\(\S2\) GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho điểm \( x_0 \) thuộc khoảng \( K \) và hàm số \( y=f(x) \) xác định trên \( K \) hoặc \( K\setminus\{x_0\} \).
Ta nói hàm số \( y=f(x) \) có giới hạn hữu hạn là số \( L \) khi \( x \) dần tới \( x_0 \) nếu với dãy số \( (x_n) \) bất kì, \( x_n\in K\setminus\{x_0\} \) và \( x_n \to x_0 \) thì \( f(x_n)\to L \), kí hiệu \( \lim \limits_{x \to x_0} f(x) =L\) hay \( f(x)\to L \) khi \( x\to x_0 \).
Ví dụ 1. Cho hàm số \( f(x)=\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2} \). Tìm \( \lim \limits_{x \to -2} f(x) \).
Hàm số \( y=f(x) \) xác định trên \( \mathbb{R}\setminus\{-2\} \).
Giả sử \( (x_n) \) là dãy số bất kì, thỏa mãn \( x_n\neq -2 \) với mọi \( n \) và \( x_n\to -2 \) khi \( n\to +\infty \).
Ta có
\(\lim f(x_n)=\lim \displaystyle\frac{x_n^2-4}{x_n+2}\) \(=\lim \displaystyle\frac{(x_n-2)(x_n+2)}{x_n+2}=\lim (x_n-2)\) \(=\lim x_n-2=-2-2=-4.\)
Vậy \( \lim \limits_{x \to -2} f(x)=-4 \).
Nhận xét.
\( \lim \limits_{x \to x_0} x=x_0 \); \(\quad \lim \limits_{x \to x_0} c=c \) (\( c \) là hằng số).
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to 3} (2x^2-x) \);
b. \( \lim \limits_{x \to -1} \displaystyle\frac{x^2+2x+1}{x+1} \).
a. Đặt \( g(x)=2x^2-x \).
Hàm số \( y=g(x) \) xác định trên \( \mathbb{R}\).
Giả sử \( (x_n) \) là dãy số bất kì, thỏa mãn \( x_n\to 3 \) khi \( n\to +\infty \).
Ta có
\(\lim g(x_n)=\lim (2x_n^2-x_n)\) \(=2\cdot \left(\lim x_n\right)^2-\lim x_n\) \(=2\cdot 3^2-3=15.\)
Vậy \( \lim \limits_{x \to 3} g(x)=15 \).
b. Đặt \( h(x)=\displaystyle\frac{x^2+2x+1}{x+1} \).
Hàm số \( y=h(x) \) xác định trên \( \mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
Giả sử \( (x_n) \) là dãy số bất kì, thỏa mãn \( x_n\neq -1 \) với mọi \( n\) và \( x_n\to -1 \) khi \( n\to +\infty \).
Ta có
\(\lim h(x_n)=\lim \displaystyle\frac{x_n^2+2x_n+1}{x_n+1}\) \(=\lim (x_n+1)=\lim x_n+1\) \(=-1+1=0.\)
Vậy \( \lim \limits_{x \to -1} h(x)=0 \).
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
Chú ý.
1. Cho \( \lim \limits_{x \to x_0} f(x) =L\) và \( \lim \limits_{x \to x_0} g(x)=M \). Khi đó:
\(\bullet\quad\) \( \lim \limits_{x \to x_0} [f(x)+g(x)]=L+M \);
\(\bullet\quad\) \( \lim \limits_{x \to x_0} [f(x)-g(x)]=L-M \);
\(\bullet\quad\) \( \lim \limits_{x \to x_0} [f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M \);
\(\bullet\quad\) \( \lim \limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\frac{L}{M} \) (với \( M\neq 0 \)).
2. Nếu \( f(x)\geq 0 \) và \( \lim \limits_{x \to x_0} f(x) =L\) thì \( L\geq 0 \) và \( \lim \limits_{x \to x_0} \sqrt{f(x)}=\sqrt{L} \).
(Dấu của \( f(x) \) được xét trên khoảng tìm giới hạn, \( x\neq x_0 \)).
Nhận xét.
\(\bullet\quad\) \( \lim \limits_{x \to x_0} x^k=x_0^k \), \( k \) là số nguyên dương;
\(\bullet\quad\) \( \lim \limits_{x \to x_0} [cf(x)]=c\lim \limits_{x \to x_0} f(x) \) (\( c\in \mathbb{R} \), nếu tồn tại \( \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \in \mathbb{R}\)).
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to 1} (x^2-4x+2)\);
b. \( \lim \limits_{x \to 2} \displaystyle\frac{3x-2}{2x+1}\).
a.
\( \lim \limits_{x \to 1} (x^2-4x+2)=\lim \limits_{x \to 1} x^2-\lim \limits_{x \to 1} (4x)+\lim \limits_{x \to 1} 2\) \(=1^2-4\lim \limits_{x \to 1} x+2=1-4\cdot 1+2=-1\);
b.
\( \lim \limits_{x \to 2} \displaystyle\frac{3x-2}{2x+1}=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \to 2} (3x-2)}{\lim \limits_{x \to 2} (2x+1)}\) \(=\displaystyle\frac{3\lim \limits_{x \to 2} x-2}{2\lim \limits_{x \to 2} x+1}=\displaystyle\frac{3 \cdot 2-2}{2\cdot 2+1}=\displaystyle\frac{4}{5}\).
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}\);
b. \( \lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\).
a.
\( \lim \limits_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}=\lim \limits_{x \to 2} \displaystyle\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\) \(=\lim \limits_{x \to 2} (x+2)=\lim \limits_{x \to 2} x+\lim \limits_{x \to 2} 2=2+2=4\).
b.
\(\begin{aligned}&\lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\\ =\ &\lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{\left(\sqrt{x+1}-2\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}\quad \left(\text{nhân cả tử và mẫu cho }\left(\sqrt{x+1}+2\right)\right)\\ =\ &\lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{(x+1)-4}{(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}\\ =\ &\lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\\ =\ & \displaystyle\frac{1}{\lim \limits_{x \to 3} \left(\sqrt{x+1}+2\right)}\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{\lim \limits_{x \to 3} \sqrt{x+1}+2}\\ =\ & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{\lim \limits_{x \to 3} (x+1)}+2}= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3+1}+2} =\displaystyle\frac{1}{4}.\end{aligned}\)
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to -2} (x^2+5x-2)\);
b. \( \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}\).
a.
\( \lim \limits_{x \to -2} (x^2+5x-2)\) \(=(\lim \limits_{x \to -2} x)^2+\lim \limits_{x \to -2} (5x)-\lim \limits_{x \to -2} 2\) \(=(-2)^2+5\cdot (-2)-2=-8\).
b.
\( \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}=\lim \limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}\) \(=\lim \limits_{x \to 1} (x+1)=\lim \limits_{x \to 1} x+1=1+1=2\).
3. Giới hạn một phía
\(\bullet\quad\) Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên khoảng \( (x_0;b) \).
Ta nói hàm số \( y=f(x) \) có giới hạn bên phải là số \( L \) khi \( x \) dần tới \( x_0 \) nếu với dãy số \( (x_n) \) bất kì, \( x_0< x_n < b \) và \( x_n\to x_0 \) thì \( f(x_n)\to L \), kí hiệu \( \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) =L\).
\(\bullet\quad\) Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên khoảng \( (a;x_0) \).
Ta nói hàm số \( y=f(x) \) có giới hạn bên trái là số \( L \) khi \( x \) dần tới \( x_0 \) nếu với dãy số \( (x_n) \) bất kì, \( a< x_n< x_0 \) và \( x_n\to x_0 \) thì \( f(x_n)\to L \), kí hiệu \( \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) =L\).
Chú ý.
\(\bullet\quad\) Ta thừa nhận các kết quả sau:
\(\circ\quad\) \( \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)=L\) và \( \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)=L \) khi và chỉ khi \( \lim \limits_{x \to x_0} f(x) =L\);
\(\circ\quad\) Nếu \( \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)\neq \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)\) thì không tồn tại \( \lim \limits_{x \to x_0} f(x) \).
\(\bullet\quad\) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay \( x\to x_0 \) bằng \( x\to x_0^+ \) hoặc \( x\to x_0^- \).
Ví dụ 1. Cho hàm số \( f(x)=\begin{cases} 0 & \text{khi } x<0\\ 1 &\text{khi } x>0.\end{cases}\)
a. Tìm các giới hạn \( \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)\) và \( \lim \limits_{x \to 0^-} f(x) \).
b. Có tồn tại \( \lim \limits_{x \to 0} f(x)\)?
a. Giả sử \( (x_n) \) là dãy số bất kì, \( x_n>0 \) và \( x_n \to 0\). Khi đó \( f(x_n)=1 \) nên \( \lim f(x_n)=\lim 1=1 \).
Vậy \( \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)=1\).
Giả sử \( (x_n) \) là dãy số bất kì, \( x_n<0 \) và \( x_n \to 0\). Khi đó \( f(x_n)=0 \) nên \( \lim f(x_n)=\lim 0= 0\).
Vậy \( \lim \limits_{x \to 0^-} f(x)=0\).
b. Vì \( \lim \limits_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim \limits_{x \to 0^-} f(x) \) nên không tồn tại \( \lim \limits_{x \to 0} f(x) \).
Ví dụ 2. Cho hàm số \( f(x)=\begin{cases} 1-2x & \text{khi } x\leq -1\\ x^2+2 & \text{khi } x>-1.\end{cases}\)
Tìm các giới hạn \( \lim \limits_{x \to {-1}^+} f(x)\) và \( \lim \limits_{x \to {-1}^-} f(x) \) và \( \lim \limits_{x \to -1} f(x) \) (nếu có).
+) Giả sử \( (x_n) \) là dãy số bất kì, \( x_n<-1 \) và \( x_n \to -1\). Khi đó \( \lim f(x_n)=\lim (1-2x_n)=3 \).
Vậy \( \lim \limits_{x \to -1^-} f(x)=3\).
Giả sử \( (x_n) \) là dãy số bất kì, \( x_n>-1 \) và \( x_n \to -1\). Khi đó \( \lim f(x_n)=\lim (x_n^2+2)=3 \).
Vậy \( \lim \limits_{x \to -1^+} f(x)=3\).
+) Vì \( \lim \limits_{x \to -1^+} f(x) = \lim \limits_{x \to -1^-} f(x) \) nên tồn tại \( \lim \limits_{x \to -1} f(x) \) và \( \lim \limits_{x \to -1} f(x)=3 \).
3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
\(\bullet\quad\) Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên khoảng \( (a;+\infty) \).
Ta nói hàm số \( y=f(x) \) có giới hạn hữu hạn là số \( L \) khi \( x \to +\infty \) nếu với dãy số \( (x_n) \) bất kì, \( x_n>a \) và \( x_n\to +\infty \) thì \( f(x_n)\to L \), kí hiệu \( \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) =L\) hay \( f(x) \to L \) khi \( x\to +\infty \).
\(\bullet\quad\) Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên khoảng \( (-\infty;a) \).
Ta nói hàm số \( y=f(x) \) có giới hạn hữu hạn là số \( L \) khi \( x \to -\infty \) nếu với dãy số \( (x_n) \) bất kì, \( x_n< a \) và \( x_n\to -\infty \) thì \( f(x_n)\to L \), kí hiệu \( \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) =L\) hay \( f(x)\to L \) khi \( x\to -\infty \).
Ví dụ 1. Cho hàm số \( f(x)=\displaystyle\frac{2x-1}{x+2} \). Tìm \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) \).
Hàm số xác định trên \( (-\infty;-2) \) và \( (-2;+\infty) \).
Giả sử \( (x_n) \) là dãy số sao cho \( x_n>-2 \) và \( x_n\to +\infty \). Ta có
\(\lim f(x_n)=\lim \displaystyle\frac{2x_n-1}{x_n+2}\) \(=\lim \displaystyle\frac{2-\displaystyle\frac{1}{x_n}}{1+\displaystyle\frac{2}{x_n}}=\displaystyle\frac{2-\lim \displaystyle\frac{1}{x_n}}{1+\lim\displaystyle\frac{2}{x_n}}\) \(=\displaystyle\frac{2-0}{1+0}=2.\)
Vậy \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =2\).
Chú ý.
\(\bullet\quad\) Với \( c \) là hằng số và \( k \) là số nguyên dương, ta luôn có:
\(\lim \limits_{x \to \pm \infty} c=c\quad \text{và} \quad \lim \limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{c}{x^k}=0.\)
\(\bullet\quad\) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi thay \( x\to x_0 \) bằng \( x\to +\infty \) hoặc \( x\to -\infty \).
Ví dụ 2. Tìm \( \lim\limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{x^2-3x}{2x^2+1}\).
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{x^2-3x}{2x^2+1}=\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{3}{x}}{2+\displaystyle\frac{1}{x^2}}\) \(=\displaystyle\frac{\lim\limits_{x \to -\infty}\left(1-\displaystyle\frac{3}{x}\right)}{\lim\limits_{x \to -\infty}\left(2+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{1-\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{3}{x}}{2+\lim \limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}} =\displaystyle\frac{1-0}{2+0}=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
a. \( \lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1-3x^2}{x^2+2x} \);
b. \( \lim \limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1} \).
a.
\( \lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1-3x^2}{x^2+2x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2}-3}{1+\displaystyle\frac{2}{x}}\) \(=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}-3\right)}{\lim \limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{2}{x}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}-\lim \limits_{x \to +\infty} 3}{\lim \limits_{x \to +\infty} 1+\lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2}{x}}\) \(=\displaystyle\frac{0-3}{1+0}=-3\);
b.
\( \lim \limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=\lim \limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}\) \(=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{2}{x}}{\lim \limits_{x \to -\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{2\cdot \lim \limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{1}{x}}{\lim \limits_{x \to -\infty} 1+\lim \limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{1}{x}}=\displaystyle\frac{0}{1+0}=0\).
Ví dụ 4. Một cái hồ đang chứa \( 200 \) m\(^3\) nước mặn với nồng độ muối \( 10 \mathrm{\;kg/m}^3\). Người ta ngọt hóa nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với vận tốc \( 2 \) m\(^3\)/phút.
a. Viết biểu thức \( C(t) \) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau \( t \) phút kể từ khi bắt đầu bơm.
b. Tìm giới hạn \( \lim \limits_{t \to +\infty} C(t) \) và giải thích ý nghĩa.
a. Sau thời gian \( t \) phút, số m\(^3\) nước trong hồ là \(200+2t \) (m\(^3\)).
Số kilôgam muối là \( 200\cdot 10=2000 \) (kg).
Nồng độ muối của nước trong hồ sau \( t \) phút khi bắt đầu bơm là
\(C(t)=\displaystyle\frac{2000}{200+2t}=\displaystyle\frac{1000}{100+t} \; (\mathrm{kg/m}^3).\)
b. Khi \( t\to +\infty \), ta xét giới hạn
\(\lim \limits_{t \to +\infty} C(t)=\lim \limits_{t \to +\infty} \displaystyle\frac{1000}{100+ t}=0.\)
4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên khoảng \( (x_0;b) \).
\(\bullet\quad\) Ta nói hàm số \( y=f(x) \) có giới hạn bên phải là \( +\infty \) khi \( x \) dần tới \( x_0 \) về bên phải nếu với dãy số \( (x_n) \) bất kì, \( x_0< x_n< b \) và \( x_n\to x_0 \) thì \( f(x_n)\to +\infty \), kí hiệu \( \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) =+\infty\) hay \( f(x)\to +\infty \) khi \( x \to x_0^+ \).
\(\bullet\quad\) Ta nói hàm số \( y=f(x) \) có giới hạn bên phải là \( -\infty \) khi \( x \) dần tới \( x_0 \) về bên phải nếu với dãy số \( (x_n) \) bất kì, \( x_0< x_n< b \) và \( x_n\to x_0 \) thì \( f(x_n)\to -\infty \), kí hiệu \( \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) =-\infty\) hay \( f(x)\to -\infty \) khi \( x\to x_0^+ \).
Chú ý.
\(\bullet\quad\) Các giới hạn \( \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)=+\infty \), \( \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)=-\infty \), \( \lim \limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty \), \( \lim \limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty \), \( \lim \limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty \), \( \lim \limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty \) được định nghĩa như trên.
\(\bullet\quad\) Ta có các giới hạn thường dùng như sau:
\(\circ\quad\) \( \lim \limits_{x \to a^+} \displaystyle\frac{1}{x-a}=+\infty \) và \( \lim \limits_{x \to a^-}\displaystyle\frac{1}{x-a}=-\infty \) (\( a\in \mathbb{R} \));
\(\circ\quad\) \( \lim \limits_{x \to +\infty}x^k=+\infty \) với \( k \) nguyên dương;
\(\circ\quad\) \( \lim \limits_{x \to -\infty}x^k=+\infty \) với \( k \) là số chẵn;
\(\circ\quad\) \( \lim \limits_{x \to -\infty}x^k=-\infty \) với \( k \) là số lẻ.
\(\bullet\quad\) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.
Nếu \( \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)=L\neq 0 \) và \( \lim \limits_{x \to x_0^+} g(x)=+\infty \) (hoặc \( \lim \limits_{x \to x_0^+} g(x)=-\infty \)) thì \( \lim \limits_{x \to x_0^+}[f(x)\cdot g(x)] \) được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:
\(\bullet\quad\) Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay \( x_0^+ \) thành \( x_0^- \) (hoặc \( +\infty \), \( -\infty \)).
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to 2^+} \displaystyle\frac{1-2x}{x-2} \);
b. \( \lim \limits_{x \to -\infty} (x^2+1) \).
a. \( \lim \limits_{x \to 2^+} \displaystyle\frac{1-2x}{x-2} \);
Ta có
\( \lim \limits_{x \to 2^+} (1-2x)=1-2\lim \limits_{x \to 2^+}x=1-2\cdot 2=-3 \);
\( \lim \limits_{x \to 2^+} \displaystyle\frac{1}{x-2}=+\infty \).
Do đó
\( \lim \limits_{x \to 2^+} \displaystyle\frac{1-2x}{x-2}=\lim \limits_{x \to 2^+} \left[(1-2x)\cdot \displaystyle\frac{1}{x-2}\right]=-\infty \).
b. \( \lim \limits_{x \to -\infty} (x^2+1) \).
Viết \( x^2+1 =x^2\left(1+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)\).
Ta có
\( \lim \limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty \);
\( \lim \limits_{x \to -\infty} \left(1+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=1+\lim \limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{1}{x^2}=1+0=1 \).
Do đó
\( \lim\limits_{x \to -\infty} (x^2+1)=\lim \limits_{x \to -\infty} \left[x^2\left(1+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)\right]=+\infty\).
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{2x}{x-3} \);
b. \( \lim \limits_{x \to +\infty} (3x-1) \).
a. \( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{2x}{x-3} \);
Ta có
\( \lim \limits_{x \to 3^-} (2x)=2\lim \limits_{x \to 3^-}x=2\cdot (-3)=-6 \);
\( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{1}{x-3}=-\infty \).
Do đó
\( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{2x}{x-3}=\lim \limits_{x \to 3^-} \left[(2x)\cdot \displaystyle\frac{1}{x-3}\right]=+\infty \).
b. \( \lim \limits_{x \to +\infty} (3x-1) \).
Viết \( 3x-1 =x\left(3-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\).
Ta có
\( \lim \limits_{x \to +\infty} x=+\infty \);
\( \lim \limits_{x \to +\infty} \left(3-\displaystyle\frac{1}{x}\right)=3-\lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x}=3-0=3 \).
Do đó
\( \lim\limits_{x \to +\infty} (3x-1)=\lim \limits_{x \to +\infty} \left[x\left(3-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\right]=+\infty\).
BÀI TẬP
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập 1
Tìm các giới hạn sau
a. \( \lim \limits_{x \to -2} (x^2-7x+4) \);
b. \( \lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{x-3}{x^2-9} \);
c. \( \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1} \).
a.
\( \lim \limits_{x \to -2} (x^2-7x+4)=\lim \limits_{x \to -2} x^2-7\lim \limits_{x \to -2} x +4\) \(=(-2)^2-7\cdot (-2)+4=22\);
b.
\( \lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{x-3}{x^2-9} =\lim \limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{1}{x+3}=\displaystyle\frac{1}{3+3}=\displaystyle\frac{1}{6}\);
c.
\( \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}=\lim \limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{1-x}{(x-1)\left(3+\sqrt{x+8}\right)}\) \(=\lim \limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{-1}{\left(3+\sqrt{x+8}\right)} =\displaystyle\frac{-1}{3+\sqrt{1+8}}=\displaystyle\frac{-1}{6}\).
Bài tập 2
Cho hàm số \( f(x)=\begin{cases} -x^2 & \text{khi } x<1\\ x & \text{khi }x\geq 1.\end{cases}\)
Tìm các giới hạn \( \lim \limits_{x \to 1^+} f(x) \), \( \lim \limits_{x \to 1^-} f(x) \), \( \lim \limits_{x \to 1} f(x) \) (nếu có).
+) \( \lim \limits_{x \to 1^+} f(x) =\lim \limits_{x \to 1^+} x=1\).
+) \( \lim \limits_{x \to 1^-} f(x) =\lim \limits_{x \to 1^-} (-x^2)=-1^2=-1\).
Vì \( \lim \limits_{x \to 1^+} f(x)=1\neq -1=\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) \) nên không tồn tại giới hạn \( \lim \limits_{x \to 1} f(x) \).
Bài tập 3
Tìm các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{4x+3}{2x} \);
b. \( \lim \limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2}{3x+1} \);
c. \( \lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \).
a.
\( \lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{4x+3}{2x}=\lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{4+\displaystyle\frac{3}{x}}{2}=\displaystyle\frac{4+0}{2}=2 \);
b.
\( \lim \limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2}{3x+1}=\lim \limits_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{x}}{3+\displaystyle\frac{1}{x}}=\displaystyle\frac{0}{3+0}=0 \);
c.
\( \lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^2\left(1+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}}{x\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}\) \(=\lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{|x|\sqrt{\left(1+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}}{x\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}\) \(=\lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}} =1\).
Bài tập 4
Tìm các giới hạn sau:
a. \( \lim \limits_{x \to -1^+} \displaystyle\frac{1}{x+1} \);
b. \( \lim \limits_{x \to -\infty} (1-x^2)\);
c. \( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{x}{3-x} \).
a. \( \lim \limits_{x \to -1^+} \displaystyle\frac{1}{x+1} \);
Ta có
\( \lim \limits_{x \to -1^+} \displaystyle\frac{1}{x+1}=\lim \limits_{x \to -1^+} \displaystyle\frac{1}{x-(-1)}=+\infty \).
Vậy \( \lim \limits_{x \to -1^+} \displaystyle\frac{1}{x+1} =+\infty \).
b. \( \lim \limits_{x \to -\infty} (1-x^2)\);
Ta có
\( (1-x^2)=x^2\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{x^2}-1\right)\) và
\( \lim \limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty \);
\( \lim \limits_{x \to -\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{x^2}-1\right)=-1 \).
Vậy \( \lim \limits_{x \to -\infty} (1-x^2)=-\infty\).
c. \( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{x}{3-x} \).
Ta có
\(\displaystyle\frac{x}{3-x}=x\cdot \displaystyle\frac{-1}{x-3} \) và
\(\lim \limits_{x \to 3^-} x =3\);
\( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{-1}{x-3}=+\infty \).
Vậy \( \lim \limits_{x \to 3^-} \displaystyle\frac{x}{3-x}=+\infty \).
Bài tập 5
Trong hồ có chứa \( 6000 \) lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là \( 30 \) gam/lít vào hồ với tốc độ \( 15 \) lít/phút.
a. Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau \( t \) phút kể từ khi bắt đầu bơm là \break \( C(t)=\displaystyle\frac{30t}{400+t} \) (gam/lít).
b. Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu \( t\to +\infty \).
a. Sau thời gian \( t \) phút, số lít nước trong hồ là \(6000+15t \) (lít).
Số gam muối trong số lít nước bơm vào là \( 30\cdot 15t=450t \) (gam).
Nồng độ muối của nước trong hồ sau \( t \) phút khi bắt đầu bơm là
\(C(t)=\displaystyle\frac{450t}{6000+15t}\) \(=\displaystyle\frac{30t}{400+t} \) (gam/lít).
b. Khi \( t\to +\infty \), ta xét giới hạn
\(\lim \limits_{t \to +\infty} C(t)=\lim \limits_{t \to +\infty} \displaystyle\frac{30t}{400+t}\) \(=\lim \limits_{t \to +\infty} \displaystyle\frac{30}{\displaystyle\frac{400}{t}+1}=30.\)
Vậy khi bơm nước biểm vào hồ chứa, không giới hạn thời gian thì nồng độ muối trong hồ chứa chính là nồng độ muối của nước biển.
Bài tập 6
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \( f>0 \) không đổi. Gọi \( d \) và \( d' \) lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm \( O \) của thấu kính (xem hình bên dưới). Ta có công thức: \( \displaystyle\frac{1}{d}+\displaystyle\frac{1}{d'}=\displaystyle\frac{1}{f} \) hay \( d'=\displaystyle\frac{df}{d-f} \).
Xét hàm số \( g(d)=\displaystyle\frac{df}{d-f} \). Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.
a. \( \lim \limits_{d \to f^+} g(d) \);
b. \( \lim \limits_{d \to +\infty} g(d) \).
a.
\( \lim \limits_{d \to f^+} g(d) =\lim \limits_{d \to f^+} \displaystyle\frac{f}{1-\displaystyle\frac{f}{d}}\);
\( \lim \limits_{d \to f^+} f=f \);
\(\lim \limits_{d \to f^+}\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{f}{d}}=+\infty \).
Vậy \( \lim \limits_{d \to f^+} g(d)=+\infty \).
Ý nghĩa: Khi vật nằm tại tiêu điểm (\(a=OF=f\)) cho ảnh ở vô cùng.
b.
\( \lim \limits_{d \to +\infty} g(d) =\lim \lim \limits_{d \to +\infty} \displaystyle\frac{df}{d-f}\) \(=\lim \limits_{d \to f^+} \displaystyle\frac{f}{1-\displaystyle\frac{f}{d}}=f\).
Vậy \(\lim \limits_{d \to +\infty} g(d) =f\).
Ý nghĩa: Khi vật ở rất xa (vô cực) cho ảnh tại tiêu điểm ảnh \( F' \) (\( d'=f \)).
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập 1
Cho hai hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x-1}\) và \(g(x)=x+1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
a. \(f(x)=g(x)\).
b. \(\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)\).
a. Ta có
\(\mathscr{D}_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}\) và \(\mathscr{D}_g=\mathbb{R}\).
Do tập xác định của hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) khác nhau nên \(f(x)\ne g(x)\).
Cách khác: Do \(f(x)\) không xác định, \(g(1)=2\) nên \(f(x)\ne g(x)\).
b. Ta có
\(\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\) \(=\lim \limits_{x \rightarrow 1} (x+1)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)\).
Bài tập 2
Tính các giới hạn sau:
a. \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{(x+2)^{2}-4}{x}\).
b. \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}\).
a.
\(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{(x+2)^{2}-4}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x^2+4x}{x}\) \(=\lim \limits_{x \rightarrow 0} (x+4)=4\).
b.
\(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x^2}{x^{2}\cdot \left(\sqrt{x^{2}+9}+3 \right) }\) \(=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\displaystyle\frac{1}{6}\).
Bài tập 3
Cho hàm số \(H(t)=\begin{cases}0 & \text{nếu }t<0\\ 1 & \text{nếu }t \geq 0.\end{cases}\)
(Hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm \(t=0\)).
Tính \(\lim \limits_{t \rightarrow 0^{+}} H(t)\) và \(\lim \limits_{t \rightarrow 0^{-}} H(t)\).
Ta có
\(\lim \limits_{t \rightarrow 0^{+}} H(t)=1\) và
\(\lim \limits_{t \rightarrow 0^{-}} H(t)=0\).
Bài tập 4
Tính các giới hạn một bên:
a. \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{x-2}{x-1}\).
b. \(\lim \limits_{x \rightarrow 4^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}-x+1}{4-x}\).
a. Ta có \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} (x-2)=-1<0\).
Hơn nữa \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} (x-1)=0\), và \(x-1>0\) khi \(x>1\).
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương, ta được
\(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{x-2}{x-1}=-\infty\).
b. Ta có \(\lim \limits_{x \rightarrow 4^{-}} (x^{2}-x+1)=13>0\).
Hơn nữa \(\lim \limits_{x \rightarrow 4^{-}} (4-x)=0\), và \(4-x>0\) khi \(x<4\).
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương, ta được
\(\lim \limits_{x \rightarrow 4^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}-x+1}{4-x}=+\infty\).
Bài tập 5
Cho hàm số \(g(x)=\displaystyle\frac{x^{2}-5 x+6}{|x-2|}\). Tìm \(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} g(x)\) và \(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} g(x)\).
Ta có
\(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}}\displaystyle\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}\) (do \(x>2\)) \(=\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} (x-3)=-1\).
Tương tự
\(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}}-\displaystyle\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}\) (do \(x<2\)) \(=-\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} (x-3)=1\).
Bài tập 6
Tính các giới hạn sau:
a. \(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1-2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}\).
b. \(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+2}-x\right)\).
a. Ta có
\(\begin{aligned}&\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1-2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}= -\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\sqrt{\displaystyle\frac{4x^2-4x+1}{x^2+1}}\\ =\ & -\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\sqrt{4-\displaystyle\frac{4x}{x^2+1}+\displaystyle\frac{1}{x^2+1}}\\ =\ & -\sqrt{4-\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{4x}{x^2+1}+ \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}}\\ =\ & -\sqrt{4-\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}+ \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}\\ =\ & -2.\end{aligned}\)
b. Ta có
\(\begin{aligned}&\sqrt{x^{2}+x+2}-x= \displaystyle\frac{\left(\sqrt{x^{2}+x+2} \right)^2-x^2 }{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}\\ =\ &\displaystyle\frac{x+2 }{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}\\ =\ & \displaystyle\frac{x\cdot\left(1+\displaystyle\frac{2}{x} \right) }{x\cdot \left(\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}}+1 \right) }\\ =\ &\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}}+1 }.\end{aligned}\)
Khi đó
\(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+2}-x\right)\) \(=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}}+1 }\) \(=\displaystyle\frac{1}{1+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Bài tập 7
Cho hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{2}{(x-1)(x-2)}\). Tìm \(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)\) và \(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)\).
Viết
\(\displaystyle\frac{2}{(x-1)(x-2)}=\displaystyle\frac{2}{x-1} \cdot \displaystyle\frac{1}{x-2}\), ta có \(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{2}{x-1}=2>0\).
Hơn nữa
\(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{1}{x-2}=+\infty\) do \(x-2>0\) khi \(x>2\).
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được
\(\lim \limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{2}{(x-1)(x-2)}=+\infty\).
Lí luận tương tự, ta có
\(\lim \limits_{x \rightarrow 2^-} \displaystyle\frac{1}{x(1-x)}=-\infty\).
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau
a. \(\lim\limits_{x \to-3} x^2\).
b. \(\lim\limits_{x \to 5} \displaystyle\frac{x^2-25}{x-5}\).
a. Giả sử \((x_{n})\) là dãy số bất kì, thõa mãn \(\lim x_{n}=-3\).
Ta có
\(\begin{aligned}&\lim x_{n}^2 =\lim x_{n}\cdot \lim x_{n}\\ =\ &(-3)\cdot (-3) = 9.\end{aligned}\)
Vậy \(\lim\limits_{x \to-3} x^2=9\).
b. Giả sử \((x_{n})\) là dãy số bất kì, thõa mãn \(x_{n}\neq 5\) và \(\lim x_{n}=5\).
Ta có
\(\begin{aligned}&\lim \displaystyle\frac{x^{2}_{n}-25}{x_{n}-5}=\lim\displaystyle\frac{\left(x_{n}-5\right)\left(x_{n+5}\right)}{x_{n}-5}\\ =\ &\lim(x_{n}+5)=\lim x_{n}+\lim 5\\ =\ &5+5 =10.\end{aligned}\)
Vậy \(\lim\limits_{x \to 5} \displaystyle\frac{x^2-25}{x-5}=10\).
Bài tập 2
Biết rằng hàm số \(f(x)\) thoả mãn \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)=3\) và \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)=5\). Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\) hay không? Giải thích.
Ta có
\(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)=3\) và \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)=5\),
do đó
\(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)\neq \lim\limits_{x \to 2^+} f(x)\).
Vậy không tồn tại \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\).
Bài tập 3
Tính các giới hạn sau
a. \(\lim\limits_{x \to 2}\left(x^2-4 x+3\right)\);
b. \(\lim\limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{x^2-5 x+6}{x-3}\);
c. \(\lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\).
a.
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to 2}\left(x^2-4 x+3\right)\\ =\ &\lim\limits_{x \to 2} x^2-\lim\limits_{x \to 2} (4x)+\lim\limits_{x \to 2}3\\ =\ &4-8+3=-1.\end{aligned}\)
b.
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to 3} \displaystyle\frac{x^2-5 x+6}{x-3}\lim\limits_{x \to 3}\displaystyle\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}\\ =\ &\lim\limits_{x \to 3}(x-2)\\ =\ &\lim\limits_{x \to 3}x-\lim\limits_{x \to 3}2\\ =\ &3-2=1.\end{aligned}\)
c.
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\\=\ &\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =\ &\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}+1}\\ =\ &\displaystyle\frac{\lim\limits_{x \to 1}1}{\lim\limits_{x \to 1}\sqrt{x}+\lim\limits_{x \to 1}1}\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{1+1}=\displaystyle\frac{1}{2}.\end{aligned}\)
Bài tập 4
Tính các giới hạn sau
a. \(\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{9 x+1}{3 x-4}\);
b. \(\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{7 x-11}{2 x+3}\);
c. \(\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\);
d. \(\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\);
e. \(\lim\limits_{x \to 6^-} \displaystyle\frac{1}{x-6}\);
f. \(\lim\limits_{x \to 7^+} \displaystyle\frac{1}{x-7}\).
a.
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{9 x+1}{3 x-4}\\=\ &\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{x\left(9+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{x\left(3-\displaystyle\frac{4}{x}\right)}\\ =\ &\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{9+\displaystyle\frac{1}{x}}{3-\displaystyle\frac{4}{x}}\\ =\ &\displaystyle\frac{\lim\limits_{x \to+\infty}9+\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{1}{x}}{\lim\limits_{x \to+\infty}3-\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{4}{x}}\\ =\ &\displaystyle\frac{9+0}{3-0}=3.\end{aligned}\)
b.
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{7 x-11}{2 x+3}\\=\ &\lim\limits_{x \to-\infty}\displaystyle\frac{x\left(7-\displaystyle\frac{11}{x}\right)}{x\left(2+\displaystyle\frac{3}{x}\right)}\\=\ &\lim\limits_{x \to-\infty}=\displaystyle\frac{7-\displaystyle\frac{11}{x}}{2+\displaystyle\frac{3}{x}}\\=\ &\displaystyle\frac{\lim\limits_{x \to-\infty}7-\lim\limits_{x \to-\infty}\displaystyle\frac{11}{x}}{\lim\limits_{x \to-\infty}2+\lim\limits_{x \to-\infty}\displaystyle\frac{3}{x}}\\=\ &\displaystyle\frac{7-0}{2+0}=\displaystyle\frac{7}{2}.\end{aligned}\)
c.
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\\=\ &\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{x\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}{x}\\ =\ &\lim\limits_{x \to+\infty}\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}\\=\ &\sqrt{\lim\limits_{x \to+\infty}1+\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}}\\ =\ &\sqrt{1+0} =1.\end{aligned}\)
d.
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\\=\ &\lim\limits_{x \to-\infty}\displaystyle\frac{-x\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}}{x}\\ =\ &\lim\limits_{x \to-\infty}-\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}\\=\ &-\sqrt{\lim\limits_{x \to-\infty}1+\lim\limits_{x \to-\infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}}\\=\ &-\sqrt{1+0}=-1.\end{aligned}\)
e.
\(\lim\limits_{x \to 6^-} \displaystyle\frac{1}{x-6}=-\infty\)
f.
\(\lim\limits_{x \to 7^+} \displaystyle\frac{1}{x-7}=+\infty\).
Bài tập 5
Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được \(N(t)=\displaystyle\frac{50 t}{t+4}\, (t \geq 0)\) bộ phận mỗi ngày sau \(t\) ngày đào tạo. Tính \(\lim\limits_{t \to+\infty} N(t)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.
Ta có
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{t \to+\infty} N(t)=\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50 t}{t+4}\\=\ &\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50t}{t\left(1+\displaystyle\frac{4}{t}\right)}\\=\ &\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50}{1+\displaystyle\frac{4}{t}}\\=\ &\displaystyle\frac{\lim\limits_{t \to+\infty}50}{\lim\limits_{t \to+\infty}1+\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{4}{t}}\\=\ &\displaystyle\frac{50}{1+0}=50.\end{aligned}\)
Ý nghĩa của kết quả: năng suất lao động cao nhất trong một ngày của một nhân viên là \(50\).
Bài tập 6
Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số \(C(x)=50000+105 x\).
a. Tính chi phí trung bình \(\overline{C}(x)\) để sản xuất một sản phẩm.
b. Tính \(\lim\limits_{x \to+\infty} \overline{C}(x)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.
a. Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là \(\overline{C}(x)=\displaystyle\frac{50000+105 x}{x}\).
b. Ta có
\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x \to+\infty} \overline{C}(x)\\=\ &\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{50000+105 x}{x}\\ =\ &\lim\limits_{x \to+\infty}\left(105+\displaystyle\frac{50000}{x}\right)\\=\ &\lim\limits_{x \to+\infty}105+\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{50000}{x}\\=\ &105.\end{aligned}\)
Ý nghĩa của kết quả: số lượng sản phẩm càng nhiều thì chi phí sản xuất sẽ càng giảm, chi phí thấp nhất là \(105\) nghìn đồng.