\(\S2\) CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

\(\bullet\,\) \(y=2x^3-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x-\displaystyle\frac{1}{3}\).

\begin{eqnarray*}y'&=&\left(2x^3-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)' &=&2\left(x^3\right)'-\displaystyle\frac{1}{2} \left(x^2\right)'+4(x)'-0 &=&2\cdot 3x^2-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2x+4\cdot 1-0&=&6x^2-x+4.\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-4}\).

\begin{eqnarray*}y'&=&\left(\displaystyle\frac{-2x+3}{x-4}\right)' &=&\displaystyle\frac{(-2x+3)'(x-4)-(-2x+3)(x-4)'}{(x-4)^2}=\displaystyle\frac{-2(x-4)-(-2x+3)1}{(x-4)^2} &=&\displaystyle\frac{5}{(x-4)^2}.\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x+3}{x-1}\).

\begin{eqnarray*}y'&=&\left(\displaystyle\frac{x^2-2x+3}{x-1}\right)' &=&\displaystyle\frac{\left(x^2-2x+3\right)'(x-1)-\left(x^2-2x+3\right)(x-1)'}{(x-1)^2} &=&\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-\left(x^2-2x+3\right)1}{(x-1)^2} &=&\displaystyle\frac{\left(2x^2-4x+2\right)-(x^2-2x+3)}{(x-1)^2} &=&\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) \(y=\sqrt{5x}\).

\(y'=\left(\sqrt{5x}\right)'=\displaystyle\frac{(5x)'}{2\sqrt{5x}}\) \(=\displaystyle\frac{5}{2\sqrt{5x}}=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}\).

\(\bullet\,\) \(y=\sin 3x\).

\(y'=\left(\sin 3x\right)'=\left(3x\right)'\cdot \cos 3x=3\cos 3x\).

\(\bullet\,\) \(y=\cos^32x\).

\(y'=\left[\left(\cos 2x\right)^3\right]^\prime\) \(=3\left(\cos 2x\right)^2\cdot \left(\cos 2x\right)'=3\cos^2 2x \cdot (2x)'\cdot\left(-\sin 2x\right)\) \(=-6\cos^2 2x\cdot \sin 2x\).

\(\bullet\,\) \(y=\tan^2x\).

\(y'=\left[\left(\tan x\right)^2\right]'\) \(=2\tan x\cdot \left(\tan x\right)'\) \(=2\tan x\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}=\displaystyle\frac{2\tan x}{\cos^2x}\).

\(\bullet\,\) \(y=\cot(4-x^2)\).

\(y'=\left[\cot (4-x^2)\right]'\) \(=-\displaystyle\frac{\left(4-x^2\right)'}{\sin^2(4-x^2)}=\displaystyle\frac{2x}{\sin^2(4-x^2)}\).

\(\bullet\,\) \(y=\left(x^2-x\right)\cdot 2^x\).

\begin{eqnarray*}y'&=&\left[\left(x^2-x\right)\cdot 2^x\right]'\\ &=&\left(x^2-x\right)'\cdot 2^x+\left(x^2-x\right)\cdot\left( 2^x\right)'\\ &=&(2x-1)\cdot 2^x+\left(x^2-x\right)\cdot 2^x\cdot \ln 2\\ &=&2^x\left[(2x-1)+(x^2-x)\ln 2\right].\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) \(y=x^2\cdot \log_3 x\).

\begin{eqnarray*}y'&=&\left[x^2\cdot \log_3 x\right]'\\ &=&\left(x^2\right)'\cdot \log_3x+x^2\cdot \left(\log_3 x\right)'\\ &=&2x\cdot \log_3x+x^2\cdot \displaystyle\frac{1}{x\cdot \ln 3}\\ &=&2x\cdot \log_3x+\displaystyle\frac{x}{\ln 3}\\ &=&x \left(2\log_3x+\displaystyle\frac{1}{\ln 3}\right).\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) \(y=\mathrm{e}^{3x+1}\).

\(y'=\left(\mathrm{e}^{3x+1}\right)'\) \(=(3x+1)'\cdot \mathrm{e}^{3x+1}\) \(=3\cdot \mathrm{e}^{3x+1}\).

Ta có \(w'(t)=0,000758\cdot 3t^2-0,0596\cdot 2t+1,82\).

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm \( 10\) tháng tuổi là \(w'(10)=0,8554\) pound/tháng.

Ta có \(C'(x)=\displaystyle\frac{(5x^2+60)'}{2\sqrt{2x^2=60}}=\displaystyle\frac{5x}{\sqrt{5x^2+50}}\).

Công ty thực hiện kế hoạch nâng sản lượng sau \(4\) tháng có sản lượng là \(x(4)=20\cdot 4+40=120\).

Chi phí sẽ tăng sau \(4\) tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch là \(C'(120)\simeq 2,235\).

Ta có \(s'(t)=1,62t\), \(s''(t)=1,62\).

\(\bullet\,\) Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm \(t=2\) sau khi thả vật rơi từ độ cao \(200\) m phía trên Mặt Trăng là \(s(2)=0,81\cdot 2^2=3,24\) m.

\(\bullet\,\) Gia tốc của vật thời điểm \(t=2\) là \(s''(2)=1,62\) m/s\(^2\).

\(\bullet\,\)[a)] \(y'=\displaystyle\frac{(x+1)'}{x+1}=\displaystyle\frac{1}{x+1}\).

\(y''=-\displaystyle\frac{(x+1)'}{(x+1)^2}=-\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}\).

\(\bullet\,\)[b)] \(y'=\displaystyle\frac{(2x)'}{\cos^2 2x}=\displaystyle\frac{2}{\cos^2 2x}\).

\(y''=-\displaystyle\frac{2 (\cos^2 2x)'}{\cos^4 2x}=\displaystyle\frac{-2\cdot 2 (2x)'\cdot \cos 2x \cdot (-\sin 2x)}{\cos^4 2x}=\displaystyle\frac{4\cdot \sin 4x}{\cos^ 4 2x}\).

\(v(t)=s'(t)=\left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)'\cdot 0{,}5 \cos \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=\pi \cos \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right).\)

\(a(t)=v'(t)=-\pi \cdot \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)'\cdot \sin \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=-2\pi^2 \sin \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right) \).

Gia tốc của hạt tại thời điểm \(t=5\) giây là \(a(5)=-2\pi^2 \sin \left(2\pi 5+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)\approx -11{,}6 \, \text{(m/s}^2).\)

\(\bullet\,\) \((u+v+w)'=u'+v'+w'\) là phát biểu đúng.

\(\bullet\,\) \((u+v-w)'=u'+v'-w'\) là phát biểu đúng.

\(\bullet\,\) \((u v)'=u' v'\) là phát biểu sai vì \((uv)'=u'v+v'u\).

\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)'=\displaystyle\frac{u'}{v'}\) với \(v=v(x) \neq 0, v'=v'(x) \neq 0\) là phát biểu sai vì \(\left(\displaystyle\frac{u}{v}\right)'=\displaystyle\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\text{ với }v=v(x) \neq 0, v'=v'(x) \neq 0.\)

Ta có

\(VT=(u \cdot v \cdot w)'=u'\cdot (v\cdot w)+u\cdot (v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w + u\cdot v'\cdot w +u\cdot v \cdot w'=VP.\)

\(\bullet\,\) \(y=4 x^3-3 x^2+2 x+10\Rightarrow y'=(4x^{3})'-(3x^2)'+(2x)'+(10)'=12x^2-6x+2\).

\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\Rightarrow y'=\displaystyle\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x-1-(x+1)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}\).

\(\bullet\,\) \(y=-2 x \sqrt{x}\Rightarrow y'=(-2x)'\cdot \sqrt{x}-2x\cdot (\sqrt{x})'=-2\sqrt{x}-2x\cdot \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}-\sqrt{x}=-3\sqrt{x}\).

\(\bullet\,\) \(y=3 \sin x+4 \cos x-\tan x\Rightarrow y'=(3 \sin x)'+(4 \cos x)'-(\tan x)'=3\cos x -4\sin x -\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}\).

\(\bullet\,\) \(y=4^x+2 \mathrm{e}^x\Rightarrow y'=(4^x)'+(2 \mathrm{e}^x)'=4^{x}\ln 4+2\mathrm{e}^x\).

\(\bullet\,\) \(y=x \ln x\Rightarrow y'=(x)'\ln x+x(\ln x)'=\ln x+x\cdot \displaystyle\frac{1}{x}=\ln x +1\).

\(\bullet\,\) Đặt \(3x+2\), ta có \(f(x)=2^{u}\).

Vậy \(f(x)=2^{3 x+2}\) là hàm hợp của hai hàm số \(f(x)=2^{u}\), \(u=3x+2\).

\(\bullet\,\) Ta có \(f'(x)=\left(2^{3 x+2}\right)'=(3x+2)'\cdot 2^{3 x+2}\cdot \ln2=3\cdot 2^{3 x+2}\cdot \ln2 \).

\(\bullet\,\) Ta có\(y=\sin 3 x+\sin^2 x=\sin 3x + \displaystyle\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\).

Do đó \(y'=(\sin 3x)'+\displaystyle\frac{1}{2}(1-\cos 2x)'=3\cos 3x +\sin 2x\).

\(\bullet\,\) Ta có \(y=\log_2(2 x+1)+3^{-2 x+1}\).

Do đó

\begin{eqnarray*}y'&=&\left(\log_2(2x+1)\right)'+\left(3^{-2x+1}\right)'\\&=&\displaystyle\frac{(2x+1)'}{(2x+1)\ln 2}+(-2x+1)'\cdot 3^{-2x+1}\cdot \ln 3\\&=& \displaystyle\frac{2}{(2x+1)\ln 2}-2\cdot 3^{-2 x+1}\cdot \ln 3.\end{eqnarray*}

\(\bullet\,\) Ta có \(y=x^3-3 x^2+4\Rightarrow y'=3x^2-6x\).

Khi đó \(f'(2)=3\cdot 2^{2}-6\cdot 2=0\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(2,0)\) là \(y=0\cdot (x-2)+0\) hay \(y=0\).

\(\bullet\,\) Ta có \(y=\ln x\Rightarrow y'=\displaystyle\frac{1}{x}\).

Khi đó \(f'(\mathrm{e})=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(N(\mathrm{e},1)\) là \(y=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}(x-\mathrm{e})+1\) hay \(y=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}x\).

\(\bullet\,\) Ta có \(y=\mathrm{e}^x\Rightarrow y'=\mathrm{e}^{x}\).

Khi đó \(f'(0)=1\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P(0,1)\) là \(y=1\cdot (x-0)+1\) hay \(y=x+1\).

Cho \(Oy\) theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc \(O\) là vị trí viên đạn bắn lên, khi đó phương trình chuyển động của viên đạn là

\(y=v_0 t-\displaystyle\frac{1}{2} g t^2.\)

Ta có vận tốc tại thời điểm \(t\) là

\(v=y'(t)=v_0-gt.\)

Do đó

\(v=0 \Leftrightarrow v_0-g t=0 \Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{v_0}{g}=\frac{196}{9{,}8}=20\,\, (\text{s}).\)

Vậy khi \(t = 20\) s thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất

\(y=v_0 t-\displaystyle\frac{1}{2} g t^2=196\cdot 20-\displaystyle\frac{1}{2} 9{,}8\cdot 20^2=1960\,\,\text{m}.\)

Ta có \(q'(t)=(Q_{0}\sin \omega t)'=Q_0\cdot \omega\cdot \cos \omega t\).

Cường độ của dòng điện tại thời điểm \(t=6\) (s) là

\(I(6)=10^{-8}\cdot 10^{6}\pi \cdot\cos(10^{6}\pi \cdot 6)=\displaystyle\frac{\pi}{100}\,\,(\text{A})=31{,}4159\,\,(\text{mA}).\)

\(\bullet\,\) \( y=\displaystyle\frac{1}{2x+3}\).

\(\Rightarrow y'=-\displaystyle\frac{(2x+3)'}{(2x+3)^{2}}=-\displaystyle\frac{2}{(2x+3)^{2}}\).

\( \Rightarrow y''=\left[-\displaystyle\frac{2}{(2x+3)^{2}}\right]'=\displaystyle\frac{2\left[(2x+3)^{2}\right]'}{(2x+3)^{4}}=\displaystyle\frac{8(2x+3)}{(2x+3)^{4}}=\displaystyle\frac{8}{(2x+3)^{3}} \).

\(\bullet\,\) \( y=\log_{3}x \).

\(\Rightarrow y'=\displaystyle\frac{1}{x\ln 3} \).

\(\Rightarrow y''=\left(\displaystyle\frac{1}{x\ln 3}\right)'=-\displaystyle\frac{(x\ln3)'}{(x\ln3)^{2}} =-\displaystyle\frac{\ln 3}{(x\ln 3)^{2}} =-\displaystyle\frac{1}{x^{2}\ln3}\).

\(\bullet\,\) \( y=2^{x} \).

\( \Rightarrow y'=2^{x}\ln2 \).

\( \Rightarrow y''=\left(2^{x}\ln2\right)'=2^{x}\ln^{2}2 \).

\(\bullet\,\) \( y=3x^{2}-4x+5 \) tại điểm \( x_{0}=-2 \).

Ta có \( y'=6x-4 \Rightarrow y''=6\).

\(\bullet\,\) \( y=\log_{3}(2x+1) \) tại điểm \( x_{0}=3 \).

Ta có \( y'= \displaystyle\frac{2}{(2x+1)\ln 3}\Rightarrow y''=\displaystyle\frac{-2\left[(2x+1)\ln3\right]'}{\left[(2x+1)\ln3\right]^{2}}=-\displaystyle\frac{4\ln3}{\left[(2x+1)\ln3\right]^{2}} = - \displaystyle\frac{4}{(2x+1)^2\ln3}\).

Suy ra \( y''(3)=-\displaystyle\frac{4\ln3}{\left[(2\cdot 3+1)\ln3\right]^{2}}=-\displaystyle\frac{4}{49\ln3} \).

\(\bullet\,\) \( y=\mathrm{e}^{4x+3} \) tại điểm \( x_{0}=1 \).

Ta có \( y'=4\mathrm{e}^{4x+3} \Rightarrow y''=16\mathrm{e}^{4x+3}\).

\(\bullet\,\) \( y=\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \) tại điểm \( x_{0}=\displaystyle\frac{\pi}{6} \).

Ta có \( y'=2\cos \left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow y''=-4\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \).

Suy ra \( y''\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)= -4\sin \left(2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-2\sqrt{3} \).

\(\bullet\,\) \( y=\cos \left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \) tại điểm \( x_{0}=0 \).

Ta có \( y'=-3\sin \left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow y''= -9\cos \left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).

Suy ra \( y''\left(0\right)=-9\cos \left(3\cdot 0-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{-9\sqrt{3}}{2} \).

\(\bullet\,\) Phương trình vận tốc của vật \( v(t)= s'(t)=gt \).

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t_{0}=2 \) là \( v(2)=9,8\cdot 2= 19,6 \) (m/s).

\(\bullet\,\) Phương trình gia tốc của vật \( a(t)=v'(t)=g\). Do đó \(a(2)=9,8 \) (m/s\(^{2}\)).

\(\bullet\,\) Phương trình vận tốc của vật \( v(t)=s'(t)=3t^{2} -6t+8\).

Vận tốc tại thời điểm \( t=3 \) là \( v(3)=3\cdot 3^{2}-6\cdot 3+8=17 \) (m/s).

Phương trình gia tốc của vật \( a(t)=v'(t)= 6t-6\).

Gia tốc tại thời điểm \( t=3 \) là \( a(3)=6\cdot 3-6 =12\) (m/s\( ^{2} \)).

\(\bullet\,\) Tại thời điểm chất điểm di chuyển được \( 7 \)m nên ta có

\( t^{3}-3t^{2}+8t+1=7 \Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}+8t-6=0\Leftrightarrow t=1\).

Vận tốc tại thời điểm \( t=1 \) là \( v(1)=3\cdot 1^{2}-6\cdot 1+8= 5 \) (m/s).

Gia tốc tại thời điểm \( t=1 \) là \( a(1)=6\cdot 1-6 =0\) (m/s\(^{2} \)).

\(\bullet\,\) Phương trình vận tốc của vật \( v(x)=s'(x)=4\cos t \) (cm/s).

Vận tốc tức thời của vật ở thời điểm \( t \) là \( v(t)=4\cos t \) (cm/s).

Phương trình gia tốc của vật \( a(x)=v'(x)=-4\sin t \) (cm/s\( ^{2} \)).

Gia tốc tức thời của vật ở thời điểm \( t \) là \( a(t)=-4\sin t \) (cm/s\( ^{2} \)).

\(\bullet\,\) Tại thời điểm \( t=\displaystyle\frac{2\pi}{3} \) ta có

Vật di chuyển được quãng đường \( x=4\sin \displaystyle\frac{2\pi}{3} = 2\sqrt{3}\) (cm).

Vận tốc tức thời tại thời điểm \( t=\displaystyle\frac{2\pi}{3} \) là \( v\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=4\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}=-2 \) (cm/s).

Gia tốc tức thời tại điểm \( t=\displaystyle\frac{2\pi}{3} \) là \( a\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=-4\sin \displaystyle\frac{2\pi}{3} =-2\sqrt{3} \).

Tại thời điểm đó, vật di chuyển theo hướng ngược lại với phương \( Ox \).