \cap (BAD) = BD.\)
Ba giao tuyến vừa nêu đồng quy tại \(B\).
Vậy ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyến đồng quy là \((BAC)\) và \((BAD)\); \((BAC)\) và \((BCD)\); \((BCD)\) và \((BAD)\).
b. Trong hình 10b, ta có
\((ABCD) \cap (ABMN) = AB;\) \((ABCD) \cap (CDNM) = CD;\) \((CDNM) \cap (ABMN) = MN.\)
Ta có \(AB \parallel CD \parallel MN\).
Vậy ba cặp mặt phẳng có ba giao tuyến song song là \((ABCD)\) và \((ABMN)\); \((ABCD)\) và \((CDNM)\); \((CDNM)\) và \((ABMN)\).
Hệ quả 1.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Ví dụ 4. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SAD)\).
+ Hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SAD)\) có điểm chung \(S\) và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song \(BC\) và \(AD\).
+ Suy ra theo hệ quả của định lí 2, giao tuyến của \((SBC)\) và \((SAD)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(BC\) và \(AD\)
Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Trong không gian, cho ba đường thẳng \(a\), \(b\), \(c\) không đồng phẳng, \(a\) và \(b\) cùng song song với \(c\). Gọi \(M\) là điểm thuộc \(a\), \(d\) là giao tuyến của mp\((a, c)\) và mp\((M, b)\).
Do \(b \parallel c\) nên ta có \(d \parallel b\) và \(d \parallel c\). Giải thích tại sao \(d\) phải trùng với \(a\). Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa \(a\) và \(b\).
Do ba giao tuyến của ba cặp mặt phẳng phải song song nên \(d\) phải trùng với \(a\). Từ đó suy ra \(a \parallel b\).
Định lí.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Chú ý.
Khi hai đường thẳng phân biệt \(a\), \(b\) cùng song song với đường thẳng \(c\) thì ta có thể kí hiệu là \(a \parallel b \parallel c\) và gọi là ba dường thẳng song song.
Ví dụ 5. Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) là trung điểm các cạnh của tứ diện \(ABCD\) như hình bên. Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(MN\), \(PQ\), \(RS\) có cùng trung điểm.
+ Ta có \(MP\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\), suy ra \(MP \parallel AC\) và \(MP = \displaystyle\frac{AC}{2}\).
+ Ta cũng có \(QN\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\), suy ra \(QN \parallel AC\) và \(QN = \displaystyle\frac{AC}{2}\).
+ Do \(MP\) và \(QN\) cùng song song với \(AC\) suy ra \(MP \parallel QN\).
+ Tứ giác \(MPNQ\) có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành, suy ra \(MN\) và \(QP\) có cùng trung diểm \(I\).
+ Chứng minh tương tự ta có \(MN\) và \(RS\) có cùng trung điểm \(I\).
+ Vậy các đoạn thẳng \(MN\), \(PQ\), \(RS\) có cùng trung diểm.
Ví dụ 6. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(BD\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(I\), \(J\) và cắt hai cạnh \(AC\) và \(AD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\).
a. Chứng minh \(IJNM\) là một hình thang.
b. Tìm vị trí của điểm \(M\) để \(IJNM\) là hình bình hành.
a. Ba mặt phẳng \((ACD)\), \((BCD)\), \((P)\) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến \(CD\), \(IJ\), \(MN\).
Vì \(IJ \parallel CD\) (\(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\)) nên theo định lí 3 ta có \(IJ \parallel MN\).
Vậy tứ giác \(IJNM\) là một hình thang.
b. Để tứ giác \(IJNM\) là hình bình hành thì \(\begin{cases}MN = IJ\\MN \parallel IJ.\end{cases}\)
Mặt khác \(\begin{cases}IJ = \displaystyle\frac{CD}{2}\\IJ \parallel CD\end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases}MN = \displaystyle\frac{CD}{2}\\ MN \parallel CD\end{cases}\)
\(\Rightarrow M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\), \(AD\).
Vậy \(M\) là trung điểm \(AC\) thì tứ giác \(IJMN\) là hình bình hành.
Ví dụ 7. Một chiếc lều (Hình a) được minh hoạ như Hình b.
a. Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.
b. Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.
a. Ba mặt phẳng \((P)\), \((Q)\) và \((R)\) cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.
b. Ba mặt phẳng \((S)\), \((Q)\) và \((R)\) cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a. Một đường thẳng \(c\) cắt \(a\) thì cũng cắt \(b\).
b. Một đường thẳng \(c\) chéo với \(a\) thì cũng chéo với \(b\).
a. Mệnh đề: "Một đường thẳng \(c\) cắt \(a\) thì cũng cắt \(b\)" là mệnh đề sai vì \(c\) và \(b\) có thể chéo nhau.
Ví dụ như trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB \parallel CD\), \(CC'\) cắt \(CD\) nhưng không cắt \(AB\) do \(CD\) và \(AB\) chéo nhau.
b. Mệnh đề: "Một đường thẳng \(c\) chéo với \(a\) thì cũng chéo với \(b\)" là mệnh đề sai vì \(c\) và \(b\) có thể cùng mặt phẳng.
Ví dụ như trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB \parallel CD\), \(CC'\) chéo \(AB\) nhưng không chéo \(CD\) do \(CC'\) và \(CD\) cắt nhau.
Bài tập 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) và điểm \(M\) thuộc miền trong tam giác \(ABC\). Qua \(M\), vẽ đường thẳng \(d\) song song với \(SA\), cắt \((SBC)\) tại \(N\). Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm \(N\) và xác định giao tuyến của hai mặt phằng \((SAC)\) và \((CMN)\).
+ Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\).
+ Trong \((SIA)\) gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và \(SI\).
+ Khi đó \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và \((SBC)\).
+ Ta có \(\begin{cases}C \in (SAC) \cap (CMN)\\ SA \subset (SAC)\\ MN \subset (CMN)\\&SA \parallel MN\end{cases}\)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của \((SAC)\) và \((CMN)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(C\) và song song với \(SA\) và \(MN\).
Bài tập 3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((SAB)\).
b. Lấy một điểm \(M\) trên đoạn \(SA\) (\(M\) khác \(S\) và \(A\)), mặt phẳng \((BCM)\) cắt \(SD\) tại \(N\). Tứ giác \(CBMN\) là hình gì?
a. Ta có \(\begin{cases}S \in (SCD) \cap (SAB)\\ AB \subset (SAB)\\ CD \subset (SCD)\\ AB \parallel CD\end{cases}\)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của \((SCD)\) và \((SAB)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).
b. Ta có \(\begin{cases}M \in (BCM) \cap (SAD)\\ BC \subset (BCM)\\ AD \subset (SAD)\\ BC \parallel AD\end{cases}\)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của \((BCM)\) và \((SAD)\) là đường thẳng \(d'\) đi qua \(M\) và song song với \(BC\) và \(AD\).
Gọi \(N\) là giao điểm của \(SD\) và \(d'\).
Khi đó \(MN \parallel BC\), suy ra tứ giác \(CBMN\) là hình thang.
Bài tập 4. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(I\) là trung điểm của \(SD\). Hai mặt phẳng \((IAC)\) và \((SBC)\) cắt nhau theo giao tuyến \(Cx\). Chứng minh rằng \(Cx \parallel SB\).
+ Ta có \(\begin{cases} S \in (SCD) \cap (SAB)\\ AB \subset (SAB)\\ CD \subset (SCD)\\ AB \parallel CD\end{cases}\)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của \((SCD)\) và \((SAB)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).
+ Trong \((SCD)\) dựng hình bình hành \(CDES\) với \(E \in d\).
+ Do \(\begin{cases} SE \parallel AB\\ SE = CD = AB\end{cases} \Rightarrow \) tứ giác \(ABSE\) là hình bình hành.
+ Do \(\begin{cases} C \in (SBC) \cap (IAC)\\ SB \subset (SBC)\\ AE \subset (IAC)\\ SB \parallel AE\end{cases}\)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của \((SBC)\) và \((IAC)\) là đường thẳng \(Cx\) đi qua \(C\) và song song với \(SB\) và \(AE\).
Bài tập 5. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO\). Mặt phẳng \((ICD)\) cắt \(SA\), \(SB\) lần lượt tại \(M\), \(N\).
a. Hãy nói cách xác định hai điểm \(M\) và \(N\). Cho \(AB = a\). Tính \(MN\) theo \(a\).
b. Trong mặt phẳng \((CDMN)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh \(SK \parallel BC \parallel AD\).
a. Trong \((SAC)\), gọi \(M\) là giao điểm của \(IC\) và \(SA\).
+ Ta có \(M \in IC \subset (ICD) \).
+ Suy ra \(M\) là giao điểm của \(SA\) và \((ICD)\).
+ Trong \((SBD)\), gọi \(N\) là giao điểm của \(ID\) và \(SB\). Ta có \(N \in ID \subset (ICD)\).
+ Suy ra \(N\) là giao điểm của \(SD\) và \((ICD)\).
b. Ta có \(\begin{cases} S \in (SAD) \cap (SBC)\\ AD \subset (SAD)\\ BC \subset (SBC)\\ AD \parallel BC\end{cases}\)
\(\Rightarrow \) giao tuyến của \((SAD)\) và \((SBC)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AD\) và \(BC\).
Ví dụ 6. Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế.
a. Các dây điện song song với nhau.
b. Các hàng gạch song song với nhau.
c. Các đường bậc thang song song với nhau.
d. Các phím đàn song song với nhau.
e. Các giá sách song song với nhau.
g. Các viên gạch song song với nhau.