a. Dãy số: \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=3\) và công bội \(q=2\).

b. Dãy số: \(1\); \(-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{1}{4}\); \(-\displaystyle\frac{1}{8}\); \(\displaystyle\frac{1}{16}\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=1\) và công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

c. Dãy số: \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=9\) và công bội \(q=1\).

a. Dãy số: \(1 ; 11 ; 121 ; 12321 ; 1234321\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=11\).

b. Dãy số: \(1 ;-1 ; 1 ;-1 ; 1\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=-1\).

c. Dãy số: \(4 ; 8 ; 12 ; 16\) có \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1} \neq \displaystyle\frac{u_3}{u_2}\) nên không là cấp số nhân.

Ta có \( 10^2=1\cdot 100 ;\,\, 100^2=10\cdot 1000\).

Ba số tự nhiên \(m\); \(n\); \(p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên

\(m+p =2n \Rightarrow 2^{m+p}= 2^{2n}\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{2^n}{2^m} =\displaystyle\frac{2^p}{2^n}.\)

Điều đó chứng tỏ rằng ba số \(2^m\); \(2^n\); \(2^p\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Coi ngày điều tra dân số năm 2011 và năm 2021 trùng nhau thì từ năm 2011 đến năm 2021 là 10 năm. Vậy dân số nước ta tính đến năm 2021 là

\(u_{10} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{10}.\)

Ta có

\(u_{1} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{1}.\)

\(u_{2} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{2}.\)

Và công bội của cáp số nhân này là

\(\, \displaystyle\frac{u_2}{u_1} = q = \displaystyle\frac{P\cdot \left(1+a\%\right)^{2}}{P\cdot \left(1+a\%\right)^{1}}\) \(= 1+a\%.\)

Ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ theo thứ tự \(u_1; u_2; u_3\) tạo thành cấp số nhân nên

\(u^2_2 = u_1 \cdot u_3 \Rightarrow u^2_2 =415 \cdot 466 =193390\) \(\Rightarrow u_2 =440\, (u_2>0).\)

Vậy tần số của phím La là \(400\) Hz.

Ta có \(u_1=4374\) và \(u_8=2\). Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân này.

Ta có \(u_8=u_1 \cdot q^7\), suy ra \(q^7=\displaystyle\frac{u_8}{u_1}=\displaystyle\frac{2}{4374}=\displaystyle\frac{1}{2187}=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^7\), do đó \(q=\displaystyle\frac{1}{3}\).

a. Ta có \(u_1=5 ; q= 2\) suy ra \(u_n = 5\cdot2^{n-1}\);

b. Ta có \(u_1=1 ; q= \displaystyle\frac{1}{10}\) suy ra \(u_n = 10\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{10}\right)^{n-1}\).

a. Ta có \(\displaystyle\frac{690}{138}=5\) suy ra khối lượng còn lại sau 690 này là \(\displaystyle\frac{20}{2^5}=0{,}625\) gam;

b. Ta có \(\displaystyle\frac{7314}{138}=53\) suy ra khối lượng còn lại sau 7314 này là \(\displaystyle\frac{20}{2^{53}}\) gam.

Áp dụng công thức \(S_n=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\), ta có \(S_{10}=\displaystyle\frac{1 \cdot\left(1-2^{10}\right)}{1-2}=2^{10}-1=1023\).

a. \(u_1=10^5\), \(q=0{,}1\), \(n=5\);

\(S_5=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{10^5\left(1-0\right)}{1-0}=10^5.\)

b. \(u_1=10\), \(u_2=-20\), \(n=5.\)

Ta có \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=q=-2\).

\(S_5=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{10\cdot\left(1-(-2)^5\right)}{1-(-2)}\) \(=110.\)

Ta có \(u_1=120\); \(u_2=60\); \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Tổng các độ cao của quả bóng sau \(10\) lần rơi đầu tiên là

\(S_{10}=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}\) \(=\displaystyle\frac{120\cdot\left[1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)}=\displaystyle\frac{15345}{64} \, \text{cm}.\)

a. \(u_1=3(-2)^1=-6\); \(u_2=3(-2)^2=12\); \(u_3=3(-2)^3=-24\).

Dãy này là cấp số nhân với công bội \(q=-2\).

b. Ta có \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{(-1)^{n+2} \cdot 7^{n+1}}{(-1)^{n+1} \cdot 7^n}=-7\).

Dãy này là cấp số nhân với công bội \(q=-7\).

c. Xét dãy \(\left\{\begin{aligned}&u_n=1 \\& u_{n+1}=2 u_n+3. \end{aligned}\right.\)

Ta có \(u_1 = 1\), \(u_2 = 5\), \(u_3 = 13\cdot \displaystyle\frac{u_3}{u_2} \neq \displaystyle\frac{u_2}{u_1} \) nên dãy này không là cấp số nhân.

a. Ta có

\(\quad\) \(\left\{\begin{aligned}&u_5-u_1=15 \\& u_4-u_2=6\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1q^4-u_1=15 \\& u_1 q^3-u_1 q^1=6\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1(q^4-1)=15&&(1)\\& u_1 (q^3-q^1)=6&&(2)\end{aligned}\right.\)

Lấy (1) chia (2) ta được

\(\quad\) \(\displaystyle\frac{q^4 - 1}{q^3-q}=\displaystyle\frac{15}{6}=\displaystyle\frac{5}{2}\) \(\Rightarrow \left[\begin{aligned}&q=1&&\text{(loại)}\\&q=-1&&\text{(loại)}\\&q=2; \; u_1 = 1\\&q=\displaystyle\frac{5}{2};\; u_1 = \displaystyle\frac{80}{203}.\end{aligned}\right.\)

b. Ta có

\(\quad\) \(\left\{\begin{aligned}&u_1-u_3+u_5=65 \\& u_1+u_7=325 .\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&u_1\left(1-q^2+q^4\right)=65 &&(3)\\& u_1\left(1+q^6\right)=325 &&(4) \end{aligned}\right. \)

Lấy (3) chia (4) ta được

\(\quad\) \(\displaystyle\frac{1-q^2+q^4}{1+q^6}=\displaystyle\frac{65}{325}\) \(\Leftrightarrow q^2 =4 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&q=2; \, u_1=5\\&q=-2 ; \, u_1=5.\end{aligned}\right.\)

a. Gọi số đo bốn góc của tứ giác lần lượt là

\(u_1\); \(u_1\cdot q\); \(u_1\cdot q^2\); \(u_1\cdot q^3.\)

Ta có

\(\left\{\begin{aligned}&u_1\cdot q^3=8 \cdot u_1 \\& u_1+ u_1\cdot q+ u_1\cdot q^2+ u_1\cdot q^3 =360\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&q=2 \\& u_1+ 2u_1+ 4u_1+ 8u_1 =360\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&q=2 \\& u_1=24.\end{aligned}\right.\)

Vậy số đo bốn góc của tứ giác lần lượt là \(24^\circ\); \(48^\circ\); \(96^\circ\); \(192^\circ\).

b. Ta có

\(\left\{\begin{aligned}&u_1=-2 \\& u_8=256\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1=-2 \\& u_1\cdot q^7=256\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1=-2 \\& q=-2.\end{aligned}\right.\)

Vậy sáu số xen giữa là \(4\); \(-8\); \(16\); \(-32\); \(64\); \(-128\).

Ta có ba số \(\displaystyle\frac{2}{b-a}\), \(\displaystyle\frac{1}{b}\), \(\displaystyle\frac{2}{b-c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Suy ra

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{2}{b-a}+\displaystyle\frac{2}{b-c} =\displaystyle\frac{2}{b}\Leftrightarrow\displaystyle\frac{1}{b-a}+ \displaystyle\frac{1}{b-c} =\displaystyle\frac{1}{b}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{b-c+b-a}{(b-a)(b-c)}= \displaystyle\frac{1}{b}\\ \Leftrightarrow\ &2b^2-ab-cb=b^2-bc-ab+ac\\ \Leftrightarrow\ & b^2=ac.\end{aligned}\)

Vậy ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

a. Ta có

\(\begin{aligned}S_n=\ &1+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^n}\\ =\ &\displaystyle\frac{u_1(1-q^{n+1})}{1-q}\\ =\ &\displaystyle\frac{1\cdot\left(1 -\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{1-\displaystyle\frac{1}{3}}\\ =\ &\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{3^{n+1}-1}{2 \cdot 3^n}\end{aligned}\).

b. Ta có

\(\begin{aligned}S_n&=9+99+999+\cdots+\underbrace{99 \ldots 9}_{n \text { chữ số } 9}\\ &=(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots+(10^n-1)\\ &=10+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\\ & =\displaystyle\frac{10\cdot(1-10^n)}{1-10}-n\\ &=\displaystyle\frac{10}{9}\cdot(10^n-1)-n\\ &=\displaystyle\frac{10^{n+1}-9n-10}{9}. \end{aligned}\)

Số lượng vi khuẩn sau mỗi phút lập thành một cấp số nhân với \(u_1=1\); \(q=2\)

Suy ra tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau \(20\) phút là

\(u_{20}=u_1\cdot q^{19}\) \(=1 \cdot 2^{19}=524288\).

a. Giả sử dân số năm \(2022\) là \(u_1=2{,}1\cdot 10^6\) thì dân số năm \(2023\) là

\(u_2=u_1+ 0{,}0075u_1=1{,}0075u_1\).

Tương tự dân số năm \(2024\) là \(u_3=1{,}0075u_2\).

Do đó dân số của thành phố qua các năm lập thành một cấp số nhân với \(u_1=2{,}1\cdot10^6\); \(q=1{,}0075\).

Vậy dân số năm \(2032\) tương ứng với \(u_{11}=u_1\cdot q^{10}=2,1\cdot 10^6\cdot1{,}0075^{10}\approx2262924\) (người).

b. Giả sử đến năm thứ \(n\) thì dân số gấp đôi năm \(2022\).

Suy ra

\(u_n=2u_1 \Leftrightarrow q^{n-1}=2\) \(\Leftrightarrow 1{,}0075^{n-1}=2 \Leftrightarrow n \approx 93{,}7.\)

Vậy \(94\) năm sau tức là năm \(2116\) thì dân số thành phố sẽ gấp đôi năm \(2022\).

a. Gọi độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần đầu là \(u_1 = 9\) m.

Độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần tứ 2 là \(u_2 = 60\%\cdot u_1 =0{,}6\cdot 9 = 5{,}4\) m.

Độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần tứ 3 là \(u_3 = 60\%\cdot u_2 =0{,}6\cdot 5{,}4 = 3{,}24\) m.

b. Tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu là

\(\begin{aligned}S_5 &= u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5\\ &= u_1 \left[1+0{,}6+(0{,}6)^2 +(0{,}6)^3+ (0{,}6)^4\right]\\ &=9\cdot \displaystyle\frac{1-\left(0{,}6\right)^5}{1-0{,}6}=20{,}75 m.\end{aligned}\)

a. Ta có

\(u_1=1\), \(u_2=4\), \(u_3=16\), \(u_4=16\cdot 4=64\), \(u_5=64\cdot 4=256\).

Ta có \(u_1=1\), \(q=4\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

\(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=1\cdot 4^{100-1} =4^{99}\).

b. Ta có

\(u_1=2\), \(u_2=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(u_3=\displaystyle\frac{1}{8}\), \(u_4=\displaystyle\frac{1}{8}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4} \right) =-\displaystyle\frac{1}{32}\), \(u_5=-\displaystyle\frac{1}{32}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4} \right)=\displaystyle\frac{1}{128}\).

Ta có \(u_1=2\), \(q=-\displaystyle\frac{1}{4}\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

\(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=2\cdot\left( -\displaystyle\frac{1}{4} \right) ^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(100\) là

\(u_{100}=2\cdot \left( -\displaystyle\frac{1}{4} \right) ^{100-1}\) \(=-\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right) ^{197}\).

a. Ta có

\(u_1=5\), \(u_2=10\), \(u_3=15\), \(u_4=20\), \(u_5=25\).

Đây không là một cấp số nhân.

b. Ta có

\(u_1=5\), \(u_2=25\), \(u_3=125\), \(u_4=625\), \(u_5=3125\).

Đây là cấp số nhân có \(q=5\), số hạng tổng quát

\(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 5^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

c. Ta có

\(u_1=1\), \(u_2=2\), \(u_3=6\), \(u_4=12\), \(u_5=60\).

Đây không là một cấp số nhân.

d. Ta có

\(u_1=1\), \(u_2=5\), \(u_3=25\), \(u_4=125\), \(u_5=625\).

Đây là cấp số nhân có \(q=5\), số hạng tổng quát

\(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{n-1}=5^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng tổng quát của cấp nhân là \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Theo bài toán, ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases} u_6=u_1\cdot q^5=96\\ u_3=u_1\cdot q^2=12\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} q^3=8\\ u_1\cdot q^2=12\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} q=2\\ u_1\cdot 2^2=12\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} q=2\\ u_1=3.\end{cases}\)

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=3\cdot 2^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(50\) là \(u_{50}=3\cdot 2^{49}\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=5\cdot 2^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

\(S_n=u_1\displaystyle\frac{q^n-1}{q-1}=5\cdot\displaystyle\frac{2^n-1}{2-1}\) \(=5\cdot\left( 2^n-1\right)\).

Theo bài toán, ta có

\(S_n=5\cdot\left( 2^n-1\right)=5115\) \(\Leftrightarrow 2^n=1024\Leftrightarrow n=10\).

Vậy phải lấy tổng \(10\) số hạng đầu mới thỏa yêu cầu bài toán.

Gọi \((u_n)\) là dãy số biểu diễn giá trị của chiếc máy ủi theo từng năm.

Dãy số này là một cấp số nhân có \(u_1=3\), \(q=0{,}2\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân này là \(u_n=3\cdot 0{,}2^{n-1}\).

Ta có

\(u_5=3\cdot 0{,}2^4=\displaystyle\frac{3}{325}\) \(=4{,}8\cdot10^{-3}\).

Tương ứng giá trị của chiếc máy ủi sau \(5\) năm là \(480\) triệu đồng.

Dân số năm 2021 tăng lên so với năm 2020 là \(97 \cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2021 là

\(97 + 97 \cdot 0{,}91 \% = 97\cdot (1+0{,}91 \%)\) triệu người.

Dân số năm 2022 tăng lên so với năm 2021 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)\cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2022 là

\(97\cdot (1+0{,}91 \%) + 97\cdot (1+0{,}91 \%) \cdot 0{,}91 \%\) \(= 97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\) triệu người.

Dân số năm 2023 tăng lên so với năm 2021 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2023 là

\(97\cdot (1+0{,}91 \%)^2 + 97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\cdot 0{,}91 \%\) \(= 97\cdot (1+0{,}91 \%)^3\) triệu người.

Tương tự vậy ta có dân số năm 2030 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)^{10} = 106{,}1973784\) triệu người.

Gọi \((u_n)\) là dãy số biểu diễn giá trị của lượng thuốc trong máu của bệnh nhân theo từng ngày.

Dãy số này là một cấp số nhân có \(u_1=50\), \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

\(S_n=u_1\displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}\).

Theo bài toán, ta có

\(S_{10}=50 \cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}} \approx 99{,}902\).

Vậy tổng lượng thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc \(10\) ngày liên tiếp là \(99{,}902\) mg.

a. Xét dãy số \(5\); \(-0{,}5\); \(0{,}05\); \(-0{,}005\); \(0{,}0005\);

Xét \(q=\displaystyle\frac{-0{,}5}{5}=-\displaystyle\frac{1}{10}\).

Ta có

\(5q=-0{,}5\); \(-0{,}5q=0{,}05\); \(0{,}05q=-0{,}005\); \(-0{,}005q=0{,}0005\).

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{10}\).

b. Xét dãy số \(-9\); \(3\); \(-1\); \(\displaystyle\frac{1}{3}\); \(-\displaystyle\frac{1}{9}\); Xét \(q=\displaystyle\frac{3}{-9}=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

Ta có

\(-9q=3\); \(3q=-1\), \(-1q=\displaystyle\frac{1}{3}\); \(\displaystyle\frac{1}{3}q=-\displaystyle\frac{1}{9}\).

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

c. Xét dãy số \(2\); \(8\); \(32\); \(64\); \(256\).

Xét \(q=\displaystyle\frac{8}{2}=4\).

Ta có

\(2q=8\); \(8q=32\); \(32q=128\neq 64\).

Vậy dãy số đã cho không phải cấp số nhân.

a. Với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có

\(\begin{aligned}u_{n+1}=\ &\displaystyle\frac{-3}{4}\cdot 2^{n+1}\\ =\ &\displaystyle\frac{-3}{4}\cdot 2^n\cdot2\\ =\ &2u_n.\end{aligned}\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) đã cho là cấp số nhân.

b. Với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có

\(\begin{aligned}u_{n+1}=\ &\displaystyle\frac{5}{3^{n+1}}\\ =\ &\displaystyle\frac{5}{3^n\cdot 3}\\ =\ &\displaystyle\frac{1}{3}u_n.\end{aligned}\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) đã cho là cấp số nhân.

c. Với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có

\(\begin{aligned}u_{n+1}=\ &(-0{,}75)^{n+1}\\ =\ &(-0{,}75)^n\cdot (-0{,}75)\\ =\ &(-0{,}75)u_n.\end{aligned}\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) đã cho là cấp số nhân.

a. Ta có \(u_9=u_1\cdot q^8 = -5\cdot 2^8=-1280\).

b. Giả sử số \(-320\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số nhân trên. Khi đó ta có

\(\begin{aligned}&u_n=-320\\ \Leftrightarrow\ & u_1\cdot q^{n-1} =-320\\ \Leftrightarrow\ & -5 \cdot 2^{n-1} =-320\\ \Leftrightarrow\ & 2^{n-1} = 64\\ \Leftrightarrow\ & 2^{n-1} = 2^6\\ \Leftrightarrow\ & n-1=6\\ \Leftrightarrow\ & n=7.\end{aligned}\)

Vậy số \(-320\) là số hạng thứ \(7\) của cấp số nhân trên.

c. Giả sử số \(160\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số nhân trên. Khi đó ta có

\(\begin{aligned}&u_n=160\\ \Leftrightarrow\ & u_1\cdot q^{n-1} =160\\ \Leftrightarrow\ & -5 \cdot 2^{n-1} =160\\ \Leftrightarrow\ & 2^{n-1} = -32.\end{aligned} \)

Vì \(2^{n-1}>0\), \(\forall n\in\mathbb{N}^*\) và \(-32<0\) nên không có giá trị nào của \(n\) thỏa mãn \(u_n=160\).

Vậy số \(160\) không phải số hạng nào của cấp số nhân đã cho.

a. Ta có

\(u_3=\displaystyle\frac{27}{4} \Leftrightarrow u_1q^2=\displaystyle\frac{27}{4}\) \(\Leftrightarrow 3q^2=\displaystyle\frac{27}{4}\) \(\Leftrightarrow q=\pm\displaystyle\frac{3}{2}\).

+) Với \(q=\displaystyle\frac{3}{2}\). Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là

\(u_1=3\), \(u_2=u_1q=\displaystyle\frac{9}{2}\), \(u_3=u_2q=\displaystyle\frac{27}{4}\), \(u_4=u_3q=\displaystyle\frac{81}{8}\), \(u_5=u_4q=\displaystyle\frac{243}{16}\).

+) Với \(q=-\displaystyle\frac{3}{2}\). Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là

\(u_1=3\), \(u_2=u_1q=-\displaystyle\frac{9}{2}\), \(u_3=u_2q=\displaystyle\frac{27}{4}\), \(u_4=u_3q=-\displaystyle\frac{81}{8}\), \(u_5=u_4q=\displaystyle\frac{243}{16}\).

b.

+) Với \(q=\displaystyle\frac{3}{2}\). Tổng \(10\) số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là

\(S_{10}=\displaystyle\frac{u_1(1-q^{10})}{1-q}\) \(=\displaystyle\frac{3\left[1-\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{10}\right]}{1-\displaystyle\frac{3}{2}}\) \(=\displaystyle\frac{174075}{512}\approx 340.\)

+) Với \(q=-\displaystyle\frac{3}{2}\). Tổng \(10\) số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là

\(S_{10}=\displaystyle\frac{u_1(1-q^{10})}{1-q}\) \(=\displaystyle\frac{3\left[1-\left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{10}\right]}{1+\displaystyle\frac{3}{2}}\) \(=-\displaystyle\frac{34815}{512}\approx -68.\)

a. Với \(u_n\) là số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm.

Ta có \(u_1=2\) (triệu dân).

\(u_{n+1}=u_n+u_n\cdot 0{,}01 = 1{,}01u_n\).

Do đó, \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=2\) và công bội \(q=1{,}01\).

Vậy công thức tính số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm là

\(u_n=u_1q^{n-1}\Rightarrow u_n=2\cdot 1{,}01^{n-1}\).

b. Số dân của tỉnh đó sau \(10\) năm kể từ năm 2020 là \(u_{10}=2\cdot 1{,}01^9 = 2{,}187\) (triệu dân).

Gọi \(u_n\) là giá trị còn lại của ô tô sau \(n\) năm sử dụng.

a. Giá trị của ô tô sau \(1\) năm sử dụng là

\(u_1=800-800\cdot0{,}04=800\cdot0{,}96=768\) triệu đồng.

Giá trị của ô tô sau \(2\) năm sử dụng là

\(u_2=u_1-u_1\cdot0{,}04=u_1\cdot0{,}96=737{,}28\) triệu đồng.

b. Ta có

\(u_n=u_{n-1}-u_{n-1}\cdot0{,}04=u_{n-1}\cdot0{,}96\).

Do đó, \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=768\) và công bội \(q=0{,}96\).

Vậy sau \(n\) năm sử dụng, giá trị còn lại của chiếc ô tô là

\(u_n=u_1q^{n-1}\Rightarrow u_n=768\cdot0{,}96^{n-1}\).

c. Sau \(10\) năm, ước tính giá trị của ô tô còn lại là

\(u_{10}=768\cdot0{,}96^9\approx 531{,}87\) triệu đồng.

Gọi \(u_n\) là quãng đường người đó được kéo lên ở lần thứ \(n\) được kéo lên và lại rơi xuống (đơn vị tính: mét).

Ta có

\(u_1=0{,}75\cdot100=100\cdot1{,}5=75\) m và

\(u_n=0{,}75\cdot u_{n-1}\).

Vậy \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=75\) và công bội \(q=0{,}75\).

Tổng quãng đường người đó đi được sau \(10\) lần kéo lên và lại rơi xuống là

\(\begin{aligned}S=\ &100+2u_1+2u_2+\cdots+2u_{10}\\ =\ &100+2S_{10}\\ =\ &100+2\cdot\displaystyle\frac{75\left(1-0{,}75^{10}\right)}{1-0{,}75}\\ \approx\ &666{,}2 \text{ m}.\end{aligned}\)