Bài 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sau phiến đá hai bên tạo thành các cung \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EF\), \(FG\), \(GH\) bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường kính \(AH\), làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(AH\)?
1. Công thức cộng
Quan sát hình bên. Từ hai cách tính tích vô hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{ON}\) sau đây
\(\circ\quad\) \(\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = |\overrightarrow{OM}| \cdot |\overrightarrow{ON}| \cdot \cos (\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON})\) \(= \cos (\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}) = \cos (\alpha - \beta).\)
\(\circ\quad\) \(\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = x_Mx_N + y_My_N.\)
+ Hãy suy ra công thức \(\cos (\alpha - \beta)\) theo các giá trị lượng giác của các góc \(\alpha\) và \(\beta\).
+ Từ đó, hãy suy ra công thức \(\cos (\alpha + \beta)\) bằng cách thay \(\beta\) bằng \(-\beta\).
Công thức cộng
\(+)\) \(\sin (\alpha + \beta)\) \(=\sin \alpha\cos \beta+ \sin \beta\cos a\).
\(+)\) \(\sin (\alpha - \beta)\) \(=\sin \alpha\cos \beta-\sin \beta\cos a\).
\(+)\) \(\cos (\alpha + \beta)\) \(=\cos \alpha\cos \beta - \sin \alpha\sin \beta\).
\(+)\) \(\cos (\alpha - \beta)\) \(=\cos \alpha\cos \beta +\sin \alpha\sin \beta\).
\(+)\) \(\tan (\alpha + \beta)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan a\tan \beta}\).
\(+)\) \(\tan (\alpha - \beta)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}\).
Ví dụ 1. Tính giá trị \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
\(\cos \displaystyle\frac{\pi}{12} = \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(= \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \(= \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\).
Ví dụ 2. Tính \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\) và \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
\(+)\) Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12} = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(= \sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \(= \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).
\(+)\) Ta có
\(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12} = \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(= \displaystyle\frac{\tan \displaystyle\frac{\pi}{3} - \tan \displaystyle\frac{\pi}{4} }{1 + \tan \displaystyle\frac{\pi}{3} \tan \displaystyle\frac{\pi}{4}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3} -1}{1 + \sqrt{3}}\).
2. Công thức góc nhân đôi
Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp \(\beta = \alpha\) và tính các giá trị lượng giác của góc \(2 \alpha\).
Công thức tính các giá trị lượng giác của góc \(2 \alpha\) qua các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) được gọi là công thức góc nhân đôi.
Công thức nhân đôi
\(+)\) \(\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) \(= 2\cos^2\alpha - 1\) \(= 1 - 2\sin^2\alpha\).
\(+)\) \(\sin2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha\).
\(+)\) \(\tan2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}\).
Ví dụ 1. Tính giá trị \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Ta có
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \(= \cos \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = 1 - 2 \sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Suy ra \(\sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\).
Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\).
Suy ra \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\).
Ví dụ 2. Tính \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\) và \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
\(+)\) Ta có
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \(= \cos \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right)\) \(= 2 \cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} - 1\). Suy ra \(\cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\).
Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\).
Suy ra \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\).
\(+)\) Ta có
\(1 = \tan \displaystyle\frac{\pi}{4} = \tan \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = \displaystyle\frac{2\tan \displaystyle\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{8}}\).
Suy ra
\(\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} + 2\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} - 1= 0\) \(\Leftrightarrow \tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2}\) hoặc \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 - \sqrt{2}.\)
Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\tan\displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\).
Suy ra \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2}\).
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:
a. \(\cos (\alpha-\beta)\) và \(\cos (\alpha+\beta)\).
b. \(\sin (\alpha-\beta)\) và \(\sin (\alpha+\beta)\).
Công thức biến đổi tích thành tổng
\(+)\) \(\cos \alpha\cos \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left({\alpha - \beta}\right)+\cos \left({\alpha + \beta}\right)\right]\)
\(+)\) \(\sin \alpha\sin \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[{\cos\left({\alpha - \beta}\right) - \cos\left({\alpha + \beta}\right)}\right]\)
\(+)\) \(\sin \alpha\cos \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[{\sin\left({\alpha - \beta}\right) + \sin\left({\alpha + \beta}\right)}\right]\).
Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức \(\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\).
\(\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{11 \pi}{12} - \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right) + \cos \left(\displaystyle\frac{11 \pi}{12} + \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)\right]\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} + \cos \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right) = \displaystyle\frac{1}{4}.\)
Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{24} \cos \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\) và \(\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{8} \sin \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\).
\(+)\) Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{24} \cos \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{24} - \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\right) + \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{24} + \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\right)\right]\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) + \sin \displaystyle\frac{ \pi}{4}\right] = \displaystyle\frac{-1 + \sqrt{2}}{4}.\)
\(+)\) Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{8} \sin \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{7 \pi}{8} - \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\right) - \cos \left(\displaystyle\frac{7 \pi}{8} + \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\right)\right]\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}.\)
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác \(a = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\) và \(b = \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\), ta được các đẳng thức nào?
Công thức biến đổi tổng thành tích
\(+)\) \(\cos \alpha + \cos \beta \) \(= 2\cos \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
\(+)\) \(\cos \alpha - \cos \beta \) \(= -2\sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
\(+)\) \(\sin \alpha + \sin \beta \) \(= 2\sin \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
\(+)\) \(\sin \alpha-\sin \beta\) \(=2\cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
Ví dụ 1. Tính \(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\) \(= 2 \sin \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2} \cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5 \pi}{12} - \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2}\) \(= 2 \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}.\)
Ví dụ 2. Tính \(\cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
Ta có
\(\cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}\) \(= 2\cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2} \cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7 \pi}{12} - \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2}\) \(= 2 \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng \(120\) cm và khoảng cách từ \(B\) dến đường kính \(AH\) là \(27\) cm. Tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\), từ đó tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường kính \(AH\). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
BÀI TẬP
Bài tập 1. Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
a. \(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}\).
b. \(-555^{\circ}\).
a. Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\sin\left( \displaystyle\frac{3\pi}{12}+\displaystyle\frac{2\pi}{12} \right)=\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(=\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos\displaystyle\frac{\pi}{4} \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
Ta có
\(\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(=\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin\displaystyle\frac{\pi}{4} \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
Suy ra
\(\tan\displaystyle\frac{5\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{5\pi}{12}}{\cos\displaystyle\frac{5\pi}{12}}=\displaystyle\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{\sqrt 6-\sqrt 2}\) \(\Rightarrow \cot\displaystyle\frac{5\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{\sqrt 6+\sqrt 2}\).
b. Ta có \(-555^{\circ}=-2\cdot360^\circ+165^\circ\).
Suy ra
\(\sin(-555^\circ)=\sin 165^\circ\)
\(=\sin 15^\circ=\sin\left(45^\circ-30^\circ\right)\)
\(=\sin 45^\circ\cos 30^\circ-\sin 30^\circ \cos 45^\circ\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};\)
\(\cos(-555^\circ)=\cos 165^\circ\)
\(=-\cos 15^\circ=-\cos\left(45^\circ-30^\circ\right)\)
\(=-\left( \cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 30^\circ \sin 45^\circ\right)\)
\(=-\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.\)
Suy ra
\(\tan (-555^\circ)=\displaystyle\frac{\sin (-555^\circ)}{\cos(-555^\circ)} =-\displaystyle\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}\) \(\Rightarrow \cot(-555^\circ)=-\displaystyle\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}\).
Bài tập 2. Tính \(\sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\), \(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\) biết \(\sin \alpha = -\displaystyle\frac{5}{13}\) và \(\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\).
\(\bullet\ \) Do \(\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow \cos \alpha < 0\).
\(\bullet\ \) Ta có \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\Rightarrow \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2}\) \(= -\displaystyle\frac{12}{13}\).
\(\bullet\ \) Suy ra \(\sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \sin \alpha \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{6} \cos \alpha\) \(= -\displaystyle\frac{5}{13} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{12}{13} = \displaystyle\frac{-5\sqrt{3} -12}{26}\);
và
\(\quad\)\(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \sin \alpha\) \(= -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{12}{13} - \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{5}{13} = -\displaystyle\frac{17\sqrt{2}}{26}\).
Bài tập 3. Tính các giá trị lượng giác của góc \(2 \alpha\), biết:
a. \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) và \(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\);
b. \(\sin \displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{3}{4}\) và \(\pi < \alpha < 2 \pi\).
a. Do \(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos \alpha > 0\).
Ta có \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}\) \(= \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).
Suy ra
\(\bullet\ \) \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 - 1 = \displaystyle\frac{1}{3}\);
\(\bullet\ \) \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\) \(= \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\);
\(\bullet\ \) \(\tan 2\alpha = \displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} =2\sqrt{2}\Rightarrow \cot 2\alpha\) \(= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\).
b. Ta có
\(\cos \alpha=\cos \left( 2\cdot\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right) =1-2\sin^2 \displaystyle\frac{\alpha}{2}\) \(=1-2\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 =-\displaystyle\frac{1}{8}\).
Ta có
\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\) \(=1-\displaystyle\frac{1}{64} =\displaystyle\frac{63}{64}\).
Vì \(\pi<\alpha<2\pi\) nên \(\sin \alpha<0\). Suy ra \(\sin \alpha=-\sqrt{\displaystyle\frac{63}{64}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{8}\).
Do đó
\(\bullet\ \) \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha \cos \alpha=2\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{8}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{32}\);
\(\bullet\ \) \(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 =2\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)^2 -1\) \(=-\displaystyle\frac{31}{32}\).
\(\bullet\ \) \(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{\sin2\alpha}{\cos 2\alpha} =-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{31}\) và \(\cot 2\alpha=-\displaystyle\frac{31}{\sqrt{63}} \).
Bài tập 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a. \(\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) - \cos \alpha\);
b. \((\cos \alpha+\sin \alpha)^2 - \sin 2 \alpha\).
a. Ta có
\(\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) - \cos \alpha\)
\(=\sqrt{2}\sin \alpha \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\cos \alpha \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \alpha\)
\(=\sqrt{2}\sin \alpha \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}\cos \alpha \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos \alpha\)
\(=\sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha\)
\(= \sin \alpha.\)
b. Ta có
\((\cos \alpha+\sin \alpha)^2 - \sin 2 \alpha\)
\(=\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin 2 \alpha\)
\(=(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin 2 \alpha - \sin 2 \alpha\)
\(=1.\)
Bài tập 5. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), biết:
a. \(\cos 2 \alpha = \displaystyle\frac{2}{5}\) và \(-\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\);
b. \(\sin 2 \alpha = -\displaystyle\frac{4}{9}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4}\).
a. Do \(-\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\) \(\Rightarrow \begin{cases}\cos \alpha > 0\\ \sin \alpha < 0\\ \tan \alpha < 0\\ \cot \alpha < 0.\end{cases}\)
Ta có
\(\cos 2 \alpha = \displaystyle\frac{2}{5} \Leftrightarrow 2\cos^2 \alpha - 1 = \displaystyle\frac{2}{5}\)
\(\Leftrightarrow \cos^2 \alpha = \displaystyle\frac{7}{10} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos \alpha = \sqrt{\displaystyle\frac{7}{10}} \\ &\cos \alpha = -\sqrt{\displaystyle\frac{7}{10}} \;\;\text{(loại)}.\end{aligned}\right.\)
Do
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt{1 -\cos^2 \alpha} = - \sqrt{1 - \displaystyle\frac{7}{10}}\) \(= -\sqrt{\displaystyle\frac{3}{10}}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \sqrt{\displaystyle\frac{3}{7}} \Rightarrow \cot \alpha = - \sqrt{\displaystyle\frac{7}{3}}\).
b. Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4}\) \(\Rightarrow \begin{cases}\sin \alpha > 0\\ \cos \alpha < 0\\ \tan \alpha < 0\\ \cot \alpha < 0.\end{cases}\)
Mặt khác \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4}\) \(\Rightarrow \pi < 2\alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow \cos 2\alpha < 0\).
Ta có
\(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1\) \(\Rightarrow \cos 2 \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 2\alpha}\) \(= -\sqrt{1 - \left(-\displaystyle\frac{4}{9}\right)^2} = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9}.\)
Ta có
\(\cos 2 \alpha = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9} \Leftrightarrow 2\cos^2 \alpha - 1 = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9}\)
\(\Leftrightarrow \cos^2 \alpha = \displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos \alpha = \sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}} \;\;\text{(loại)}\\ &\cos \alpha = -\sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}}.\end{aligned}\right.\)
Do \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\Rightarrow \sin \alpha = \sqrt{1 -\cos^2 \alpha}\) \(= \sqrt{1 - \displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}} = \sqrt{\displaystyle\frac{9 + \sqrt{65}}{18}}\).
Suy ra
\(\tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \sqrt{\displaystyle\frac{9 + \sqrt{65}}{9 - \sqrt{65}}}\) \(\Rightarrow \cot \alpha = - \sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{9 + \sqrt{65}}}\).
Bài tập 6. Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\), ta có \(\sin A = \sin B \cos C + \sin C \cos B\).
\(\bullet\ \) Trong \(\triangle ABC\) ta có \(A + B + C = \pi\) \(\Leftrightarrow A = \pi - (B + C)\).
\(\bullet\ \) Suy ra \(\sin A = \sin \left(\pi - (B + C)\right)\) \(= \sin (B + C) = \sin B \cos C + \sin C \cos B\).
Ví dụ 7. Trong hình bên, tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có hai cạnh góc vuông là \(AB = 4\), \(BC = 3\). Vẽ điểm \(D\) nằm trên tia đối của tia \(CB\) thoả mãn \(\widehat{CAD} = 30^\circ\). Tính \(\tan \widehat{BAD}\), từ đó tính độ dài cạnh \(CD\).
+ Trong \(\triangle ABC\) vuông tại \(B\) ta có \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} =5\).
+ Mặt khác \(\tan \widehat{BAC} = \displaystyle\frac{BC}{AB} = \displaystyle\frac{3}{4}\).
+ Suy ra
\(\tan \widehat{BAD}=\tan \left(\widehat{BAC} + \widehat{CAD}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{\tan \widehat{BAC} + \tan 30^\circ}{1 - \tan \widehat{BAC} \cdot \tan 30^\circ}\)
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{4} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \displaystyle\frac{3}{4} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}} = \displaystyle\frac{9 + 4\sqrt{3}}{12 - 3\sqrt{3}}\)
\(= \displaystyle\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39}.\)
\(\)
+ Trong \(\triangle ABD\) vuông tại \(B\) ta có
\(BD = AB \cdot \tan \widehat{BAD}\) \(= 4 \cdot \displaystyle\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} = \displaystyle\frac{192 + 100\sqrt{3}}{39}.\)
+ Vậy độ dài của \(CD\) là
\(CD = BD - BC\) \(= \displaystyle\frac{192 + 100\sqrt{3}}{39} - 3 = \displaystyle\frac{75 + 100\sqrt{3}}{39}\).
Ví dụ 8. Trong hình bên dưới, pít-tông \(M\) của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu \(I A\). Ban đầu \(I\), \(A\), \(M\) thẳng hàng. Cho \(\alpha\) là góc quay của trục khuỷu, \(O\) là vị trí của pít-tông khi \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(Ix\). Trục khuỷu \(IA\) rất ngắn so với độ dài thanh truyền \(A M\) nên có thể xem như độ dài \(MH\) không đổi và gần bằng \(MA\).
a. Biết \(IA = 8\) cm, viết công thức tính tọa độ \(x_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Ox\) theo \(\alpha\).
b. Ban đầu \(\alpha = 0\). Sau 1 phút chuyển động, \(x_M = -3\) cm. Xác định \(x_M\) sau \(2\) phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
a. Ta có \(OM=IH\) nên \(x_M = IA \cdot \cos \alpha = 8\cos \alpha\).
b. Sau 1 phút chuyển động, góc quay \(\alpha\) thì ta có
\(x_M = 8\cos \alpha = - 3 \Leftrightarrow \cos \alpha = -\displaystyle\frac{3}{8}.\)
Sau 2 phút chuyển động, ta có góc quay là \(2\alpha\) thì
\(x_M = 8\cos 2\alpha = 8(2\cos^2 \alpha - 1)\) \(= -\displaystyle\frac{23}{4} \approx -5{,}8\ (\mathrm{cm}).\)
Ví dụ 9. Trong Hình 5 , ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài \(31\) m, độ cao của điểm \(M\) so với mặt đất là \(30\) m, góc giữa các cánh quạt là \(\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\) và số đo góc \((OA, OM)\) là \(\alpha\).
a. Tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).
b. Tính \(\sin\) của các góc lượng giác \((OA, ON)\) và \((OA, OP)\), từ đó tính chiều cao của các điểm \(N\) và \(P\) so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
a. Ta có tọa độ điểm \(M\) trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) là \(M(x_M; y_M)\).
Với \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{y_M}{OM} = -\displaystyle\frac{30}{31}\) và \(\cos \alpha =\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}\).
b. Ta có \((OA, OP)=(OA,OM)+(OM,OP)\) \(=\alpha+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).
Suy ra
\(\sin (OA,OP)=\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\)
\(=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cos\alpha\)
\(=-\displaystyle\frac{30}{31}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}=\displaystyle\frac{30+\sqrt{183}}{62}.\)
Do đó chiều cao của điểm \(P\) so với mặt đất là
\(60+31\sin(OA,OP)\) \(=60+31\cdot \displaystyle\frac{30+\sqrt{183}}{62}\approx 81{,}76\ \mathrm{m}\).
Tương tự, ta có \((OA, ON)=(OA,OM)+(OM,ON)\) \(=\alpha+\displaystyle\frac{4\pi}{3}\).
Suy ra
\(\sin (OA,ON)=\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{4\pi}{3}\right)\)
\(=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{4\pi}{3}+\sin\displaystyle\frac{4\pi}{3}\cos\alpha\)
\(=-\displaystyle\frac{30}{31}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot\displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}\) \(=\displaystyle\frac{30-\sqrt{183}}{62}.\)
Do đó chiều cao của điểm \(N\) so với mặt đất là
\(60+31\sin(OA,ON)=60+31\cdot \displaystyle\frac{30-\sqrt{183}}{62}\) \(\approx 68{,}24 \ \mathrm{m}\).