Bài 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
\(+\) Trên đường tròn lượng giác, gọi \(M\) là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha\). Khi đó:
\(-\) Tung độ \(y_M\) của \(M\) gọi là sin của \(\alpha\), kí hiệu \(\sin \alpha\).
\(-\) Hoành độ \(x_M\) của \(M\) gọi là côsin của \(\alpha\), kí hiệu \(\cos \alpha\).
\(-\) Nếu \(x_M \neq 0\) thì tỉ số \(\displaystyle\frac{y_M}{x_M}=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) gọi là tan của \(\alpha\), kí hiệu \(\tan\alpha\).
\(-\) Nếu \(y_M \neq 0\) thì tỉ số \(\displaystyle\frac{x_M}{y_M}=\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) gọi là côtang của \(\alpha\), kí hiệu \(\cot \alpha\).
\(+\) Các giá trị \(\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha\) và \(\cot \alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha\).
Chú ý.
\(+\) Ta gọi trục hoành là trục côsin, còn trục tung là trục sin.
\(+\) \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) xác định với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\);
\(\tan \alpha\) chỉ xác định với các góc \(\alpha \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\) \((k \in \mathbb{Z})\);
\(\cot \alpha\) chỉ xác định với các góc \(\alpha \neq k \pi\) \((k \in \mathbb{Z})\).
\(+\) Với mọi góc lượng giác \(\alpha\) và số nguyên \(k\), ta có
\[\sin (\alpha+k 2 \pi)=\sin \alpha ;\quad \tan (\alpha+k \pi)=\tan \alpha;\]
\[\cos (\alpha+k 2 \pi)=\cos \alpha ;\quad \cot (\alpha+k \pi)=\cot \alpha.\]
\(+\) Ta đã biết bảng giá trị lượng giác của một số góc \(\alpha\) đặc biệt với \(0 \leq \alpha \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\) (hay \(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}\)) như sau:
| độ | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|
| rad | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\sin\alpha\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\alpha\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\tan\alpha\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | \(||\) |
| \(\cot\alpha\) | \(||\) | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) |
Ví dụ. Tính các giá trị lượng giác của các góc
a. \(\displaystyle\frac{13 \pi}{3}\).
a. \(-45^\circ\).
a. Vì \(\displaystyle\frac{13 \pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{3}+4 \pi\) nên
\(+\) \(\sin \displaystyle\frac{13 \pi}{3}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\)
\(+\) \(\cos \displaystyle\frac{13 \pi}{3}=\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2};\)
\(+\) \(\tan \displaystyle\frac{13 \pi}{3}=\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{13 \pi}{3}}{\cos \displaystyle\frac{13 \pi}{3}}=\sqrt{3};\)
\(+\) \(\cot \displaystyle\frac{13 \pi}{3}=\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{13 \pi}{3}}{\sin \displaystyle\frac{13 \pi}{3}}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\)
b. Vì điểm biểu diễn của góc \(-45^\circ\) và góc \(45^\circ\) trên đường tròn lượng giác đối xứng nhau qua trục hoành nên chúng có cùng hoành độ và tung độ đối nhau. Do đó ta có
\(+\) \(\sin \left(-45^\circ\right)=-\sin 45^\circ=\displaystyle\frac{-\sqrt{2}}{2};\)
\(+\) \(\cos \left(-45^\circ\right)=\cos 45^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2};\)
\(+\) \(\tan \left(-45^\circ\right)=\displaystyle\frac{\sin \left(-45^\circ\right)}{\cos \left(-45^\circ\right)}=-1;\)
\(+\) \(\cot \left(-45^\circ\right)=\displaystyle\frac{\cos \left(-45^\circ\right)}{\sin \left(-45^\circ\right)}=-1.\)
2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay
Ta có thể tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì bằng máy tính cầm tay. Lưu ý trước khi tính, cần chọn đơn vị đo góc như sau:
\(+\) Nếu đơn vị đo góc là độ thì chọn deg.
\(+\) Nếu đơn vị đo góc là radian thì chọn rad.
Ví dụ. Sử dụng máy tính cầm tay để tính \(\sin \left(-45^\circ\right)\) và \(\cot \displaystyle\frac{11 \pi}{3}\).
3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
\(+)\) \( \sin^2 x + \cos ^2 x =1 \)
\(+)\) \(1+\tan ^2 \alpha=\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 \alpha}\) với \(\alpha \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(+)\) \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1\) với \(\alpha \neq k \displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(+)\) \(1+\cot ^2 \alpha=\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 \alpha}\) với \(\alpha \neq k \pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
Ví dụ. Cho \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{3}{4}\) với \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<0\). Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\).
\(+\) Ta có \(\sin ^2 \alpha=1-\cos ^2 \alpha=\displaystyle\frac{7}{16}\).
\(+\) Do đó \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\) hoặc \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).
\(+\) Vì \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<0\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha\) trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ \(IV\) (Hình 6), do đó \(\sin \alpha < 0\).
\(+\) Suy ra \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).
\(+\) Do đó \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\)
\(+\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha}=-\displaystyle\frac{3 \sqrt{7}}{7}\).
4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt
Hai góc đối nhau: \(\alpha\) và \(-\alpha\)
Các điểm biểu diễn của hai góc \(\alpha\) và \(-\alpha\) đối xứng qua trục \(Ox\), nên ta có
\(+)\) \(\sin ( - \alpha) = -\sin \alpha\)
\(+)\) \(\cos (-\alpha) = \cos \alpha\)
\(+)\) \(\tan( - \alpha) = -\tan \alpha\)
\(+)\) \(\cot( - \alpha) = -\cot \alpha\)
Hai góc hơn kém nhau \(\pi\): \(\alpha\) và \(\alpha +\pi\)
Các điểm biểu diễn của hai góc \(\alpha\) và \(\alpha+\pi\) đối xứng nhau qua gốc toạ độ \(O\), nên ta có
\(+)\) \(\sin ( \alpha+\pi ) = -\sin \alpha\)
\(+)\) \(\cos( \alpha+\pi) = -\cos \alpha\)
\(+)\) \(\tan( \alpha+\pi) = \tan \alpha\)
\(+)\) \(\cot ( \alpha+\pi) = \cot \alpha\)
Hai góc bù nhau: \(\alpha\) và \(\pi-\alpha\)
Các điểm biểu diễn của hai góc \(\alpha\) và \(\pi-\alpha\) đối xứng nhau qua truc \(Oy\), nên ta có
\(+)\) \(\sin ( \pi - \alpha) = \sin \alpha\)
\(+)\) \(\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha\)
\(+)\) \(\tan ( \pi - \alpha) = -\tan \alpha\)
\(+)\) \(\cot ( \pi - \alpha) = -\cot \alpha\)
Hai góc phụ nhau: \(\alpha\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\)
Các điểm biểu diễn của hai góc \(\alpha\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\) đối xứng nhau qua đường phân giác \(d\) của góc \(xOy\) nên ta có
\(+)\) \(\sin \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha \right) = \cos \alpha\)
\(+)\) \(\cos \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha \right) = \sin \alpha\)
\(+)\) \(\tan \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha \right) = \cot \alpha\)
\(+)\) \(\cot \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha \right) = \tan \alpha\)
Ví dụ 1. Biểu diễn \(\sin \displaystyle\frac{61\pi}{8}\) qua giá trị lượng giác có số đo từ \(0\) đến \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\).
\(\sin \displaystyle\frac{61 \pi}{8}=\sin \left(8 \pi-\displaystyle\frac{3 \pi}{8}\right)=\sin \left(-\displaystyle\frac{3 \pi}{8}\right)\) \(=-\sin \displaystyle\frac{3 \pi}{8}=-\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{3 \pi}{8}\right)=-\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Ví dụ 2. Biểu diễn \(\tan 258^\circ\) qua giá trị lượng giác có số đo từ \(0^\circ\) đến \(45^\circ\).
\(\tan 258^\circ =\tan \left(180^\circ +78^\circ \right)=\tan 78^\circ\) \(=\cot \left(90^\circ -12^\circ \right)=\cot 12^\circ\).
BÀI TẬP
Bài tập 1. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a. \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\);
b. \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\);
c. \(\tan \alpha=3\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\).
a. Ta có \(\sin^2 \alpha=\displaystyle\frac{9}{25}\) và \(\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{16}{25}\).
Khi đó, \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{9}{25}+\displaystyle\frac{16}{25}=1\).
Vậy các đẳng thức \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\) có thể đồng thời xảy ra.
b. Ta có \(\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 \alpha}=9\) và \(1+\cot^2 \alpha=1+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{5}{4}\).
Vậy các đẳng thức \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) không đồng thời xảy ra.
c. Ta có \(\tan \alpha=3 \Rightarrow \cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Vậy các đẳng thức \(\tan \alpha=3\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) đồng thời xảy ra.
Bài tập 2. Cho \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{12}{13}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{5}{13}\). Tính \(\sin \left(-\displaystyle\frac{15 \pi}{2}-\alpha\right)-\cos (13 \pi+\alpha)\).
Ta có
\(\sin \left(-\displaystyle\frac{15 \pi}{2}-\alpha\right)-\cos (13 \pi+\alpha)\) \(=\sin \left(-8\pi +\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\cos (12\pi+\pi+\alpha)\) \(=\cos \alpha+ \cos \alpha=2\cos \alpha=-\displaystyle\frac{10}{13}.\)
Bài tập 3. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), nếu:
a. \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{5}{13}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\);
b. \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{2}{5}\) và \(0<\alpha<90^\circ\);
c. \(\tan \alpha=\sqrt{3}\) và \(\pi<\alpha<\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\);
d. \(\cot \alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(270^\circ<\alpha<360^\circ\).
a. Ta có
+ \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha =1-\displaystyle\frac{25}{169} =\displaystyle\frac{144}{169}\).
+ Do đó, \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{12}{13}\) hoặc \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{12}{13}\).
+ Vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) nên \(\cos \alpha <0\).
+ Suy ra, \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{12}{13}\).
+ Do đó, \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\displaystyle\frac{5}{12}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=-\displaystyle\frac{12}{5}\).
b. Ta có
+ \(\sin ^2 \alpha=1-\cos ^2 \alpha=\displaystyle\frac{21}{25}\).
+ Do đó \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{5}\) hoặc \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{5}\).
+ Vì \(0 < \alpha < 90^\circ\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha\) trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ \(I\), do đó \(\sin \alpha > 0\).
+ Suy ra \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{5}\).
+ Do đó \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{2}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha}=\displaystyle\frac{2 \sqrt{21}}{21}\).
c. Ta có
+ \(1+\tan ^2 \alpha=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \alpha}\Rightarrow \cos^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\alpha}=\displaystyle\frac{1}{1+3}=\displaystyle\frac{1}{4}\).
+ Do đó, \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) hoặc \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\).
+ Vì \(\pi <\alpha<\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) nên \(\cos \alpha <0\).
+ Suy ra, \(\cos \alpha =-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\sin \alpha=\cos \alpha \cdot \tan \alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).
d. Ta có
+ \(1+\cot^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\sin^2\alpha}\Rightarrow \sin^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{1+\cot^2\alpha}=\displaystyle\frac{1}{1+\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{4}{5}\).
+ Do đó, \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\) hoặc \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\).
+ Vì \(270^\circ<\alpha<360^\circ\) nên \(\sin \alpha<0\).
+ Suy ra \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\); \(\cos \alpha=\sin \alpha\cdot\cot \alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot\left( -\displaystyle\frac{1}{2}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5}\); \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{1}{\cot \alpha}=\displaystyle\frac{1}{-\displaystyle\frac{1}{2}}=-2\).
+
+
Bài tập 4. Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ \(0\) đến \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) hoặc từ \(0^\circ\) đến \(45^\circ\) và tính:
a. \(\cos \displaystyle\frac{21 \pi}{6}\);
b. \(\sin \displaystyle\frac{129 \pi}{4}\);
c. \(\tan 1020^\circ\).
a. \(\cos \displaystyle\frac{21 \pi}{6}=\cos \left(4\pi - \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) \(=\cos \left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}=\sin 0 =0\);
b. \(\sin \displaystyle\frac{129 \pi}{4}=\sin \left(32\pi + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(=\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} =\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\);
c. \(\tan 1020^\circ =\tan (1080^\circ -60^\circ)\) \(=\tan (-60^\circ)=-\tan 60^\circ\) \(=-\cot 30^\circ=-\sqrt{3}\).
Bài tập 5. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a. \(\sin ^4 \alpha-\cos ^4 \alpha=1-2 \cos ^2 \alpha\);
b. \(\tan \alpha + \cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\).
a. Ta có \(VT=\sin ^4 \alpha-\cos ^4 \alpha\)
\(= \left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)\)
\(=\sin^2\alpha-\cos ^2\alpha=1-2\cos^2\alpha=VP\);
b. Ta có \(VT=\tan \alpha+\cot \alpha\)
\(=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\displaystyle\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin \alpha\cdot \cos \alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\sin \alpha\cdot \cos \alpha}=VP\).
Bài tập 6. Rút gọn các biểu thức sau:
a. \(\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha+1}+\displaystyle\frac{1}{\cot \alpha+1}\);
b. \(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin (\pi+\alpha)\);
c. \(\sin \left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+\cos (-\alpha+6 \pi)\) \(-\tan (\alpha+\pi) \cot (3 \pi-\alpha)\).
a. Ta có
\(\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha+1}+\displaystyle\frac{1}{\cot \alpha+1}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+1}+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+1}\)
\(=\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}+\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}=1\);
b. Ta có
\(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin (\pi+\alpha)\)
\(=\sin \alpha + \sin \alpha =2\sin \alpha\);
c. Ta có
\(\sin \left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+\cos (-\alpha+6 \pi)\) \(-\tan (\alpha+\pi) \cot (3 \pi-\alpha)\)
\(=-\sin \alpha + \cos (-\alpha) + \tan \alpha \cot \alpha\)
\(=-\sin \alpha + \cos \alpha + 1\)
\(=1-\sin \alpha +\cos \alpha.\)
Ví dụ 7. Thanh \(OM\) quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục \(O\) của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là \(OA\). Hỏi độ dài bóng \(O'M'\) của \(OM\) khi thanh quay được \(3\displaystyle\frac{1}{10}\) vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh \(OM\) là \(15\) cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
+ Gắn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ.
+ Khi thanh quay \(3\) vòng thì trở về vị trí ban đầu \(OA\).
+ Quay thêm \(\displaystyle\frac{1}{10}\) vòng thì ta được \(\widehat{AOM}=\displaystyle\frac{360^\circ}{10}=36^\circ\).
+ Khi đó, \(O'M'=OP=15\cdot \cos 36^\circ \approx 12{,}1\) cm.
Ví dụ 8. Khi xe đạp di chuyển, van \(V\) của bánh xe quay quanh trục \(O\) theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là \(11\) rad/s (hình bên). Ban đầu van nằm ở vị trí \(A\). Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính \(OA=58\) cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
+ Sau một phút quay được \(660\) rad.
+ Khoảng cách từ \(V\) đến mặt đất là
\(OA-VV'=OA-OA\sin 660\) \(=58-58\sin 660 \approx 42{,}8 \mathrm{\,cm}.\)
