\(\S1\) ĐẠO HÀM

Tính đạo hàm của các hàm số sau

\(\bullet\,\) Với bất kì \(x_0\), ta có

\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{-x^2+{x_0}^2}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\left[-(x+x_0)\right]=-2x_0\).

Vậy \(f^\prime(x)=-2x\) trên \(\mathbb{R}\).

\(\bullet\,\) Với bất kì \(x_0\), ta có

\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{\left[\left(x^3-2x\right)-\left({x_0}^3-2x_0\right)\right]}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x\to x_0}\left[x^2+xx_0+{x_0}^2-2\right]=3{x_0}^2-2\).

Vậy \(f^\prime(x)=3x^2-2\) trên \(\mathbb{R}\).

\(\bullet\,\) Với mọi \(x_0\ne 0\), ta có

\(f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{4}{x_0}}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{4(x_0-x)}{x x_0\left(x-x_0\right)}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{-4}{x x_0}=-\displaystyle\frac{4}{x_0^2}.\)

Vậy \(f^{\prime}(x)=\left(\displaystyle\frac{4}{x}\right)^{\prime}=-\displaystyle\frac{4}{x^2}\) trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((0 ;+\infty)\).

Đạo hàm \(f^\prime(x)=-4x\).

Hệ số góc tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(A\) là

\(k=f^\prime(1)=-4\cdot 1=-4.\)

\(\bullet\,\) Ta có \(f^\prime(x)=3x^2\) nên \(f^\prime(-1)=3\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \((-1;1)\) là

\(y=f^\prime(-1)\cdot (x+1)+1\) \(\Leftrightarrow y=3x+4.\)

\(\bullet\,\) Gọi \(A(2;8)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=x^3\)

Ta có \(f^\prime(x)=3x^2\) nên \(f^\prime(2)=12\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là

\(y=f^\prime(2)\cdot (x-2)+8\) \(\Leftrightarrow y=12x-16.\)

Ta có: \(v(t)=s^\prime(t)=12t^2+6\).

Vận tốc tức thời tại \(t=2\) là \(v(2)=12\cdot 2^2+6=54 \;m/s\).

Số tiền nhận được sau

\(\bullet\,\) Lãi kép với kì hạn \(6\) tháng.

Số tiền nhận được sau \(6\) tháng đầu

\(T=10000000\cdot \mathrm{e}^{0.05\cdot \frac{1}{2}}=10253151{,}21\) (đồng).

Số tiền nhận được sau \(6\) tháng tiếp theo

\(T=10253151,21\cdot \mathrm{e}^{0.05\cdot \frac{1}{2}}=10512710{,}97\) (đồng).

\(\bullet\,\) Lãi kép với kì hạn liên tục là \(T=10000000\cdot \mathrm{e}^{0.05}=10512710{,}96\) (đồng).

Vận tốc rơi tức thời tại thời điểm \(t=2\) là \(v(2)=h^\prime(2)=1{,}62\cdot2=3{,}24\) m/s.

\(\bullet\,\) \(y=x^2-x\) tại \(x_0 =1\);

Ta có \(f(x)-f(1)=x^2-x-(1^2-1)=x(x-1)\).

Với \(x \ne 1, \displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle\frac{x(x-1)}{x-1}=x\).

Tính giới hạn \(\lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1} x=1\).

Vậy \(f'(1)=1\).

\(\bullet\,\) \(y=-x^3\) tại \(x_0=-1\).

Ta có \(f(x)-f(-1)=-x^3-1=-(x+1)(x^2-x+1)\).

Với \(x \ne 1, \displaystyle\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}=\displaystyle\frac{-(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}=-(x^2-x+1)\).

Tính giới hạn \(\lim\limits_{x \to -1} \displaystyle\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim\limits_{x \to -1} -(x^2-x+1)=-3\).

Vậy \(f'(-1)=-3\).

\(\bullet\,\) \(y=kx^2+c\) (với \(k,c\) là hằng số).

Với \(x_0\) bất kỳ, ta có:

\(\begin{aligned}f'(x_0)&=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{(kx^2+c)-(kx_0^2+c)}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{k(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}\\&=\lim\limits_{x \to x_0} k(x+x_0)=k(x_0+x_0)=2kx_0.\end{aligned}\)

Vậy hàm số \(y=kx^2+c\) (với \(c,k\) là hằng số) có đạo hàm là hàm số \(y'=2kx\).

\(\bullet\,\) \(y=x^3\)

Với \(x_0\) bất kỳ, ta có:

\(\begin{aligned}f'(x_0)&=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{(x^3)-(x_0^3)}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}\\&=\lim\limits_{x \to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2)=(x_0^2+x_0x_0+x_0^2)=3x_0^2.\end{aligned}\)

Vậy hàm số \(y=x^3\) có đạo hàm là hàm số \(y'=3x^2\).

\(\bullet\,\) Tiếp điểm có hoành độ \(x_0=1\)

Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có \(y'=-2x+4\).

Hệ số góc tiếp tuyến \(k=f'(1)=2\),

\(y_0=f(1)=3\).

Phương trình tiếp tuyến \(y-3=2(x-1)\) hay \(y=2x+1\).

\(\bullet\,\) Tiếp điểm có tung độ \(y_0=0\).

Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm.

\(y_0=0\Leftrightarrow -x_0^2+4x_0=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=0\\&x_0=4.\end{aligned}\right.\)

TH1: \(x_0=0\), \(k=f'(0)=4\).

Phương trình tiếp tuyến \(y-0=4(x-0)\) hay \(y=4x\).

TH2: \(x=4\), \(k=f'(4)=-4\)

Phương trình tiếp tuyến \(y-0=-4(x-4)\) hay \(y=-4x+16\).

Phương trình biểu diễn độ cao của vật là \(h=19{,}6t-4{,}9t^2\) nên vận tốc của vật theo thời gian \(t\) là \(v(t)=19{,}6-9{,}8t\).

Khi vật chạm đất thì \(h=0\) hay \(19{,}6t-4{,}9t^2=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t=0\text{ (loại)}\\&t=4\text{ (nhận)}.\end{aligned}\right.\)

Vận tốc của vật khi chạm đất là \(v(4)=19{,}6-9{,}8\cdot 4=-19{,}6\) m/s.

\(\bullet\,\) Tìm \(c\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình, đồ thì đi qua gốc tọa độ \(P(0;0)\) nên \(c=0\).

\(\bullet\,\) Tính \(y'(0)\) và tìm \(b\).

\(y'=2ax+b\) nên \(y'(0)=b\).

Do hệ số góc tại \(P\) bằng \(0{,}5\) nên \(y'(0)=0{,}5\) hay \(b=0{,}5\).

\(\bullet\,\) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa \(P\) và \(Q\) là \(40\) m. Tìm \(a\).

Khoảng cách theo phương ngang giữa \(P\) và \(Q\) là \(40\) m nên \(x_Q=40\).

Hệ số góc tại \(Q\) bằng \(-0{,}75\) nên \(y'(40)=-0{,}75\) hay \(2a\cdot 40+0{,}5=-0{,}75 \Leftrightarrow a=\displaystyle\frac{-1}{64}.\)

\(\bullet\,\) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp \(P\) và \(Q\).

\(y=-\displaystyle\frac{1}{64}x^2+\displaystyle\frac{1}{2}x\).

\(y_Q=y(40)=-5\) m.

Vậy chênh lệch độ cao giữa \(P\) và \(Q\) là \(|-5-0|=5\) m.

Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \(x_0=1\).

Ta có:

\(\begin{aligned}\Delta y=&f(1+\Delta x)-f(1)\\=&3(1+\Delta x)^3-1-2\\=&9\Delta x+9(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3\\=&\Delta x[9+9\Delta x+3(\Delta x)^2].\end{aligned}\)

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=9+9\Delta x+3(\Delta x)^2\).

Ta thấy: \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left(9+9\Delta x+3(\Delta x)^2\right)=9\).

Vậy \(f^\prime(1)=9\).

\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hàm số \(f(x)=|x|\) không có đạo hàm tại điểm \(x_0=0\).

Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \(x_0=0\).

Ta có: \(\Delta y=f(0+\Delta x)-f(0)=|\Delta x|\).

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle\frac{|\Delta x|}{\Delta x}\).

Vì: \(\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=1\) và \(\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=-1\).

Nên hàm số \(f(x)=|x|\) không có đạo hàm tại điểm \(x_0=0\).

\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hàm số \(f(x)=|x|\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x\neq0\).

Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \(x\neq0\).

Ta có:

\begin{eqnarray*}\Delta y=&f(x+\Delta x)-f(x)\\=&|x+\Delta x|-|x|\\=&\sqrt{\left(x+\Delta x\right)^2}-\sqrt{x^2}\\=&\displaystyle\frac{\left(x+\Delta x\right)^2-x^2}{\sqrt{\left(x+\Delta x\right)^2}+\sqrt{x^2}}\\=&\displaystyle\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\sqrt{\left(x+\Delta x\right)^2}+\sqrt{x^2}}.\end{eqnarray*}

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle\frac{2x+\Delta x}{\sqrt{\left(x+\Delta x\right)^2}+\sqrt{x^2}}\).

Ta thấy: \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{2x+\Delta x}{\sqrt{\left(x+\Delta x\right)^2}+\sqrt{x^2}}=\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\displaystyle\frac{x}{|x|}\).

Vậy \(f^\prime(x)=\displaystyle\frac{x}{|x|}\) với \(x\neq0\).

\(\bullet\,\) Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có hệ số góc là:

\(\begin{aligned}f^\prime(2)=&\lim\limits_{x\to 2}\displaystyle\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\\=&\lim\limits_{x\to 2}\displaystyle\frac{-2x^2+x-(-6)}{x-2}\\=&\lim\limits_{x\to 2}\displaystyle\frac{-2x^2+x+6}{x-3}\\=&\lim\limits_{x\to 2}\displaystyle\frac{(x-2)(-2x-3)}{x-2}\\=&\lim\limits_{x\to 2}(-2x-3)=-7.\\\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(2;-6)\) là

\(\begin{aligned}y=&-7(x-2)+(-6)\\\Leftrightarrow y=&-7x+8.\end{aligned}\)

\(\bullet\,\) Xét \(\Delta Q\) là số gia của biến số tại điểm \(Q\).

Ta có:

\(\begin{aligned}\Delta Q=&C(Q+\Delta Q)-C(Q)\\=&\left(Q+\Delta Q\right)^2+80\left(Q+\Delta Q\right)+3500-\left(Q^2+80Q+3500\right)\\=&2Q\cdot(\Delta Q)+(\Delta Q)^2+80\Delta Q.\end{aligned}\)

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta Q}=2Q+\Delta Q+80\).

Ta thấy: \(\lim\limits_{\Delta Q\to 0}\left(2Q+\Delta Q+80\right)=2Q+80\).

Vậy \(C^\prime(Q)=2Q+80\).

\(\bullet\,\) \(C^\prime(90)=2\cdot90+80=260\).

Chi phí gia tăng để sản xuất từ \(90\) sản phẩm máy vô tuyến lên \(91\) máy vô tuyến là \(260\) USD.

\(\bullet\,\) Chi phí để sản xuất máy vô tuyến thứ \(100\) là

\(C(100)=100^2+80\cdot100+3500=21~500\) (USD).

Chi phí gia tăng để sản xuất từ \(99\) sản phẩm máy vô tuyến lên \(100\) máy vô tuyến là

\(C^\prime(99)=2\cdot99+80=278\) (USD).

Vậy tổng chi phí để sản xuất máy vô tuyến thứ \(100\) là

\(21~500+278=21~778\) (USD).