\(\S2 \) BIẾN CỐ HỢP VÀ QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

Xét phép thử Chọn ra ngẫu nhiên \(3\) quả bóng từ một hộp chứa \(13\) quả bóng.

Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n\left(\Omega\right)=\mathrm{C}_{13}^3=286\).

\(\bullet\,\) Gọi \(A\) là biến cố: Cả \(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu \( \Rightarrow\) có \(2\) khả năng:

\(+)\,\) \(3\) quả bóng lấy ra đều có màu xanh: \(\mathrm{C}_5^3\) (cách).

\(+)\,\) \(3\) quả bóng lấy ra đều có màu đỏ: \(\mathrm{C}_6^3\) (cách).

\(\Rightarrow n\left(A\right)=\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_6^3=30\).

Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{30}{286}=\displaystyle\frac{15}{143}\).

\(\bullet\,\) Gọi \(B\) là biến cố: Có ít nhất \(2\) quả bóng màu xanh trong \(3\) quả bóng lấy ra \(\Rightarrow\) có \(2\) khả năng:

\(+)\,\) Lấy được \(3\) quả bóng màu xanh: \(\mathrm{C}_5^3\) (cách).

\(+)\,\) Lấy được \(2\) quả bóng màu xanh và \(1\) quả bóng màu đỏ hoặc vàng: \(\mathrm{C}_5^2\cdot \mathrm{C}_8^1\) (cách).

\(\Rightarrow n\left(B\right)=\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^2\cdot \mathrm{C}_8^1=90\).

Vậy \(\mathrm{P}\left(B\right)=\displaystyle\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{90}{286}=\displaystyle\frac{45}{143}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left(\Omega\right)=7!\cdot 7!\).

Gọi \(A\) là biến cố \({''}\)Có ít nhất một trong hai bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình\({''}\)

\(\bullet\,\) Cả \(2\) bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ có \(7!\cdot 5!\) (cách).

\(\bullet\,\) Chỉ có \(1\) bạn Bình hoặc Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ có \(2\cdot 6!\cdot 7!\) (cách).

\(\Rightarrow n\left(A\right)=7!\cdot 5!+2\cdot 6!\cdot 7!\).

Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{13}{42}\).

Vì hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau nên \(\begin{cases}\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cdot B)\\ \mathrm{P}(A\cdot B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B)\end{cases}\).

Khi đó

\(\bullet\,\) \(\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B)\) \(=0{,}3+0{,}2-0{,}3\cdot 0{,}2=0{,}44\).

\(\bullet\,\) \(\mathrm{P}(A)= \displaystyle\frac{\mathrm{P}(A\cup B)-\mathrm{P}(B)}{1-\mathrm{P}(B)}\) \(=\displaystyle\frac{0{,}7-0{,}5}{1-0{,}5}=0{,}4\).

Vì xác suất xuất hiện mặt sắp trong mỗi lần gieo đều bằng \(0{,}4\) nên xác suất xuất hiện mặt ngửa trong mỗi lần gieo đều bằng \(0{,}6\).

Do đó xác suất của biến cố \({''}\)Có đúng \(1\) lần gieo được mặt sấp trong \(3\) lần gieo\({''}\) là \(0{,}4\cdot 0{,}6^2\cdot\mathrm{C}_5^1=0{,}72\).

Xét phép thử \({''}\)Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(2\) thẻ từ hộp chứa \(50\) tấm thẻ\({''}\).

Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n\left(\Omega\right)=\mathrm{C}_{50}^2=1225\).

\(\bullet\,\) Xét biến cố \(A:{''}\)Tổng các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra là số chẳn\({''}\)

Từ số \(1\) đến số \(50\) có \(25\) số chẳn và \(25\) số lể.

Do đó để tổng các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra là số chẳn, ta xét hai trường hợp:

\(\bullet\,\) Trường hợp 1: lấy được \(2\) thẻ mang số chẳn có \(\mathrm{C}_{25}^2=300\) (cách).

\(\bullet\,\) Trường hợp 2: lấy được \(2\) thẻ mang số lẻ có \(\mathrm{C}_{25}^2=300\) (cách).

Do đó số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left(A\right)=600\).

Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{24}{49}\).

\(\bullet\,\) Xét biến cố \(B:{''}\)Tích các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra chia hết cho \(4{''}\).

Chia \(50\) thẻ thành \(3\) nhóm:

\(\bullet\,\) Nhóm 1: gồm \(25\) thẻ mang số lẻ.

\(\bullet\,\) Nhóm 2: gồm \(12\) thẻ mang số chia hết cho \(4\).

\(\bullet\,\) Nhóm 3: gồm \(13\) thẻ mang số chia hết cho \(2\).

\noindent Do đó để tích các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra chia hết cho \(4\) ta lấy như sau:

\(\bullet\,\) Lấy \(2\) thẻ thuộc nhóm \(2\) có \(\mathrm{C}_{12}^2=66\) (cách).

\(\bullet\,\) Lấy \(1\) thẻ thuộc nhóm \(2\) và \(1\) thẻ thuộc nhóm \(1\) có \(\mathrm{C}_{12}^1\cdot \mathrm{C}_{25}^1=300\) (cách).

\(\bullet\,\) Lấy \(1\) thẻ thuộc nhóm \(2\) và \(1\) thẻ thuộc nhóm \(3\) có \(\mathrm{C}_{12}^1\cdot \mathrm{C}_{13}^1=156\) (cách).

\(\bullet\,\) Lấy \(2\) thẻ thuộc nhóm \(3\) có \(\mathrm{C}_{13}^2=78\) (cách).

Do đó số phần tử của biến cố \(B\) là \(n\left(B\right)=600\).

Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{24}{49}\).

Tổng số bi trong hộp là \(6+8=14\).

Do đó số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=\mathrm{A}^2_{14}= 182\).

Gọi \(A\) là biến cố: Bạn Sơn lấy được viên bi màu xanh, sau đó Tùng lấy được viên bi màu xanh và \(B\) là biến cố: Bạn Sơn lấy được viên bi màu đỏ, sau đó Tùng lấy được viên bi màu xanh.

Suy ra \(A\cup B\) là biến cố: Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp) và tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.

\(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc, vì Sơn không thể lấy một viên bi vừa màu xanh và vừa màu đỏ được. Suy ra

\(\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)\).

Ta có \(n(A)= 8 \cdot 7 =56 \Rightarrow \mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{56}{182}\)

và \(n(B)= 6 \cdot 8 =48\Rightarrow \mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{48}{182} \) .

\(\Rightarrow \mathrm{P}(A\cup B)= \displaystyle\frac{56}{182}+\displaystyle\frac{48}{182} = \displaystyle\frac{104}{182}=\displaystyle\frac{4}{7}\).

Gọi \(A\) là biến cố: Học sinh thích nhạc cổ điển;

\(B\) là biến cố: Học sinh thích nhạc trẻ.

Khi đó \(A \cap B\) là biến cố: Học sinh thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ;

\(A \cup B\) là biến cố: Học sinh hoặc thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;

\(\overline{A \cup B}\) là biến cố: Học sinh không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

Ta có \(n(A)=14,\, n(B)=13, \, n(A\cap B)=5\) và \(n(\Omega) =40\).

\(\bullet\,\) Theo công thức cộng xác suất, ta có

\begin{align*}\mathrm{P}(A \cup B) &= \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) \\&= \frac{n(A)}{n(\Omega)} + \frac{n(B)}{n(\Omega)} - \frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)} \\&= \frac{14}{40} + \frac{13}{40} - \frac{5}{40} = \frac{22}{40} = 0{,}55.\end{align*}

Vậy xác suất để bạn chọn được một bạn thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ là \(0{,}55\).

\(\bullet\,\) Theo tính chất xác suất đối lập, ta có

\(\mathrm{P}(\overline{A \cup B}) = 1 - \mathrm{P}(A \cup B) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45.\)

Vậy xác suất để bạn chọn được một bạn không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ là \(0{,}45\).

Gọi \(A\) là biến cố: Hộ gia đình nuôi chó;

\(B\) là biến cố: Hộ gia đình nuôi mèo.

Khi đó \(A \cap B\) là biến cố: Hộ gia đình nuôi cả chó và mèo;

\(A \cup B\) là biến cố: Hộ gia đình hoặc nuôi chó hoặc mèo;

\(\overline{A \cup B}\) là biến cố: Hộ gia đình không nuôi cả chó và mèo.

Ta có \(n(A)=18,\, n(B)=16, \, n(A\cap B)=7\) và \(n(\Omega) =50\).

\(\bullet\,\) Theo công thức cộng xác suất, ta có

\begin{align*}\mathrm{P}(A \cup B) &= \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) \\&= \frac{n(A)}{n(\Omega)} + \frac{n(B)}{n(\Omega)} - \frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)} \\&= \frac{18}{50} + \frac{16}{50} - \frac{7}{50} = \frac{27}{50} = 0{,}54.\end{align*}

Vậy xác suất để chọn được một hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo là \(0{,}54\).

\(\bullet\,\) Theo tính chất xác suất đối lập, ta có

\(\mathrm{P}(\overline{A \cup B}) = 1 - \mathrm{P}(A \cup B) = 1 - \frac{7}{50} = \frac{43}{50} = 0{,}86.\)

Vậy xác suất để chọn được một hộ không nuôi cả chó và mèo là \(0{,}86\).

Gọi \(A\) là biến cố: Người mua mua sách \(A\);

\(B\) là biến cố: Người mua mua sách \(A\).

Khi đó \(A \cap B\) là biến cố: Người mua cả sách \(A\) và sách \(B\);

\(A \cup B\) là biến cố: Người mua ít nhất hoặc sách \(A\) hoặc sách \(B\);

\(\overline{A \cup B}\) là biến cố: Người mua không mua cả sách \(A\) và sách \(B\).

Ta có \(\mathrm{P}(A) = 0{,}5, \, \mathrm{P}(B) = 0{,}7, \, \mathrm{P}(A\cap B) = 0{,}3.\).

\(\bullet\,\) Theo công thức cộng xác suất, ta có

\begin{align*}\mathrm{P}(A \cup B) &= \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) \\&= 0{,}5 + 0{,}7 - 0{,}3 = 0{,}9.\end{align*}

Vậy xác suất người mua ít nhất một trong hai cuốn sách \(A\) hoặc \(B\) là \(0.9\).

\(\bullet\,\) Theo tính chất xác suất đối lập, ta có

\(\mathrm{P}(\overline{A \cup B}) = 1 - \mathrm{P}(A \cup B) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1.\)

Vậy xác suất người không mua cả hai cuốn sách \(A\) và \(B\) là \(0{,}1\).

Gọi \(A\) là biến cố: Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa \(A\);

\(B\) là biến cố: Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa \(B\).

Khi đó \(A \cap B\) là biến cố: Giáo viên môn Toán tham khảo cả bộ sách giáo khoa \(A\) và bộ sách giáo khoa \(B\);

\(A \cup B\) là biến cố: Giáo viên môn Toán tham khảo hoặc bộ sách giáo khoa \(A\) hoặc bộ sách giáo khoa \(B\).

\(\overline{A \cup B}\) là biến cố: Giáo viên môn Toán không tham khảo cả bộ sách giáo khoa \(A\) và bộ sách giáo khoa \(B\).

Ta có \(\mathrm{P}(A) = 0{,}63, \, \mathrm{P}(B) = 0{,}56, \, \mathrm{P}(A\cap B) = 0{,}285\).

Theo công thức cộng xác suất, ta có

\begin{align*}\mathrm{P}(A \cup B) &= \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) \\&= 0{,}63 + 0{,}56 - 0{,}285 = 0{,}905.\end{align*}

Theo tính chất xác suất đối lập, ta có

\(\mathrm{P}(\overline{A \cup B}) = 1 - \mathrm{P}(A \cup B) = 1 - 0{,}905= 0{,}0905.\)

Vậy tỉ lệ giáo viên môn Toán không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa \(A\) và \(B\) là \(9{,}05 \%\).

Xét các biến cố \(E \colon\) Bạn Dũng được chọn vào tiết mục song ca và \(G \colon\) Bạn Hương dược chọn vào tiết mục song ca.

Từ giả thiết, ta suy ra \(E,G\) hai biến cố độc lập và \(\mathrm{P}(E)=0{,}7;\mathrm{P}(G)=0{,}9\).

\(\bullet\,\) Do \(A=E \cap G\) nên \(\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(E)\cdot \mathrm{P}(G)=0{,}7 \cdot 0{,}9=0{,}63\).

\(\bullet\,\) Ta thấy \(B= E \cup G\), suy ra \(\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(E \cup G)=\mathrm{P}(E)+\mathrm{P}(G)-\mathrm{P}(E \cap G) =0{,}7 +0{,}9 -0{,}63=0{,}97\).

\(\bullet\,\) Xét biến cố đối \(\overline{E}\) của biến cố \(E\). Ta thấy \(\mathrm{P}(\overline{E})=1-\mathrm{P}(E)=1-0{,}7=0{,}3\) và \(\overline{E},G\) là hai biến cố độc lập. Vì \(C=\overline{E} \cap G\) nên \(\mathrm{P}(C)=\mathrm{P}(\overline{E}) \cdot \mathrm{P}(G)=0{,}3 \cdot 0{,}9=0{,}27\).

Xét biến cố \(A\colon\) Bạn Mai đạt từ điểm \(7\) trở lên, ta có \(\mathrm{P}(A)=0{,}8\).

Xét biến cố \(B\colon\) Bạn Thi đạt từ điểm \(7\) trở lên, ta có \(\mathrm{P}(B)=0{,}7\).

Ta thấy \(A,B\) là hai biến cố độc lập và \(C=A \cap B\), suy ra:

\(\mathrm{P}(C)=\mathrm{P}(A) \cdot P(B)=0{,}8 \cdot 0{,}9=0{,}72\).

Mỗi cách cho \(3\) lá thư vào \(3\) phong bì là một hoán vị của \(3\) phần tử. Do đó, \(n(\Omega)=3!=6\).

Xét biến cố \(A\colon\) ít nhất một lá thư được cho vào đúng phong bì.

Xét biến cố đối \(\overline{A}\) của biến cố \(A\). \(\overline{A} \colon\) Không lá thư nào được cho vào đúng phong bì. Ta thấy \(n(\overline{A})=2\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là:

\(\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(\overline{A})=1-\displaystyle\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{2}{3}\)

Không gian mẫu là số cách lấy tùy ý \(2\) quả cầu từ hộp chứa \(9\) quả cầu.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) =\mathrm{C}_{9}^2=36\).

Xét biến cố \(A \colon\) \(2\) quả cầu được lấy vừa khác màu vừa khác số.

\(\bullet\,\) Số cách lấy \(2\) quả cầu gồm: \(1\) quả cầu xanh và \(1\) quả cầu vàng là \(3\cdot 3=9\) cách (do số quả cầu vàng ít hơn nên ta lấy trước, có \(3\) cách lấy quả cầu vàng. Tiếp tục lấy quả cầu xanh nhưng không lấy viên trùng với số của quả cầu vàng nên có \(3\) cách lấy quả cầu xanh).

\(\bullet\,\) Số cách lấy \(2\) quả cầu gồm: \(1\) quả cầu xanh và \(1\) quả cầu đỏ là \(2\cdot 3=6\) cách.

\(\bullet\,\) Số cách lấy \(2\) quả cầu gồm: \(1\) quả cầu vàng và \(1\) quả cầu đỏ là \(2\cdot 2=4\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n( {A})=9+6+3=18\).

Vậy xác suất cần tính \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{18}{36}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Không gian mẫu là số cách lấy \(4\) ô vuông từ bảng gồm \(9\) ô vuông.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{9}^4=126\).

Xét biến cố \(A \colon\) bất kì hàng nào và cột nào của bảng cũng có viên bi.

Xét biến cố đối \(\overline{A}\) của biến cố \(A\). \(\overline{A} \colon\) có ít nhất một hàng hoặc một cột không có viên bi nào.

\(\bullet\,\) Số cách đặt \(4\) viên bi trong đó có \(1\) hàng không có viên nào là \(3\cdot\mathrm{C}_{6}^4=45\) cách (Chọn \(1\) hàng có \(3\) cách, đặt \(4\) viên vào \(6\) ô còn lại có \(\mathrm{C}_{6}^4\) cách).

\(\bullet\,\) Số cách đặt \(4\) viên bi trong đó có \(1\) cột không có viên bi nào là \(3\cdot\mathrm{C}_{6}^4=45\) cách.

\(\bullet\,\) Số cách đặt \(4\) viên bi trong đó có \(1\) hàng và \(1\) cột không có viên bi nào là \(3\cdot 3\cdot \mathrm{C}_{4}^4=9\) (Chọn \(1\) hàng có \(3\) cách, chọn \(1\) cột có \(3\) cách, đặt \(4\) viên vào \(4\) ô còn lại có \(\mathrm{C}_{4}^4\) cách).

Số kết quả thuận lợi của biến cố \(\overline{A}\) là: \(n(\overline{A})=45+45-9=81\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là:

\(\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(\overline{A})=1-\displaystyle\frac{81}{126}=\displaystyle\frac{5}{14}\).