Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\). Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:
+ TH1. \(a\) và \((P)\) có từ hai điểm chung phân biệt trở lên (Hình a), suy ra mọi điểm thuộc \(a\) đều thuộc \((P)\), ta nói \(a\) nằm trong \((P)\), ki hiệu \(a \subset(P)\).
+ TH2. \(a\) và \((P)\) có một điểm chung duy nhất \(A\) (Hình b), ta nói \(a\) cắt \((P)\) tại \(A\), kí hiệu \(a \cap(P)=A\).
+ TH3. \(a\) và \((P)\) không có điểm chung nào (Hình c), ta nói \(a\) song song với \((P)\), kí hiệu \(a \parallel(P)\).
Đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\) nếu chúng không có điểm chung.
Ví dụ. Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABMN\) không đồng phẳng. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng \((ABMN)\) lần lượt với các đường thẳng \(CD\), \(BD\) và \(BN\).
+ Nếu \(C D\) có điểm chung \(O\) với \((ABMN)\) thì \(O\) thuộc giao tuyến \(AB\) của hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((ABMN)\), suy ra \(CD\) cắt \(AB\) (mâu thuẫn với giả thiết \(ABCD\) là hình bình hành).
\(\quad\)Vậy \(CD \parallel (ABMN)\).
+ \(BD\) có một điểm chung duy nhất \(B\) với \((ABMN)\), suy ra \(BD\) cắt \((ABMN)\) tại \(B\).
+ \(BN\) có hai điểm chung \(B\) và \(N\) với \((ABMN)\), suy ra \(BN \subset(ABMN)\).
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1.
Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \((P)\) và song song với một đường thẳng \(b\) nào đó nằm trong \((P)\) thì \(a\) song song với \((P)\).
Ví dụ. Cho hai điểm \(A\), \(B\) cùng thuộc mặt phẳng \((P)\) và một điểm \(C\) không thuộc \((P)\). Vẽ đường thằng \(d_1\) đi qua \(A\), \(B\); \(d_2\) đi qua \(A\), \(C\); \(d_3\) đi qua \(C\) và song song với \(AB\). Tìm số điểm chung của mỗi đường thẳng vừa vẽ với \((P)\). Xét vị trí tương đối của mặt phẵng \((P)\) lần lượt đối với các đường thẳng \(d_1, d_2, d_3\).
+ Đường thẳng \(d_1\) chứa hai điểm \(A, B\) thuộc \((P)\), vậy \(d_1 \subset(P)\).
+ Đường thẳng \(d_2\) không nằm trong \((P)\) vì có chứa điểm \(C\) không thuộc \((P)\). Mặt khác, \(d_2\) lại có điểm \(A\) chung với \((P)\), suy ra \(d_2\) cắt \((P)\) tại \(A\).
+ Đường thẳng \(d_3\) không nằm trong \((P)\) và song song với đường thẳng \(d_1\) nằm trong \((P)\), suy ra \(d_3 \parallel (P)\).
3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
Định lí 2.
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\). Nếu mặt phẳng \((Q)\) chứa \(a\), cắt \((P)\) theo giao tuyến \(b\) thì \(a\) song song với \(b\).
Ví dụ 1. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ACD\) và \(BCD\). Chứng minh đường thẳng \(MN\) song song với các mặt phẳng \((CAB)\) và \((DAB)\).
+ Gọi \(E\) là trung điểm của \(C D\). Do \(M, N\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(A C D\) và \(B C D\) nên ta có \(\displaystyle\frac{E M}{E A}=\displaystyle\frac{E N}{E B}=\displaystyle\frac{1}{3}\), suy ra \(M N \parallel A B\).
+ Đường thẳng \(M N\) không nằm trong \((C A B)\) và song song với đường thẳng \(A B\) nằm trong \((C A B)\), suy ra \(M N \parallel (CAB)\).
+ Tương tự ta cũng có \(M N \parallel(D A B)\).
Hệ quả 1.
Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\). Nếu qua điểm \(M\) thuộc \((P)\) ta vẽ đường thẳng \(b\) song song với \(a\) thì \(b\) phải nằm trong \((P)\).
Hệ quả 2.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(AB\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa \(C B\) và song song với \(SA\), \((Q)\) là mặt phẳng chứa \(C M\) và song song với \(S A\).
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
b. Vẽ đường thẳng \(b\) qua \(B\) và \(b \parallel S A\). Chứng minh \(b \subset(P)\).
a. Ta có hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cùng có điểm chung \(C\) và cùng song song với \(S A\), suy ra giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\) là đường thằng \(a\) đi qua \(C\) và \(a \parallel S A\).
b. Ta có \(S A \parallel (P)\) và \(B\) thuộc \((P), b\) là đường thẳng đi qua \(B\) và \(b \parallel S A\), suy ra \(b \subset(P)\).
4. Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường còn lại.
Định lí 3.
Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau thì qua \(a\), có một và chỉ một mặt phẳng song song với \(b\).
Ví dụ. Cho tứ diện \(ABCD\).
a. Nêu cách vẽ mặt phẳng \((P)\) chứa \(A B\) và song song với \(C D\). Ta có thể vẽ bao nhiêu mặt phẳng \((P)\) như vậy?
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((B C D)\).
a. Vẽ đường thẳng \(a\) đi qua \(A\) và song song với \(C D\). Đặt \((P)=mp(a, AB)\).
Ta có \(C D \parallel a\), suy ra \(C D \parallel(P)\). Do \(A B\) và \(C D\) chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng \((P)\) duy nhất chứa \(A B\) và \((P) \parallel C D\).
b. Ta có \(B\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((P)\) và \((B C D)\).
Ta lại có \((B C D)\) chứa \(C D\) và \(C D \parallel(P)\), suy ra giao tuyến của \((P)\) và \((B C D)\) là đường thẳng \(b\) đi qua \(B\) và song song với \(C D\).
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Cho \(M\) là trung điểm của \(S C\).
a. Chứng minh đường thẳng \(O M\) song song với hai mặt phẳng \((S A D)\) và \((SAB)\).
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((O M D)\) và \((S A D)\).
a. Ta có \(\begin{cases} OM\not\subset (SAD)\\ OM \parallel SA \,(\text{đường trung bình})\\ SA \subset (SAD)\end{cases}\) \(\Rightarrow OM\parallel(SAD).\)
Ta có \(\begin{cases} OM\not\subset (SAB)\\ OM \parallel SA \,(\text{đường trung bình})\\ SA \subset (SAB)\end{cases}\) \(\Rightarrow OM\parallel(SAB).\)
b. Ta có \(\begin{cases} D\in (OMD)\cap (SAD) \\ SA \subset (SAD)\\ OM \subset (OMD)\\ OM \parallel SA \end{cases}\)
\(\Rightarrow (OMD)\cap (SAD)=Dx\) với \(Dx \parallel OM\parallel SA\).
Bài tập 2. Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của \(ABCD\) và \(ABEF\).
a. Chứng minh đường thẳng \(O O'\) song song với các mặt phẳng \((CDFE)\), \((A D F)\) và \((B C E)\).
b. Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(A F\) và \(B E\). Chứng minh \(M N \parallel (C D F E)\).
c. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((O M N)\) và \((A B C D)\).
a. Ta có \(\begin{cases} OO'\not\subset (CDFE)\\ OO'\parallel DF \\ DF\subset (CDFE)\end{cases}\Rightarrow OO'\parallel (CDFE)\).
Ta có \(\begin{cases} OO'\not\subset (ADF)\\ OO'\parallel DF \\ DF\subset (ADF)\end{cases}\Rightarrow OO'\parallel (ADF)\).
Ta có \(\begin{cases} OO'\not\subset (BCE)\\ OO'\parallel CE \\ CE\subset (BCE)\end{cases}\Rightarrow OO'\parallel (BCE)\).
b. Ta có \(\begin{cases} MN\not\subset (CDFE)\\ MN\parallel FE \\ FE\subset (CDFE)\end{cases}\Rightarrow MN\parallel (CDFE).\)
c. Ta có \(\begin{cases} O\in (OMN)\cap (ABCD) \\ MN \subset (OMN)\\ AB \subset (ABCD)\\ MN \parallel AB \end{cases}\)
\(\Rightarrow (OMN)\cap (ABCD)=Ox\, \text{ với } Ox \parallel MN\parallel AB.\)
Bài tập 3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và một điểm \(M\) di động trên cạnh \(A D\). Một mặt phẳng \((\alpha)\) qua \(M\), song song với \(CD\) và \(SA\), cắt \(BC\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(N\), \(P\), \(Q\).
a. \(MNPQ\) là hình gì?
b. Gọi \(I=M Q \cap N P\). Chứng minh rằng \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) di động trên \(A D\).
a. Ta có \(PQ \parallel CD\) và \(NM \parallel CD \Rightarrow PQ \parallel NM\).
Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.
b. Ta có \(\begin{cases} S\in (SAD)\cap (SBC) \\ AD \subset (SAD)\\ BC \subset (SBC)\\ AD \parallel BC\end{cases}\)
\(\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=Sx\) với \(Sx \parallel AD\parallel BC.\)
Ta có \(I=M Q \cap N P\Rightarrow \begin{cases} I\in MQ\subset (SAD)\\ I\in NP \subset (SBC).\end{cases}\)
\(\Rightarrow I \in (SAD)\cap (SBC)=Sx\). Mà \(Sx\) cố định.
Vậy \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) di động trên \(A D\).
Bài tập 4. Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\). Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(B C\) và \(AD\). Gọi \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với các cạnh \(AC\), \(CD\) và \(DB\).
a. Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành.
b. Trong trường hợp nào thì \(MNPQ\) là hình thoi?
a. Ta có \(\begin{cases} MN \parallel BC\\ QP \parallel BC\end{cases}\Rightarrow MN \parallel QP\quad (1).\)
Ta có \(\begin{cases} NP \parallel AD\\ MQ \parallel AD\end{cases}\Rightarrow NP \parallel MQ \quad (2).\)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
b. Để hình bình hành \(MNPQ\) là hình thoi thì ta cần \(MQ=PQ\).
Để \(MQ=PQ\) ta cần \(M\) là trung điểm \(AB\) và \(AD=BC\).
Vậy để \(MNPQ\) là hình thoi ta cần bổ sung thêm \(M\) là trung điểm \(AB\) và \(AD=BC\).
Bài tập 5. Cho hình chóp \(S. ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \((P)\) là mặt phẳng qua \(M\) song song với \(SA\) và \(BC\). Tìm giao tuyến của \((P)\) với các mặt của hình chóp \(S.ABCD\).
+ Trong \((ABCD)\) kẻ đường thẳng qua \(M\) song song \(BC\) cắt \(AB\) tại \(N\).
+ Trong \((SAB)\) kẻ đường thẳng qua \(N\) song song \(SA\) cắt \(SB\) tại \(P\).
+ Trong \((SBC)\) kẻ đường thẳng qua \(P\) song song \(BC\) cắt \(SC\) tại \(Q\).
+ Khi đó ta có \((P)\cap (ABCD)=MN\), \((P)\cap (SAB)=NP\), \((P)\cap (SBC)=PQ\), \((P)\cap (SDC)=QM\).
Bài tập 6. Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) với mặt phẳng \((P)\) là mặt trước của toà nhà trong hình dưới đây.
+ Các đường thẳng \(a\), \(e\) nằm trong mặt phẳng \((P)\).
+ Các đường thẳng \(b\), \(c\) song song mặt phẳng \((P)\).
+ Đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((P)\).