\(\S1\) BIẾN CỐ GIAO VÀ QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT
I. Lí thuyết
1. Biến cố giao
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Biến cố: Cả \(A\) và \(B\) cùng xảy ra, kí hiệu \(AB\) hoặc \(A \cap B\) được gọi là biến cố giao của \(A\) và \(B\).
Chú ý: Tập hợp mô tả biến cố \(A\cap B\) là giao của hai tập hợp mô tả biến cố \(A\) và biến cố \(B\). Biến cố \(A\cap B\) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố \(A\) và \(B\) xảy ra.
Ví dụ 1
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố: Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5, \(B\) là biến cố: Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Gọi \(C\) là biến cố: Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt \(1\) chấm. Hãy viết tập hợp mô tả các biến cố giao \(A\cap C\) và \(B\cap C\).
Lời giải
Biến cố \(A=\{(1 ; 4) ;(4 ; 1) ;(2 ; 3) ;(3 ; 2)\}\).
Biến cố \(B=\{(1 ; 6) ;(6 ; 1) ;(2 ; 3) ;(3 ; 2)\}\).
Biến cố \(C=\{(1 ; 6) ;(6 ; 1) ;(1 ; 5) ;(5 ; 1) ;(1 ; 4) ;(4 ; 1) ;(1 ; 3) ;(3 ; 1) ;(1 ; 2) ;(2 ; 1) ;(1 ; 1)\}\).
Kết hợp tập hợp mô tả biến cố \(A, B\) ở trên, ta có biến cố
\(A\cap C=\{(1 ; 4) ;(4 ; 1)\};\)
\(B\cap C=\{(1 ; 6) ;(6 ; 1)\}.\)
2. Biến cố xung khắc
Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là xung khắc nếu \(A\) và \(B\) không đồng thời xảy ra.
Chú ý: Hai biến cố \(A\) và \(B\) là xung khắc khi và chỉ khi \(A \cap B=\varnothing\).
Ví dụ 2
Một hộp có \(5\) viên bi xanh, \(4\) viên bi đỏ và \(2\) viên bi vàng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời \(2\) viên bi từ hộp. Hãy xác định các cặp biến cố xung khắc trong các biến cố sau:
\(A\) : Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh;
\(B\) : Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ;
\(C\) : Hai viên bi lấy ra cùng màu;
\(D\) : Hai viên bi lấy ra khác màu.
Lời giải
\(\bullet\,\) Ta có hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc.
\(\bullet\,\) Biến cố \(C\) xảy ra khi lấy ra 2 viên bi xanh hoặc 2 viên bi đỏ hoặc 2 viên bi vàng. Khi lấy được 2 viên bi màu xanh thì biến cố \(A\) và biến cố \(C\) cùng xảy ra. Khi lấy được 2 viên bi màu đỏ thì biến cố \(B\) và biến cố \(C\) cùng xảy ra. Do đó biến cố \(C\) không xung khắc với biến cố \(A\) và biến cố \(B\).
\(\bullet\,\) Biến cố \(D\) xảy ra khi lấy ra 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ; hoặc 1 viên bi xanh, 1 viên bi vàng; hoặc 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng. Do đó biến cố \(D\) xung khắc với biến cố \(A\), xung khắc với biến cố \(B\) và xung khắc với biến cố \(C\).
Vậy có 4 cặp biến cố xung khắc là: \(A\) và \(B ; A\) và \(D ; B\) và \(D ; C\) và \(D\).
3. Biến cố độc lập
Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Nhận xét: Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì \(\overline{A}\) và \(B ; A\) và \(\overline{B} ; \overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập.
Ví dụ 3
Trong hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng, xem màu rồi trả lại hộp. Lặp lại phép thử trên 2 lần và gọi \(A_k\) \((k=1,2)\) là biến cố quả bóng lấy ra lần thứ \(k\) là bóng xanh.
a) \(A_1\), \(A_2\) có là các biến cố độc lập không? Tại sao?
b) Nếu trong mỗi phép thử trên ta không trả bóng lại hộp thì \(A_1\), \(A_2\) có là các biến cố độc lập không? Tại sao?
Lời giải
a) Nếu \(A_1\) xảy ra thì sau khi trả lại quả bóng thứ nhất vào hộp, trong hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ và 1 quả bóng vàng, do đó xác suất xảy ra \(A_2\) là \(\displaystyle\frac{1}{3}\).
Ngược lại, nếu \(A_1\) không xảy ra thì sau khi trả lại quả bóng thứ nhất vào hộp, trong hộp vẫn có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ và 1 quả bóng vàng, do đó xác suất xảy ra \(A_2\) là \(\displaystyle\frac{1}{3}\).
Ta thấy khi \(A_1\) xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố \(A_2\) luôn bằng \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Do quả bóng lấy ra lần thứ nhất được trả lại hộp nên biến cố \(A_2\) xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của \(A_1\).
Vậy \(A_1\) và \(A_2\) là hai biến cố độc lập.
b) Giả sử quả bóng lấy ra lần đầu tiên không được trả lại hộp.
Nếu \(A_1\) xảy ra thì trước khi bốc quả bóng thứ hai, trong hộp có 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng. Do đó xác suất xảy ra \(A_2\) là \(0\).
Ngược lại, nếu \(A_1\) không xảy ra thì trước khi bốc quả bóng thứ hai, trong hộp có 2 quả bóng,
trong đó có đúng 1 quả bóng xanh. Do đó xác suất xảy ra \(A_2\) là \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
Ta thấy xác suất xảy ra của biến cố \(A_2\) phụ thuộc vào sự xảy ra của \(A_1\).
Vậy \(A_1\) và \(A_2\) không là hai biến cố độc lập.
4. Qui tắc nhân xác xuất của hai biến cố độc lập
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì
\[P(A\cap B)=P(A) P(B).\]
Chú ý: Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy, nếu \(P(A B) \neq P(A) P(B)\) thì hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
Ví dụ 4
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập. Biết \(P(A)=0{,}6\) và \(P(B)=0{,}8\). Hãy tính xác suất của các biến cố \(A B, \overline{A} B\) và \(\overline{A} \overline{B}\).
Lời giải
Do \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên
\(P(A B)=P(A) P(B)=0{,}48.\)
Vi \(\overline{A}\) là biến cố đối của \(A\) nên \(P(\overline{A})=1-P(A)=0{,}4\). Do \(\overline{A}\) và \(B\) độc lập nên
\(P(\overline{A} B)=P(\overline{A}) P(B)=0{,}32.\)
Vì \(\overline{B}\) là biến cố đối của \(B\) nên \(P(\overline{B})=1-P(B)=0{,}2\). Do \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) độc lập nên
\[P(\overline{A} \overline{B})=P(\overline{A}) P(\overline{B})=0{,}08.\]
Ví dụ 5
Hai bệnh nhân \(X\) và \(Y\) bị nhiễm vi rút SARS-CoV-2. Biết rằng xác suất bị biến chứng nặng của bệnh nhân \(X\) là \(0{,}1\) và của bệnh nhân \(Y\) là \(0{,}2\). Khả năng bị biến chứng nặng của hai bệnh nhân là độc lập.
Hãy tính xác suất của các biến cố:
a) Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng;
b) Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng nặng;
c) Bệnh nhân \(X\) bị biến chứng nặng, bệnh nhân \(Y\) không bị biến chứng nặng.
Lời giải
Gọi \(A\) là biến cố Bệnh nhân \(X\) bị biến chứng nặng. Ta có \(P(A)=0{,}1\) và \(P(\overline{A})=0{,}9\).
Gọi \(B\) là biến cố Bệnh nhân \(Y\) bị biến chứng nặng. Ta có \(P(B)=0{,}2\) và \(P(\overline{B})=0{,}8\).
a) Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng.
Ta thấy \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên xác suất cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng là
\(P(A B)=P(A) P(B)=0{,}02.\)
b) Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng nặng.
Do \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) độc lập nên xác suất cả hai bệnh nhân không bị biến chứng nặng là
\(P(\overline{A} \overline{B})=P(\overline{A}) P(\overline{B})=0{,}72.\)
c) Bệnh nhân \(X\) bị biến chứng nặng, bệnh nhân \(Y\) không bị biến chứng nặng.
Do \(A\) và \(\overline{B}\) độc lập nên xác suất bệnh nhân \(X\) bị biến chứng nặng, bệnh nhân \(Y\) không bị biến chứng nặng là
\(P(A \overline{B})=P(A) P(\overline{B})=0{,}08.\)
Cách 2. Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây như sau:
Theo sơ đồ trên thì:
a) Xác suất cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng là \(0{,}02\).
b) Xác suất cả hai bệnh nhân không bị biến chứng nặng là \(0{,}72\).
c) Xác suất bệnh nhân \(X\) bị biến chứng nặng, bệnh nhân \(Y\) không bị biến chứng nặng là \(0{,}08\).
II. Bài tập
Bài tập sách Chân trời sáng tạo
Bài tập 1
Hộp thứ nhất chứa \(3\) tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ \(1\) đến \(3\). Hộp thứ hai chứa \(5\) tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ \(1\) đến \(5\). Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp \(1\) thẻ. Gọi \(A\) là biến cố: Tổng các số ghi trên \(2\) thẻ bằng \(6\), \(B\) là biến cố Tích các số ghi trên \(2\) thẻ là số lẻ.
\(\bullet\,\) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố \(A B\) và tính \(P(A B)\).
\(\bullet\,\) Hãy tìm một biến cố khác rỗng và xung khắc với cả hai biến cố \(A\) và \(B\).
\(\bullet\,\) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố \(A B\) và tính \(P(A B)\).
Hộp thứ nhất chứa \(3\) tấm thẻ cùng loại được đánh số \(1; 2; 3\).
Hộp thứ hai chứa \(5\) tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ \(1; 2; 3; 4; 5\).
Số phần tử không gian mẫu là \(3\cdot 5=15\).
Gọi \(A\) là biến cố Tổng các số ghi trên \(2\) thẻ bằng \(6\) \(\,\)nên \(A=\{(1;5);(2;4);(3;3)\}\).
\(P(A)=\displaystyle\frac{3}{15}\).
Gọi \(B\) là biến cố Tích các số ghi trên \(2\) thẻ là số lẻ \(\,\)nên \(B=\{(1;1);(1;3);(1;5);(3;1);(3;3);(3;5)\}\).
\(P(B)=\displaystyle\frac{6}{15}=\displaystyle\frac{2}{5}\).
Vậy \(P(A B)=P(A)P(B)=\displaystyle\frac{1}{5}\cdot \displaystyle\frac{2}{5}=\displaystyle\frac{2}{25}\).
\(\bullet\,\) Một biến cố khác rỗng và xung khắc với cả hai biến cố \(A\) và \(B\) là
\(C\) là biến cố Tích các số ghi trên \(2\) thẻ là số chẵn và tổng khác 6 .
Suy ra \(C=\{(1;2);(1;4);(2;1);(2;2);\) \((2;3);(2;5);(3;2);(3;4)\}\).
Bài tập 2
Một hộp chứa \(21\) tấm thẻ cùng loại được đánh số từ \(1\) đến \(21\). Chọn ra ngẫu nhiên \(1\) thẻ từ hộp. Gọi \(A\) là biến cố Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho \(2\), \(B\) là biến cố Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho \(3\).
\(\bullet\,\) Hãy mô tả bằng lời biến cố \(A B\).
\(\bullet\,\) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập không? Tại sao?
\(\bullet\,\) \(A\) là biến cố Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho \(2\) \(\,\)nên \(A=\{2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\}\).
\(B\) là biến cố Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho \(3\) \(\,\)nên \(B=\{3;6;9;12;15;18;21\}\).
Suy ra biến cố \(AB=\{6;12;18\}\).
Vậy biến cố \(AB\) là Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 6.
\(\bullet\,\)
Xác suất \(P(A)=\displaystyle\frac{10}{21}\); Xác suất \(P(B)=\displaystyle\frac{7}{21}=\displaystyle\frac{1}{3}\); Xác suất \(P(AB)=\displaystyle\frac{3}{21}=\displaystyle\frac{1}{7}\).
Ta có \(P(AB)=\displaystyle\frac{1}{7}\neq \displaystyle\frac{10}{21}\cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{10}{63}=P(A)P(B)\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
Bài tập 3
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
\(\bullet\,\) Biết \(P(A)=0{,}7\) và \(P(B)=0{,}2\). Hãy tính xác suất của các biến cố \(A B, \overline{A} B\) và \(\overline{A} \overline{B}\).
\(\bullet\,\) Biết \(P(A)=0{,}5\) và \(P(A B)=0{,}3\). Hãy tính xác suất của các biến cố \(B, \overline{A} B\) và \(\overline{A} \overline{B}\).
\(\bullet\,\) Ta có \(P(A)=0{,}7\) nên \(P(\overline{A})=0{,}3\) và \(P(B)=0{,}2\) nên \(P(\overline{B})=0{,}8\).
Xác suất \(P(AB)=P(A)P(B)=0{,}7\cdot0{,}2=0{,}14\).
Xác suất \(P(\overline{A} B)=P(\overline{A} )P(B)=0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06\).
Xác suất \(P(\overline{A} \overline{B})=P(\overline{A} )P(\overline{B})=0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24\).
\(\bullet\,\) Ta có \(P(A)=0{,}5\) nên \(P(\overline{A})=0{,}5\) và \(P(AB)=P(A)P(B)=0{,}3\) nên \(P(B)=0{,}6\) suy ra
Xác suất \(P(\overline{B})=0{,}4\).
Xác suất \(P(\overline{A} B)=P(\overline{A} )P(B)=0{,}5\cdot0{,}6=0{,}3\).
Xác suất \(P(\overline{A} \overline{B})=P(\overline{A} )P(\overline{B})=0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2\).
Bài tập 4
Một xạ thủ bắn lần lượt \(2\) viên đạn vào một bia. Xác suất trúng đích của viên thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(0{,}9\) và \(0{,}6\). Biết rằng kết quả các lần bắn là độc lập với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây:
\(\bullet\,\) Cả 2 lần bắn đều trúng đích;
\(\bullet\,\) Cả 2 lần bắn đều không trúng đích;
\(\bullet\,\) Lần bắn thứ nhất trúng đích, lần bắn thứ hai không trúng đích.
Gọi \(A\) là biến cố Xạ thủ bắn viên đạn trúng bia lần thứ nhất. Ta có \(P(A)=0{,}9\) và \(P(\overline{A})=0{,}1\).
Gọi \(B\) là biến cố Xạ thủ bắn viên đạn trúng bia lần thứ hai. Ta có \(P(B)=0{,}6\) và \(P(\overline{B})=0{,}4\).
\(\bullet\,\) Xác suất cả 2 lần bắn đều trúng đích là \(0{,}54\).
\(\bullet\,\) Xác suất cả 2 lần bắn đều không trúng đích là \(0{,}04\).
\(\bullet\,\) Xác suất lần bắn thứ nhất trúng đích, lần bắn thứ hai không trúng đích là \(0{,}36\).
Bài tập 5
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất truyền bệnh là \(0{,}8\) nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là \(0{,}1\) nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Anh Lâm tiếp xúc với \(1\) người bệnh hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Lâm bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó.
Xác suất truyền bệnh tiếp xúc với người bệnh không đeo khẩu trang là \(P(A)=0{,}8\).
Xác suất truyền bệnh tiếp xúc với người bệnh có đeo khẩu trang là \(P(B)=0{,}1\).
Xác suất anh Lâm tiếp xúc với \(1\) người bệnh hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang là \(P(AB)=P(A)P(B)=0{,}8\cdot0{,}1=0{,}08\).
Bài tập sách Kết nối tri thức
Bài tập 1
Một hộp đựng \(15\) tấm thẻ cùng loại được đánh số từ \(1\) đến \(15\). Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi \(A\) là biến cố Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn \(7\); \(B\) là biến cố Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố.
\(\bullet\,\) Mô tả không gian mẫu.
\(\bullet\,\) Mỗi biến cố \(A \cup B\) và \(A B\) là tập con nào của không gian mẫu?
\(\bullet\,\) Khi rút 1 thẻ từ 15 thẻ được đánh số thì không gian mẫu là:
\(\Omega= \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15 \}\).
\(\bullet\,\)
Các kết quả thuận lợi của biến cố \(A\): \(A= \{1;2;3;4;5;6 \}\).
Các kết quả thuận lợi của biến cố \(B\): \(B=\{2;3;5;7;11;13 \}\).
\(A \cup B\) là biến cố Số ghi trên thẻ nhỏ hơn \(7\) hoặc số nguyên tố.
\(A \cup B = \{1;2;3;4;5;6;7;11;13 \}\).
\(AB\) là biến cố Số ghi trên thẻ nhỏ hơn \(7\) và nguyên tố.
\(AB=\{2;3;5 \}\).
Bài tập 2
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:
\(E\): Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn;
\(F\): Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ;
\(K\): Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn.
Chứng minh rằng \(K\) là biến cố hợp của \(E\) và \(F\).
Để tích của số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn thì có 2 trường hợp xảy ra.
TH1: 1 con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn, con còn lại xuất hiện mặt lẻ.
Khi đó số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẽ.
TH2: 2 con xúc xắc xuất hiện mặt chẵn.
Do đó \(K\) là biến cố hợp của \(E\) và \(F\).
Bài tập 3
\(P\): Học sinh đó bị cận thị;
\(Q\): Học sinh đó học giỏi môn Toán.
Nêu nội dung của các biến cố \(P \cup Q\); \(P Q\) và \(\bar{P} \bar{Q}\).
\(P \cup Q\) là biến cố Học sinh đó bị cận thị hoặc học sinh đó giỏi môn Toán.
\(PQ\) là biến cố Học sinh đó bị cận thị và học giỏi môn Toán.
\(\bar{P}\) là biến cố Học sinh đó không bị cận thị.
\(\bar{Q}\) là biến cố Học sinh đó không giỏi môn Toán.
\(\bar{P} \bar{Q}\) là biến cố Học sinh đó không bị cận và không giỏi môn Toán.
Bài tập 4
Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có \(5\) con thỏ đen và \(10\) con thỏ trắng. Chuồng II có \(3\) con thỏ trắng và \(7\) con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:
\(A\): Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I;
\(B\): Bắt được con thỏ đen từ chuồng Il.
Chứng tỏ rằng hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập.
Nếu \(A\) xảy ra, tức là bắt được con thỏ trắng ở chuồng I. Khi đó, số thỏ ở chuồng II không bị thay đổi và có \(3\) thỏ trắng và \(7\) thỏ đen. Vậy \(P(B)=\displaystyle\frac{7}{10}\).
Nếu \(A\) không xảy ra, tức là bắt được thỏ đen ở chuồng I.Khi đó, số thỏ ở chuồng II không bị thay đổi và có \(3\) thỏ trắng và \(7\) thỏ đen. Vậy \(P(B)=\displaystyle\frac{7}{10}\).
Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố \(B\) không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố \(A\).
Tương tự \(P(A)=\displaystyle\frac{2}{3}\) dù biến cố \(B\) xảy ra hay không xảy ra.
Vậy \(A\) và \(B\) độc lập.
Bài tập 5
Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có \(9\) con gà mái và \(3\) con gà trống. Chuồng II có \(3\) con gà mái và \(6\) con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:
\(E\): Bắt được con gà trống từ chuồng I;
\(F\): Bắt được con gà mái từ chuồng II.
Chứng tỏ rằng hai biến cố \(E\) và \(F\) không độc lập.
Nếu \(E\) xảy ra, tức là bắt được con gà trống từ chuồng I. Vì con gà trống bị bắt đem đi bán và số gà ở chuồng I dồn vô chuồng II, nên khi bắt gà mái từ chuồng II sẽ có \(12\) gà mái và \(8\) gà trống. Vậy \(P(F)=\displaystyle\frac{12}{20}=\displaystyle\frac{3}{5}\).
Nếu \(E\) không xảy ra, tức là bắt được con gà mái từ chuồng I. Vì con gà mái bị bắt đem đi bán và số gà ở chuồng I dồn vô chuồng II, nên khi bắt gà mái từ chuồng II sẽ có \(11\) gà mái và \(9\) gà trống. Vậy \(P(F)=\displaystyle\frac{11}{20}\).
Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố \(F\) đã thay đổi phụ thuộc vào việc biến cố \(E\) xảy ra hay không xảy ra. Do đó, hai biến cố \(E\) và \(F\) không độc lập.
Bài tập 6
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc với \(P(A)>0,\) \( P(B)>0\). Chứng tỏ rằng hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc, nghĩa là không thể xảy ra cả hai biến cố đồng thời.
Ta có \(P(A\cap B) = 0\).
Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì:
\(P(A\cap B) = P(A)P(B) > 0\).
Điều này trái với kết quả vừa chứng minh được ở trên. Vậy nên, hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
Bài tập 7
Một thùng đựng \(60\) tấm thẻ cùng loại được đánh số từ \(1\) đến \(60\). Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:
\(A:\) Số ghi trên tấm thẻ là ước của \(60\)\, và \(B\): Số ghi trên tấm thẻ là ước của \(48\).
Chứng tỏ rằng \(A\) và \(B\) là hai biến cố không độc lập.
Ước của \(60\) là \(1,\) \( 2,\) \( 3,\) \( 4,\) \( 5,\) \( 6,\) \( 10,\) \( 12,\) \( 15,\) \( 20,\) \( 30,\) \( 60\). Suy ra \(P(A)=\displaystyle\frac{12}{60}=0{,}2\).
Ước của \(48\) là \(1,\) \( 2,\) \( 3,\) \( 4,\) \( 6,\) \( 8,\) \( 12,\) \( 16,\) \( 24,\) \( 48\). Suy ra \(P(B)=\displaystyle\frac{10}{60}=\displaystyle\frac{1}{6}.\)
Suy ra \(P(A)\cdot P(B)=\displaystyle\frac{1}{30}\).
Ước chung của \(60\) và \(48\) là \(1,\) \( 2,\) \( 3,\) \( 4,\) \( 6,\) \( 8,\) \( 12,\) \( 24\).
Suy ra \(P(AB)=\displaystyle\frac{8}{60}=\displaystyle\frac{2}{15}\).
Vì \(P(AB)\neq P(A)P(B)\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
Bài tập 8
Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi \(I\) có \(3\) viên bi màu xanh và \(7\) viên bi màu đỏ. Túi \(II\) có \(10\) viên bi màu xanh và \(6\) viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để
\(\bullet\,\) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;
\(\bullet\,\) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;
\(\bullet\,\) Hai viên bi được lấy có cùng màu;
\(\bullet\,\) Hai viên bi được lấy không cùng màu.
\(\bullet\,\) Gọi \(A\) là biến cố Lấy được hai viên bi màu xanh.
Gọi \(X\) là biến cố Lấy được viên bi màu xanh từ túi thứ nhất \(\Rightarrow P( X )=\displaystyle\frac{3}{10}\).
Gọi \(Y\) là biến cố Lấy được viên bi màu xanh từ túi thứ hai \(\Rightarrow P( Y )=\displaystyle\frac{5}{8}\).
Ta thấy biến cố \(X\), \(Y\) là \(2\) biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có
\(P( A )=P( X\cdot Y )=P( X )\cdot P( Y )=\displaystyle\frac{3}{10}\cdot\displaystyle\frac{5}{8}=\displaystyle\frac{3}{16}.\)
\(\bullet\,\) Gọi \(B\) là biến cố Lấy được hai viên bi màu đỏ.
Gọi \(E\) là biến cố Lấy được viên bi màu đỏ từ túi thứ nhất \(\Rightarrow P( E )=\displaystyle\frac{7}{10}\).
Gọi \(F\) là biến cố Lấy được viên bi màu đỏ từ túi thứ hai \(\Rightarrow P(F)=\displaystyle\frac{3}{8}\).
Ta thấy biến cố \(E\), \(F\) là \(2\) biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có
\(P(B)=P( E\cdot F )=P(E)\cdot P(F )=\displaystyle\frac{7}{10}\cdot\displaystyle\frac{3}{8}=\displaystyle\frac{21}{80}.\)
\(\bullet\,\) Gọi \(C\) là biến cố Lấy được hai viên bi cùng màu.
Ta có \(C = A \cup B \Rightarrow P(C) = P(A)+P(B)= \displaystyle\frac{3}{16} + \displaystyle\frac{21}{80} = \displaystyle\frac{9}{20}\).
\(\bullet\,\) Gọi \(D\) là biến cố Lấy được hai viên bi không cùng màu.
Ta có \(D = \overline{C} \Rightarrow P(D) = 1- P(C)= 1- \displaystyle\frac{9}{20} = \displaystyle\frac{11}{20}\).
Bài tập 9
Có hai túi mỗi túi đựng \(10\) quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ \(1\) đến \(10\). Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số \(1\) hoặc ghi số \(5\).
Gọi \(A\) là biến cố Không có quả cầu nào ghi số \(1\) \(\Rightarrow P(A)=\displaystyle\frac{81}{100}\).
Gọi \(B\) là biến cố Không có quả cầu nào ghi số \(5\) \(\Rightarrow P(B)=\displaystyle\frac{81}{100}\).
Gọi \(C\) là biến cố Không có quả cầu nào ghi số \(1\) và số \(5\) \(\Rightarrow P(C)=\displaystyle\frac{64}{100}\).
Gọi \(D\) là biến cố Không có quả cầu nào ghi số \(1\) hoặc ghi số \(5\).
Ta có \(P(D) = P(A) + P(B) - P(C) = \displaystyle\frac{81}{100} + \displaystyle\frac{81}{100} - \displaystyle\frac{64}{100} = \displaystyle\frac{49}{50}\).
Bài tập 10
Trong đợt kiểm tra cuối học kì \(II\) lớp \(11\) của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có \(93 \%\) học sinh tỉnh \(X\) đạt yêu cầu; \(87 \%\) học sinh tỉnh \(Y\) đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh \(X\) và một học sinh của tỉnh \(Y\). Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để
\(\bullet\,\) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;
\(\bullet\,\) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;
\(\bullet\,\) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;
\(\bullet\,\) Có it nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.
\(\bullet\,\) Gọi \(A\) là biến cố Hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu.
Gọi \(X\) là biến cố Học sinh tỉnh \(X\) đạt yêu cầu \(\Rightarrow P( X )=0{,}93\).
Gọi \(Y\) là biến cố Học sinh tỉnh \(Y\) đạt yêu cầu \(\Rightarrow P(Y)=0{,}87\).
Ta thấy biến cố \(X\), \(Y\) là \(2\) biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có
\(\)P(A)=P( X\cdot Y )=P( X )\cdot P( Y )=0{,}93\cdot 0{,}87=0{,}8091.\(\)
\(\bullet\,\) Gọi \(B\) là biến cố Hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu.
Ta có \( B = \overline{X} \cdot \overline{Y} \Rightarrow P(B) = P(\overline{X} \cdot \overline{Y}) =P(\overline{X}) \cdot P(\overline{Y})= (1 - 0{,}93)\cdot (1-0{,}87) = 0{,}0091\).
\(\bullet\,\) Gọi \(C\) là biến cố Có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu.
Ta có
\begin{eqnarray*} C &=& (X\cdot \overline{Y}) \cup (\overline{X} \cdot Y) \\ &\Rightarrow& P(C) = P((X\cdot \overline{Y}) \cup (\overline{X} \cdot Y)) =P(X) \cdot P(\overline{Y})+ P(\overline{X}) \cdot P(Y)\\ &=& 0{,}93\cdot (1-0{,}87) + (1 - 0{,}93)\cdot 0{,}87 = 0{,}1818.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) Gọi \(D\) là biến cố Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.
Ta có \( D = \overline{B} \Rightarrow P(D) =P(\overline{B})= 1 - P(B) = 1-0{,}0091 = 0{,}9909\).
Bài tập sách Cánh diều
Bài tập 1
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
\(A\): Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa;
\(B\): Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa;
\(C\): Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa;
\(D\): Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngử.
Trong hai biến cố \(C, D\), biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố \(A, B\) ? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố \(A, B\)?
Biến cố \(C\) là biến cố giao của hai biến cố \(A, B\).
Biến cố \(D\) là biến cố hợp của hai biến cố \(A, B\).
Bài tập 2
Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
\(A\): Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4 ;
\(B\): Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4 ;
\(C\): Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4.
Trong các biến cố trên, hãy:
\(\bullet\,\) Tìm cặp biến cố xung khắc;
\(\bullet\,\) Tìm cặp biến cố độc lập.
\(\bullet\,\) Cặp biến cố xung khắc là \(A, C\).
\(\bullet\,\) Cặp biến cố độc lập là \(A, B\) và \(B, C\).
Bài tập 3
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố \(M\): Số tự nhiên có hai chữ số được viết ra chia hết cho \(11\) hoặc chia hết cho \(12\) .
Số các số tự nhiên có hai chữ số là \(90\) số. Do đó số cách chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số là \(90\) nên \( n(\Omega)=90\).
Số các số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho \(11\) hoặc chia hết cho \(12\) là \(18\) số (gồm có \(11\), \(22\), \(33\), \(44\), \(55\), \(66\), \(77\), \(88\), \(99\), \(12\), \(24\), \(36\), \(48\), \(50\), \(62\), \(74\), \(86\), \(98\)), nên \(n(M)=18\).
Vậy xác suất của biến cố \(M\) là \(\mathrm{P}(M)=\displaystyle\frac{n(M)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{18}{90}=\displaystyle\frac{1}{5}\).
Bài tập 4
Một hộp có \(12\) viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có \(7\) viên bi màu xanh và \(5\) viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên \(5\) viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong \(5\) viên bi được chọn có ít nhất \(2\) viên bi màu vàng.
Mỗi cách chọn ngẫu nhiên \(5\) viên bi từ hộp có \(12\) viên bi là một tổ hợp chập \(5\) của \(12\) phần tử. Do đó, không gian mẫu \(\Omega\) gồm các tổ hợp chập \(5\) của \(12\) phần tử và \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{12}^5=792\).
Gọi \(H\) là biến cố Trong \(5\) viên bi được chọn có ít nhất \(2\) viên bi màu vàng.
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(H\) là
\(n(H)=\mathrm{C}_5^2 \cdot \mathrm{C}_7^3 + \mathrm{C}_5^3 \cdot \mathrm{C}_7^2 + \mathrm{C}_5^4 \cdot \mathrm{C}_7^1 +\mathrm{C}_5^5=526\).
Vậy xác suất của biến cố \(H\) là \(\mathrm{P}(H)=\displaystyle\frac{n(H)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{526}{792}=\displaystyle\frac{263}{396}\).
Bài tập 5
Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia một kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm \(6\) mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó.
Việt có số cách nhận mã đề hai môn là \(6 \cdot 6 = 36\) cách.
Nam có số cách nhận mã đề hai môn là \(6 \cdot 6 = 36\) cách.
Số phần tử của không gian mẫu là \(36 \cdot 36 = 1296\).
Gọi \(H\) là biến cố Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi.
Có các trường hợp sau:
\(\bullet\,\) Có cùng mã đề môn Toán: Việt có \(36\) cách nhận mã đề hai môn, Nam có \(5\) cách nhận mã đề. Do đó có \(36 \cdot 5 = 180\) cách.
\(\bullet\,\) Tương tự có cùng môn Tiếng Anh có \(180\) cách.
Suy ra \(n(H)=360\) cách.
Vậy xác suất của biến cố \(H\) là \(\mathrm{P}(H)=\displaystyle\frac{n(H)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{360}{1296}=\displaystyle\frac{5}{18}\).
Bài tập 6
Trong một chiếc hộp có \(20\) viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có \(9\) viên bi màu đỏ, \(6\) viên bi màu xanh và \(5\) viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) viên bi. Tîm xác suất để \(3\) viên bi lấy ra có đúng hai màu.
Mỗi cách lấy \(3\) viên bi trong \(20\) viên bi là một tổ hợp chập \(3\) của \(20\) phần tử.
Do đó, không gian mẫu \(\Omega\) gồm các tổ hợp chập \(3\) của \(20\) phần tử và \( n(\Omega)=\mathrm{C}_{20}^3=1140\).
Lấy \(3\) viên bi có đủ ba màu là \(9 \cdot 6 \cdot 5 = 270\) cách.
Lấy \(3\) viên bi có đúng một màu là \(\mathrm{C}_9^3 + \mathrm{C}_6^3 + \mathrm{C}_5^3 = 114\) cách.
Do đó lấy \(3\) viên bi có đúng hai màu là \(\mathrm{C}_{20}^3 - (270 + 114) = 756\) cách.
Vậy xác suất của biến cố để \(3\) viên bi lấy ra có đúng hai màu là \(\mathrm{P}(H)=\displaystyle\frac{n(H)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{756}{1140}=\displaystyle\frac{63}{95}\).