a. Dãy số: \(5; \ 10; \ 15; \ 20; \ 25 ; \ 30\) là cấp số cộng với công sai \(d=5\).

b. Dãy số: \(1;\ 2; \ 4; \ 8\) có \(u_2-u_1 \neq u_3-u_2\) nên không phải là cấp số cộng.

c. Dãy số: \(7;\ 7;\ 7; \ 7;\ 7\) là cấp số cộng với công sai \(d=0\).

Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu \(u_1=3\), công sai \(d=u_2-u_1= 3\).

Ta có \(u_4=12\), \(u_5=u_4+d=12+3=15\).

a. Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=2n+1\).

Ta có \(u_1=2\cdot 1+1=3\)

\(u_{n+1}=2\left(n+1\right)+1\) \(=\left(2n+1\right)+2=u_n+2, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=3\) và công sai \(d=2\).

b. Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(u_n=-3n+5\).

Ta có \(v_1=(-3)\cdot 1+5=2\)

\(v_{n+1}=(-3)\left(n+1\right)+5\) \(=\left(-3n+5\right)-3=v_n+(-3), \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(v_1=2\) và công sai \(d=-3\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có \(d=b-a=c-b\).

Do đó \(b=\displaystyle\frac{a+c}{2}\).

a. \(3; \ 7; \ 11; \ 15; \ 19; \ 23.\)

+ Ta có \(7-3=11-7=15-11=19-15=23-19=4\).

+ Do đó dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai \(d=4\).

b. Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=9n-9\).

+ Ta có

+ \(u_{n+1}=9\left(n+1\right)-9\) \(=\left(9n-9\right)+9=u_n+9, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

+ Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=9\).

c. Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=an+b\), trong đó \(a\) và \(b\) là các hằng số.

+ Ta có

+ \(v_{n+1}=a\left(n+1\right)+b\) \(=\left(an+b\right)+a=v_n+a, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

+ Vậy dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=a\).

Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có số đo ba góc \( \ 90^\circ; \ B; \ C\) lập thành cấp số cộng. Khi đó

\(\quad\)\(\begin{cases}90^\circ+ B+C=180^\circ\\ \displaystyle\frac{90^\circ+C}{2}=B\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}B+C=90^\circ\\ 2B-C=90^\circ\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}B=60^\circ\\ C=30^\circ.\end{cases}\)

Vậy số đo ba góc cần tìm là \(90^\circ; \ 60^\circ; \ 30^\circ\).

Số ô trên mỗi vòng ong thợ tạo ra

+ Vòng \(1\) có \(6\) ô.

+ Vòng \(2\) có \(12\) ô.

+ Vòng \(3\) có \(18\) ô.

+ Cứ như thế tiếp tục ...

Số ô trên các vòng \(1\), \(2\), \(3\),... theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng có công sai \(d=6\).

Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=3+(n-1)\cdot 9=9n-6\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(u_n=9n-6\).

a. Cấp số cộng \(\left(a_n\right)\) có \(a_1=5\) và \(d=-5\).

Ta có \(a_n=a_1+(n-1)d\) \(=5+(n-1)\cdot (-5)=-5n+10\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(a_n=-5n+10\).

b. Cấp số cộng \(\left(b_n\right)\) có \(b_1=2\) và \(b_{10}=20\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left(b_n\right)\).

Ta có \(b_{10}=b_1+9d\Leftrightarrow 20=2+9d\) \(\Leftrightarrow d=2\).

Do đó

\(b_n=b_1+(n-1)d\) \(=2+(n-1)\cdot 2=2n\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(b_n=2n\).

+ Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left(c_n\right)\).

+ Ta có

\(\begin{cases} c_4=80\\ c_6=40\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} c_1+3d=80\\ c_1+5d=40\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} c_1=140\\ d=-20.\end{cases}\)

+ Do đó

+ \(c_n=c_1+(n-1)d\) \(=140+(n-1)(-20)=-20n+160\).

+ Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(c_n=-20n+160\).

a. Ta có thể sắp xếp \(100\) số nguyên dương đầu tiên thành cấp số cộng có \(u_1=1\), \(u_{100}=100\).

Suy ra \(S_{100}=\displaystyle\frac{100\left(1+100\right)}{2}=5050\).

b. Ta có

\(u_4+u_6=\left(u_1+3d\right)+\left(u_1+5d\right)\) \(=2u_1+8d=20\).

Suy ra \(S_9=\displaystyle\frac{9\left(2u_1+8d\right)}{2}=\displaystyle\frac{9\cdot 20}{2}=90\).

c. Ta có \(S_3=\displaystyle\frac{3\left(2v_1+2d\right)}{2}=-3\), suy ra \(v_1+d=-1\).

Lại có \(S_5=\displaystyle\frac{5\left(2v_1+4d\right)}{2}=-15\), suy ra \(v_1+2d=-3\).

Do đó ta có hệ phương trình \(\begin{cases}v_1+d=-1\\ v_1+2d=-3.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(v_1=1\) và \(d=-2\).

Do đó

\(S_{50}=\displaystyle\frac{50\left(2v_1+49d\right)}{2}\) \(=\displaystyle\frac{50\left[2\cdot 1+49(-2)\right]}{2}=-2400\).

a. Tính tổng của \(50\) số tự nhiên chẵn đầu tiên.

+ Ta có thể sắp xếp \(50\) số tự nhiên chẵn đầu tiên thành cấp số cộng có \(u_1=2\), \(u_{50}=100\).

+ Suy ra

\(\quad\)\(S_{50} =\displaystyle\frac{50\left(2+100\right)}{2} =2550\).

b. Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_3+u_{28}=100\). Tính tổng \(30\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

+ Ta có

\(u_3+u_{28}=\left(u_1+2d\right)+\left(u_1+27d\right)\) \(=2u_1+29d=100\).

+ Suy ra

\(S_{30}=\displaystyle\frac{30\left(2u_1+29d\right)}{2}\) \(=\displaystyle\frac{30\cdot 100}{2}=1500\).

c. Cho cấp số cộng \(\left(v_n\right)\) có \(S_6=18\) và \(S_{10}=110\). Tính \(S_{20}\).

+ Ta có \(S_6=\displaystyle\frac{6\left(2v_1+5d\right)}{2}=18\), suy ra \(2v_1+5d=6\).

+ Lại có \(S_{10}=\displaystyle\frac{10\left(2v_1+9d\right)}{2}=110\), suy ra \(2v_1+9d=22\).

+ Do đó ta có hệ phương trình

\(\quad\)\(\begin{cases}2v_1+5d=6\\ 2v_1+9d=22.\end{cases}\)

+ Giải hệ phương trình này ta được \(v_1=-7\) và \(d=4\).

+ Do đó

\(S_{20}=\displaystyle\frac{20\left(2v_1+19d\right)}{2}\) \(=\displaystyle\frac{20\left[2\cdot (-7)+19\cdot 4\right]}{2}=620\).

Vậy \(S_{20}=620\).

a. Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.

+ Số ghế của hàng thứ nhất, thứ hai, thứ ba, .... được xếp thành cấp số cộng \(17;\ 20; \ 23; \ \ldots \) có \(u_1=17\) và công sai \(d=3\).

+ Số ghế có ở hàng thứ \(20\) là

\(\quad\) \(u_{20}=u_1+19d=17+19\cdot 3=74\ \text{(ghế)}.\)

b. Tính tổng số ghế có ở trong rạp.

+ Tổng số ghế có ở trong rạp là tổng số ghế của \(20\) hàng

\(S_{20}=\displaystyle\frac{20\left(u_1+u_{20}\right)}{2}\) \(=\displaystyle\frac{20\left(17+74\right)}{2}=910 \ \text{(ghế)}.\)

Ta có

\(-3-1=-7-(-3)=-11-(-7)\) \(=-15-(-11)=-4.\)

Do đó đãy số đã cho là cấp số cộng có công sai \(d=-4\).

Ta có

\(u_n=u_1+(n-1)d\) \(=4+(n-1)(-10)=-10n+14\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là \(u_n=-10n+14\).

a. Ta có \(u_{12}=u_1+11d=-3+11\cdot 2=19\).

b. Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=-3+(n-1)2=195\), suy ra \(n=100\).

Vậy \(195\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) đã cho.

a. Ta có \(u_{n+1}=3-4(n+1)\) \(=(3-4n)-4=u_n+(-4)\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=-4\), số hạng đầu \(u_1=3-4\cdot 1=-1\).

b. Ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{n+1}{2}-4\) \(=\left(\displaystyle\frac{n}{2}-4\right)+\displaystyle\frac{1}{2}=u_n+\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=\displaystyle\frac{1}{2}\), số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{1}{2}-4=-\displaystyle\frac{7}{2}\).

c. Ta có \(u_{n+1}=5^{n+1}=5^n\cdot 5=u_n\cdot 5\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không phải là cấp số cộng.

d. Ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{9-5\left(n+1\right)}{3}\) \(=\displaystyle\frac{9-5n}{3}-\displaystyle\frac{5}{3}=u_n+\left(-\displaystyle\frac{5}{3}\right)\), \(\forall n \in \mathbb{N^*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=-\displaystyle\frac{5}{3}\), số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{9-5\cdot 1}{3}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

a. Ta có

\(\begin{cases} u_3-u_1=20\\ u_2+u_5=54\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(u_1+2d\right)-u_1=20\\ \left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} 2d=20\\ 2u_1+5d=54.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(u_1=2\) và \(d=10\).

b. Ta có

\(\begin{cases} u_2+u_3=0\\ u_2+u_5=80\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left(u_1+d\right)+\left(u_1+2d\right)=0\\ \left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=80\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1+3d=0\\ 2u_1+5d=80.\end{cases}\)\

Giải hệ phương trình này ta được \(u_1=-60\) và \(d=40\).

c. Ta có

\(\begin{cases} u_5-u_2=3\\ u_8\cdot u_3=24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left(u_1+4d\right)-\left(u_1+d\right)=3\\ \left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} 3d=3 \quad (1)\\ \left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24.\quad (2)\end{cases}\)

Từ \(3d=3\), suy ra \(d=1\). Thay \(d=1\) vào \((2)\) ta được

\(\left(u_1+7\cdot 1\right)\left(u_1+2\cdot 1\right)=24\) \(\Leftrightarrow u^2_1+9u_1-10=0.\)

Giải phương trình này ta được \(u_1=1\), \(u_1=-10\).

Vậy \(\begin{cases} u_1=1\\ d=1\end{cases}\) và \(\begin{cases} u_1=-10\\ d=1.\end{cases}\)

a. Số bậc của cái thang bằng số thanh ngang có chiều dài lần lượt là \(45\) cm, \(43\) cm, \(41\) cm, \(\ldots\), \(31\) cm (gồm có \(8\) thanh ngang).

Vậy cái thang có \(8\) bậc.

b. Chiều dài của thang gỗ cần mua bằng tổng chiều dài của các thanh ngang

\(45+43+41+39+37+35+33+31\) \(=\displaystyle\frac{8\left(45+31\right)}{2}=304 ~\text{(cm)}.\)

a. Ta có

\(48-16=80-48=112-80\) \(=144-112=\ldots =32\).

Do đó cấp số cộng trên có công sai \(d=32\).

b. Tổng quãng đường người đó rơi tự do trong \(10\) giây đầu tiên là tổng của \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \(16\); \(48\); \(80\); \(112\); \(144\); \(\ldots\).

\(S=\displaystyle\frac{10(2u_1+9d)}{2}\) \(=\displaystyle\frac{10(2\cdot 16+9\cdot 32)}{2} =1600\ \text{(feet)}.\)

Tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là \(A\) và \(B\) cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp.

Khi thêm mỗi alen trội \(A\) hay \(B\) thì chiều cao cây tăng thêm \(5\) cm.

Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene \(aabb\) có chiều cao \(100\) cm.

Cây cao nhất với kiểu gene \(AABB\) có chiều cao là

\(100+5+5+5+5=120 \ \text{(cm)}.\)

a. Cấp số cộng với \(u_1=4\) công sai \(d=5\).

Số hạng thứ \(5\) là \(u_5= u_1+4d=4+4\cdot 5=24 \).

Số hạng tổng quát \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d=4+5(n-1).\)

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=4+99\cdot 5= 499\).

b. Cấp số cộng với \(u_1=1\) công sai \(d=-2\).

Số hạng thứ \(5\) là \(u_5= 1+4\cdot (-2)=-7\).

Số hạng tổng quát là \(u_n= 1-2(n-1)\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=1-2\cdot 99=-197.\)

a. Năm số hạng đầu \( 8,13,18,23,28.\)

Đây là một cấp số cộng. Công sai \(d=5\).

Số hạng tổng quát \(u_n=8+(n-1)\cdot 5.\)

b. Năm số hạng đầu \(2,8,14,20,26.\)

Đây là một cấp số cộng với công sai \(d=6\).

Số hạng tổng quát \(u_n=2+(n-1)\cdot 6\).

c. Năm số hạng đầu \(2,4,7,11,16\).

Đây không phải là cấp số cộng.

d. Năm số hạng đầu \(2,5,8,11,14.\)

Đây là cấp số cộng với công sai \(d=3\).

Số hạng tổng quát \(u_n=2+(n-1)\cdot 3.\)

Giả sử \(u_1\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, theo giả thiết, ta có

\(\begin{cases}u_{5}=u_1+4d=18\\ u_{12}=u_1+11d=32.\end{cases}\)

Giải hệ này ta được \(u_1=10\) và \(d=2\).

Vậy số hạng thức \(50\) của cấp số cộng này là

\(u_{50}=u_1+49d=10+49\cdot 2=108\).

Cấp số cộng này có số hạng đầu là \(u_1=5\) và công sai là \(d=2\).

Gọi \(n\) là số các số hạng đầu của cấp số cộng cần lấy tổng, ta có

\(2700=S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)\) \(=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2\cdot 5+(n-1)\cdot 2\right)\) \(=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2n+8\right).\)

Do đó \(2n^2+8n-5400=0\).

Giải phương trình bậc hai này ta được \(n=-54\) (loại) và \(n=50\).

Vậy phải lấy tổng của \(50\) số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để được tổng bằng \(2700\).

Sau mỗi năm giá của chiếc ô tô giảm \(55\) triệu đồng, do đó ta có thể xem giá của chiếc ô tô đó là một cấp số cộng với \(u_1=680\) và công sai \(d=-55\).

Vậy giá của chiếc ô tô sau \(5\) năm sử dụng là \( u_5=680+4\cdot (-55)=460\) triệu đồng.

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=15\) và công sai \(d=3\).

Gọi \(n\) là số hàng ghế trong hội trường. Tổng các số hạng này là

\(S_{n}=\displaystyle\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]\) \(=\displaystyle\frac{n}{2}\left[2\cdot 15+(n-1)\cdot 3\right]\) \(=\displaystyle\frac{n}{2}(3n+27)\ge 870.\)

Do đó \(3n^2+27n-1740\ge0\).

Giải bất phương trình bậc hai này ta được \(n\le-29\) (loại) và \(n\ge 20\).

Vậy phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Ta thấy dân số của thành phố này qua các năm lập thành cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=1200000\) và \(d=30000\).

Vào năm 2030 dân số thành phố này tương ứng với năm thứ 11 kể từ năm 2020.

Do đó \(u_{11}=1200000+10\cdot 30000=1500000\).

Vậy dân số thành phố này vào năm 2030 là 1,5 triệu người.

a. Ta có

\(-2-10=-14-(-2)=-26-(-14)=-38-(-24)\),

do đó dãy số \(10\); \(-2\); \(-14\); \(-26\); \(-38\) là cấp số cộng.

b. Ta có

\(\displaystyle\frac{5}{4}-\displaystyle\frac{1}{2} \ne 2-\displaystyle\frac{5}{4}\)

nên dãy số

\(\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{5}{4}\); \(2\); \(\displaystyle\frac{11}{4}\); \(\displaystyle\frac{7}{2}\)

không là cấp số cộng.

c. Ta có

\(\sqrt{2}-\sqrt{1} \ne \sqrt{3}-\sqrt{2}\)

nên dãy số

\(\sqrt{1}\); \(\sqrt{2}\); \(\sqrt{3}\); \(\sqrt{4}\); \(\sqrt{5}\)

không là cấp số cộng.

d. Ta có

\(4-1=7-4=10-7=13-10\)

nên dãy số

\(1\), \(4\), \(7\), \(10\), \(13\)

là cấp số cộng.

a. Với \(u_n=3-2 n\) ta có \(u_{n+1}=3-2(n+1)\), khi đó

\(u_{n+1}-u_n=3-2(n+1)-(3-2n)=-2, \forall n \in \mathbb{N}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng, có số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=-2\).

b. Với \(u_n=\displaystyle\frac{3 n+7}{5}\) ta có

\(u_{n+1}=\displaystyle\frac{3(n+1)+7}{5}=\displaystyle\frac{3n+10}{5}\).

Khi đó

\(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{3n+10}{5}-\displaystyle\frac{3n+7}{5}\) \(=\displaystyle\frac{3}{5},\ \forall n \in \mathbb{N}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng, có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=\displaystyle\frac{3}{5}\).

c. Với \(u_n=3^n\), ta có

\(u_1=3; u_2=9; u_3=27\),

khi đó \(u_3-u_2 \ne u_2-u_1\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không là cấp số cộng.

a. Với số hạng đầu \(u_1=-3\), công sai \(d=5\), ta có công thức của số hạng tổng quát \(u_{n}\) là \(u_n=u_1+(n-1) d=-3+(n-1)\cdot 5\) \(= -8+5n.\)

Vậy \(u_n=-8+5n\).

b. Ta có

\(492=-8+5n \Leftrightarrow 5n=500 \Leftrightarrow n=100\).

Vậy \(492\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng.

c. Xét \(300=-8+5n \Leftrightarrow n=\displaystyle\frac{308}{5}\).

Do \(\displaystyle\frac{308}{5} \notin \mathbb{N}\) nên \(300\) không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

Do cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=4\), \(u_2=1\) nên cấp số cộng có công sai là

\(d=u_2-u_1=1-4=-3\).

Khi đó

\(u_{10}=u_1+9d=4+9 \cdot (-3) = -23\).

a. Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ u_1+u_2+u_3=-1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)=-1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ 3u_1+3d=-1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ d=-\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\end{aligned}\)

Vậy công sai \(d=-\displaystyle\frac{2}{3}\) và công thức của số hạng tổng quát là.

\(u_n=u_1+(n-1)d=1-\displaystyle\frac{2n}{3}\).

b. Ta có

\(-67=1-\displaystyle\frac{2n}{3} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2n}{3}=68\) \(\Leftrightarrow n=102\).

Vậy \(-67\) là số hạng thứ \(102\) của cấp số cộng trên.

c. Xét \(7=1-\displaystyle\frac{2n}{3} \Leftrightarrow 18=-2n \Leftrightarrow n = -9\).

Do \(-9\ \notin \mathbb{N}\) nên \(7\) không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

Dãy số có \(u_n=0{,}3n+5\) là cấp số cộng, khi đó \(u_1=5{,}3\) và \(u_{100}=35\).

Do đó tổng \(100\) số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) là

\(S_{100}=\displaystyle\frac{100 \cdot (u_1+u_{100})}{2}\) \(=50 \cdot (5{,}3+35)=2015\).

a. Ta có \(x_3=75+5\cdot(3-1)=85\), do đó một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm \(3\) tuổi là \(85\) centimét.

b. Ta có \(x_n=75+5(n-1)\) nên \(x_{n+1}=75+5(n+1-1)=75+5n\).

Do đó \(u_{n+1}-u_n=5\) nên dãy số \((x_n)\) có là một cấp số cộng.

Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên \(5\) centimét.

a. Kí hợp đồng lao động \(3\) năm.

Phương án 1: Ta có \(u_1=120\) và \(d=18\).

Khi đó trong \(3\) năm sẽ nhận được

\(\displaystyle\frac{3\cdot(2\cdot 120+2\cdot 18)}{2}=414\) (triệu đồng).

Phương án 2: Ta có \(u_1=24\) triệu và \(d=1{,}8\).

Khi đó trong \(3\) năm (tương ứng \(12\) quý) sẽ nhận được

\(\displaystyle\frac{12\cdot(2 \cdot 24+ 11\cdot 1{,}8)}{2}=406{,}8\) (triệu đồng).

Vậy lựa chọn phương án \(1\).

b. Kí hợp đồng lao động \(10\) năm.

Phương án 1: Ta có \(u_1=120\) và \(d=18\).

Khi đó trong \(10\) năm sẽ nhận được

\(\displaystyle\frac{10\cdot(2\cdot 120+9\cdot 18)}{2}=2~010\) (triệu đồng).

Phương án 2: Ta có \(u_1=24\) triệu và \(d=1{,}8\).

Khi đó trong \(10\) năm (tương ứng \(40\) quý) sẽ nhận được

\(\displaystyle\frac{40\cdot(2 \cdot 24+ 39\cdot 1{,}8)}{2}=2~364\) (triệu đồng).

Vậy lựa chọn phương án \(2\).