Bài 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
I. Góc lượng giác
1. Khái niệm góc lượng giác
+ Cho tia \(Oa\). Khi xét chuyển động của một tia \(Om\) quanh gốc \(O\) của nó tính từ vị trí ban đầu \(Oa\) theo một chiều cố định, người ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.
+ Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc quay \(360^\circ\), một vòng quay theo chiều âm tương ứng với góc quay \(-360^\circ\).
Khi tia \(Om\) quay:
\(\bullet\) nửa vòng theo chiều dương thì ta nói \(Om\) quay góc \[\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 360^\circ = 180^\circ;\]
\(\bullet\) \(\displaystyle\frac{1}{6}\) vòng theo chiều dương thì ta nói \(Om\) quay góc \[\displaystyle\frac{1}{6}\cdot 360^\circ= 60^\circ;\]
\(\bullet\) \(\displaystyle\frac{5}{4}\) vòng theo chiều âm thì ta nói \(Om\) quay góc \[\displaystyle\frac{5}{4}\cdot \left(-360^\circ\right)=-450^\circ.\]
Cho hai tia \(Oa\), \(Ob\).
+ Nếu một tia \(Om\) quay quanh gốc \(O\) của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia \(Oa\) và dừng ở vị trí tia \(Ob\) thì ta nói tia \(Om\) quét một góc lượng giác có tia đầu \(Oa\), tia cuối \(Ob\). Ký hiệu: \((Oa,Ob) = \alpha\).
+ Khi tia \(Om\) quay một góc \(\alpha\), ta nói số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) bằng \(\alpha\).
Chú ý. Với hai tia \(Oa\) và \(Ob\) cho trước, có vô số góc lượng giác có tia đầu \(Oa\) và tia cuối \(Ob\).
Ví dụ 1. Xác định số đo của các góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình sau
+ Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ (1) là \(90^\circ\).
+ Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ (2) là \(90^\circ + 360^\circ = 450^\circ\).
+ Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ (3) là \(90^\circ + 2\cdot 360^\circ = 810^\circ\).
+ Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ (4) là \(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot \left(-360^\circ\right)=-270^\circ\).
Nhận xét. Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu \(Oa\) và tia cuối \(Ob\) sai khác nhau một bội nguyên của \(360^\circ\) nên có công thức tổng quát là
\[\text{sđ}\left(Oa,Ob\right) = \alpha^\circ + k360^\circ\, (k\in \mathbb{Z}).\]
hoặc thường viết là
\[(Oa,Ob)=\alpha^\circ + k 360^\circ.\]
với \(\alpha^\circ\) là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu \(Oa\) và tia cuối \(Ob\). Chẳng hạn, trong hình đầu tiên của ví dụ trên thì \((Oa,Ob)=90^\circ + k360^\circ\).
Ví dụ 2. Cho \(\widehat{MON} = 60^\circ\). Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong hình vẽ và viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác \((OM,ON)\).
+ Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(60^\circ\).
+ Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(60^\circ + 2\cdot 360^\circ = 780^\circ\).
+ Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(-300^\circ\).
Công thức tổng quát: \((OM,ON) = 60^\circ + k360^\circ\), \(k\in\mathbb Z\).
Ví dụ 3. Trong các khoảng thời gian từ \(0\) giờ đến \(2\) giờ \(15\) phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?
+ Gọi \(Om\), \(On\) là các tia biểu diễn cho vị trí của kim phút lần lượt tại \(0\) giờ và \(2\) giờ \(15\) phút.
+ Khi đó kim phút đã quay hết \(2\) vòng và đi tiếp \(\displaystyle\frac{1}{4}\) vòng của đồng hồ.
+ Mà kim phút chuyển động theo chiều âm nên ta có
\[(Om,On) = \displaystyle\frac{1}{4}\cdot (-360^\circ) + 2\cdot (-360^\circ) = -810^\circ.\]
+ Vậy kim phút đã quét hết một góc lượng giác là \(-810^\circ\).
2. Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Hệ thức Chasles: Với ba tia \(Oa\), \(Ob\) và \(Oc\) bất kì, ta có
\[(Oa,Ob) + (Ob,Oc) = (Oa,Oc) + k 360^\circ, \quad (k\in \mathbb{Z}).\]
Ví dụ.
Trong hình bên, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công thức tổng quát đo số đo của các góc lượng giác \((Ox,ON)\) và \((Ox,OP)\).
+ Vì ba cánh quạt phân bố đều nhau nên ta có \(\widehat{MON}=\widehat{NOP}=\widehat{POM}=\displaystyle\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\).
+ Suy ra \(\left(OM,ON\right)=120^\circ\), \((OM,OP)=-120^\circ\).
+ Theo hình vẽ, ta lại có \((Ox,OM)= -50^\circ\).
+ Khi đó, công thức tổng quát đo số đo các góc lượng giác \((Ox,ON)\), \((Ox,OP)\) là
\((Ox,ON)= (Ox,OM) + (OM,ON) + k360^\circ\) \(= -50^\circ + 120^\circ +k360^\circ=70^\circ + k360^\circ;\)
\((Ox,OP)= (Ox,OM) + (OM,OP) + k360^\circ\) \(= -50^\circ + (-120^\circ)+ k360^\circ = -170^\circ+ k360^\circ.\)
II. Đơn vị radian
Trên đường tròn bán kính \(R\) tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng \(R\) được gọi là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là \(1 \mathrm{rad}\) ).
+ Trên đường tròn bán kính \(R\), một góc ở tâm có số đo \(\alpha\) rad thì chắn một cung có độ dài \(\alpha R\).
+ Vì góc bẹt \(\left(180^{\circ}\right)\) chắn nửa đường tròn với độ dài là \(\pi R\), nên góc bẹt có số đo theo đơn vị radian là \(\pi\). Khi đó ta viết
\[180^{\circ}=\pi\, \mathrm{rad}.\]
+ Suy ra, với \(\pi \approx 3{,}14\), ta có \(1^{\circ}=\displaystyle\frac{\pi}{180}\, \mathrm{rad} \approx 0{,}0175\, \mathrm{rad}\) và \(1\, \mathrm{rad}=\left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 57{,}3^{\circ}\) (hay \(57^{\circ} 17^{\prime} 45^{\prime \prime}\) ).
+ Do đó ta có công thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ và ngược lại như sau:
\[a^{\circ}=\displaystyle\frac{\pi a}{180}\, \mathrm{rad};\quad \alpha \operatorname{rad}=\left(\displaystyle\frac{180 \alpha}{\pi}\right)^{\circ}.\]
Ví dụ. Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại
a. \(-60^{\circ}\).
b. \(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\, \mathrm{rad}\).
c. \(3\, \mathrm{rad}\).
a. \(-60^{\circ}=-\displaystyle\frac{60 \pi}{180}\, \mathrm{rad}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}\, \mathrm{rad}\).
b. \(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\, \mathrm{rad}=\left(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\cdot \displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=72^{\circ}\).
c. \(3\, \mathrm{rad}=\left(3 \cdot \displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=\left(\displaystyle\frac{540}{\pi}\right)^{\circ} \approx 171{,}89^{\circ}\).
Chú ý.
+ Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo.
Ví dụ, \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) rad được viết là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(2\) rad được viết là 2.
+ Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác \((O a, O b)\) là
\[(O a, O b)=\alpha+k 2 \pi\; (k \in \mathbb{Z}).\]
Trong đó \(\alpha\) là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu \(O a\) và tia cuối \(O b\).
+ Không được viết \(\alpha+k 360^{\circ}\) hay \(a^{\circ}+k 2 \pi\) (vì không cùng đơn vị đo).
III. Đường tròn lượng giác
+ Trong mặt phẳng toạ độ \(O x y\), cho đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng 1. Trên đường tròn này, chọn điểm \(A(1;0)\) làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lương giác.
+ Cho số đo góc \(\alpha\) bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy nhất một điểm \(M\) sao cho số đo góc lượng giác (\(O A, O M\)) bằng \(\alpha\) (Hình 12). Khi đó điểm \(M\) được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo \(\alpha\) trên đường tròn lượng giác.
Ví dụ. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
a. \(865^{\circ}\).
b. \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}\).
a. Ta có \(865^{\circ}=145^{\circ}+2\cdot 360^{\circ}\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(865^{\circ}\) là điểm \(M\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho \(\widehat{A O M}=145^{\circ}\)
b. Ta có \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}=\displaystyle\frac{-\pi}{3}+(-1) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}\) là điểm \(N\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho \(\widehat{A O N}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\)
BÀI TẬP
Bài tập 1. Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:
a. \(38^{\circ}\);
b. \(-115^{\circ}\);
c. \(\left(\displaystyle\frac{3}{\pi}\right)^{\circ}\).
a. \(38^{\circ}=\displaystyle\frac{38\pi}{180}=\displaystyle\frac{19\pi}{90}\).
b. \(-115^{\circ}=\displaystyle\frac{-115\pi}{180}=-\displaystyle\frac{23\pi}{36}\);
c. \(\left(\displaystyle\frac{3}{\pi}\right)^{\circ} = \displaystyle\frac{3\pi}{\pi\cdot 180} = \displaystyle\frac{1}{60}\).
Bài tập 2. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:
a. \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\);
b. \(-5\);
c. \(\displaystyle\frac{13 \pi}{9}\).
a. \(\displaystyle\frac{\pi}{12}=\left(\displaystyle\frac{\pi\cdot 180}{12\cdot \pi}\right)^\circ=15^\circ\);
b. \(-5=\left(\displaystyle\frac{-5\cdot 180}{\pi}\right)^\circ=\left(\displaystyle\frac{-900}{\pi}\right)^\circ\);
c. \(\displaystyle\frac{13 \pi}{9}=\left(\displaystyle\frac{13 \pi\cdot 180}{9\cdot \pi}\right)=260^\circ\).
Bài tập 3. Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:
a. \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}\);
b. \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}\);
c. \(-765^{\circ}\).
a. Ta có \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{3}+(-3) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}\) là điểm \(M\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho \(\widehat{A O M}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) (Hình a).
b. Ta có \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+(2) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}\) là điểm \(N\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho \(\widehat{A O N}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}\) (Hình b).
c. Ta có \(-765^{\circ}=-45^{\circ}+(-2)\cdot 360^{\circ}\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(865^{\circ}\) là điểm \(K\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho \(\widehat{A O M}=45^{\circ}\) (Hình c).
Bài tập 4. Góc lượng giác \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?
\[\displaystyle\frac{3 \pi}{7};\quad \displaystyle\frac{10\pi}{7};\quad \displaystyle\frac{-25 \pi}{7}.\]
a. \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}=\displaystyle\frac{3 \pi}{7}+(2) \cdot 2 \pi\).
b. \(\displaystyle\frac{10 \pi}{7}=-\displaystyle\frac{4 \pi}{7}+\cdot 2 \pi\).
c. \(\displaystyle\frac{-25 \pi}{7}=\displaystyle\frac{3 \pi}{7}+(-2) \cdot 2 \pi\).
Vậy góc lượng giác \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác \(\displaystyle\frac{3 \pi}{7};\displaystyle\frac{-25 \pi}{7}\).
Bài tập 5. Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (\(OA, OM\)) và \((OA, ON)\) trong hình bên.
+ \((OA, OM)=120^\circ+k360^\circ \; (k \in \mathbb{Z})\).
+ \((OA, ON)=-75^\circ+k360^\circ \; (k \in \mathbb{Z})\).
Bài tập 6. Trong hình vẽ bên, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần bằng nhau. Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác \((Ox, ON)\).
+ Ta có \(\widehat{AON}=\left(\displaystyle\frac{360^\circ}{5} -45^\circ\right)+72^\circ=99^\circ\).
+ Vậy \((Ox, ON)=-99^\circ+k360^\circ \; (k \in \mathbb{Z})\).
Bài tập 7. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:
a. \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z})\);
b. \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}\,(k \in \mathbb{Z})\).
a. Ta có
\(\bullet\ \) \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi =\displaystyle\frac{\pi}{2} +\displaystyle\frac{k2\pi}{2}\,(k \in \mathbb{Z})\).
\(\bullet\ \) Vậy có \(2\) điểm \(M_1\), \(M_2\) biểu diễn góc lượng giác \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z})\) trên đường tròn lượng giác là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) (Hình a).
b. Ta có
\(\bullet\ \) \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{k 2\pi}{8}\,(k \in \mathbb{Z})\).
\(\bullet\ \) Vậy có \(8\) điểm \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\), \(M_5\), \(M_6\), \(M_7\) và \(M_8\) biểu diễn góc lượng giác \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}\,(k \in \mathbb{Z})\) trên đường tròn lượng giác là \(0\), \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\), \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\), \(\pi\), \(\displaystyle\frac{5\pi}{4}\), \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), \(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\) (Hình b).
Bài tập 8. Vị trí các điểm \(B,C,D\) trên cánh quạt động cơ máy bay trong hình 16 có thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây?
\[\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3};\quad \displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3};\quad \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{\pi}{3}\quad (k \in \mathbb{Z}).\]
Từ hình vẽ ta suy ra các điểm biểu diễn góc lượng giác như sau: điểm \(B\colon\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(C\colon\displaystyle\frac{7\pi}{6}\), \(D\colon\displaystyle\frac{11\pi}{6}\).
\(\bullet\ \) Với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\), ta có bảng sau
| \(k=0\) | \(k=1\) | \(k=2\) |
|---|---|---|
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{7\pi}{6}\) | \(\dfrac{11\pi}{6}\) |
\(\bullet\ \) Với \(\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\), ta có bảng sau
| \(k=1\) | \(k=2\) | \(k=3\) |
|---|---|---|
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{7\pi}{6}\) | \(\dfrac{11\pi}{6}\) |
\(\bullet\ \) Với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{\pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\), ta có bảng sau
| \(k=0\) | \(k=1\) | \(k=2\) | \(k=3\) | \(k=4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\dfrac{7\pi}{6}\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(\dfrac{11\pi}{6}\) |
Vậy \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z});\) \(\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\) biểu diễn cho các điểm \(B\), \(C\), \(D\).
Bài tập 9. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc \(\alpha=\left(\displaystyle\frac{1}{60}\right)^{\circ}\) của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo \(\alpha\) sang radian và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là \(6371\, km\). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
1 hải lí = \(\alpha\cdot R=\displaystyle\frac{1\cdot \pi }{60\cdot 180}\cdot 6371 \approx 1{,}85\) km.