ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 10
Bài tập 1
Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp.Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
\(\bullet\,\) \(A\) Lần thứ hai xuất hiện mặt \(5\) chấm,
\(\bullet\,\) \(B\) Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng \(7\),
\(\bullet\,\) \(C\) Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo chia hết cho \(3\),
\(\bullet\,\) \(D\) Số chấm xuất hiện lần thứ nhất là số nguyên tố,
\(\bullet\,\) \(E\) Số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất nhỏ hơn số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai.
Không gian mẫu trong trò chơi trên là \(\Omega =\{ (i;j)| i;j=1,2,3,4,5,6\}\). Vậy \(n(\Omega) = 36\).
\(\bullet\,\) \(A = \{(1;5), (2;5), (3; 5), (4;5), (5;5), (6;5)\}\), suy ra \(n(A) =6\).
Vậy \(\mathrm{P} (A) =\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)} =\displaystyle\frac{1}{6}\).
\(\bullet\,\) \(B = \{(1;6), (6;1), (2;5), (5;2), (3;4), (4;3)\}\), suy ra \(n(B) =6\).
Vậy \(\mathrm{P} (B) =\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)} =\displaystyle\frac{1}{6}\).
\(\bullet\,\) \(C= \{(1;5), (5;1), (2;4), (4;2), (3;3), (6;6)\}\), suy ra \(n(C) =6\).
Vậy \(\mathrm{P} (C) =\displaystyle\frac{n(C)}{n(\Omega)} =\displaystyle\frac{1}{6}\).
\(\bullet\,\) \(D = \{(i;j)| i=2,3,5; j=1,2,3,4,5,6\}\), suy ra \(n(D) =18\).
Vậy \(\mathrm{P} (D) =\displaystyle\frac{n(D)}{n(\Omega)} =\displaystyle\frac{1}{2}\).
\(\bullet\,\) \(E = \{(1;2), (1;3), (1;4), (1;5),(1;6), (2;3), (2;4),\) \((2;5), (2;6), (3;4), (3;5), (3;6), (4;5), (4;6), (5;6)\}\), suy ra \(n(E) =15\).
Vậy \(\mathrm{P} (E) =\displaystyle\frac{n(E)}{n(\Omega)} =\displaystyle\frac{5}{12}\).
Bài tập 2
Từ một hộp chứa \( 3 \) quả cầu trắng, \( 4 \) quả cầu đỏ, \( 5 \) quả cầu vàng, các quả cầu có kích thước và khối lượng giống nhau, lấy ngẫu nhiên đồng thời \( 3 \) quả cầu. Tính xác suất lấy được \( 3 \) quả cầu có màu đôi một khác nhau.
Mỗi cách lấy ra \( 3 \) quả cầu tử \( 12 \) quả cầu là một tổ hợp chập \( 3 \) của \( 12 \) phần tử. Vậy không gian mẫu \(\Omega\) có số phần tử là \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{12}^3=220\).
Gọi \(A\) là biến cố Lấy được \( 3 \) quả cầu có màu đôi một khác nhau.
Vì \( 3 \) quả cầu có màu đôi một khác nhau, tức là \( 1 \) quả cầu trắng, \( 1 \) quả cầu đỏ, \(1\) quả cầu vàng, nên số cách lấy \(3\) quả cầu như thế là \(3 \cdot 4 \cdot 5=60\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{60}{220}=\displaystyle\frac{3}{11}\).
Bài tập 3
Có \( 20 \) tấm thẻ màu xanh, \( 30 \) tấm thẻ màu đỏ. Người ta chọn ra đồng thời \( 18 \) tấm thẻ. Tính xác suất của biến cố \(A \colon \) Trong \( 18 \) tấm thẻ được chọn ra có ít nhất một tấm thẻ màu xanh.
Mỗi cách chọn \( 18 \) tấm thẻ tử \( 50 \) tấm thẻ là một tổ hợp chập \(18\) của \(50 \) phần tử. Vậy không gian mẫu \(\Omega\) có số phần tử là \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{50}^{18}\).
Xét biến cố \(\bar{A}\colon \) Trong 18 tấm thẻ được chọn ra, không có tấm thẻ màu xanh nào là biến cố đối của biến cố \(A\).
Vì không có tấm thẻ màu xanh nào nên \( 18 \) thẻ chọn ra phải có màu đỏ nên số phần tử của biến cố \(\bar{A}\) là \(\mathrm{C}_{30}^{18}\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(\bar{A})=1-\displaystyle\frac{n(\bar{A})}{n(\Omega)}=1-\displaystyle\frac{\mathrm{C}_{30}^{18}}{\mathrm{C}_{50}^{18}}\).
Bài tập 4
Lớp \(10 A\) có \( 16 \) nam và \( 24 \) nữ. Chọn ngẫu nhiên \( 5 \) bạn để phân công trực nhật. Tính xác suất của biến cố \(A\colon \) Trong \( 5 \) bạn được chọn có \( 2 \) bạn nam và \( 3 \) bạn nữ.
Mỗi cách chọn \( 5 \) bạn từ \( 40 \) bạn học sinh là một tổ hợp chập \( 5 \) của \( 40 \) phần tử. Vậy không gian mẫu \(\Omega\) có số phần tử là \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{40}^5=658008\).
Xét biến cố \(A\colon \) Năm bạn được chọn có \( 2 \) bạn nam và \( 3 \) bạn nữ. Số phần tử của biến cố \(A\) là \(\mathrm{C}_{16}^2 \cdot \mathrm{C}_{24}^3=242880\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{242880}{658008}=\displaystyle\frac{10120}{27417}\).
Bài tập 5
Xếp ngẫu nhiên \( 6 \) bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đông, Huy vào một dãy hàng dọc. Tính xác suất của các biển cố sau
\(\bullet\,\) \(A \colon\) Bạn Dũng luôn đứng liền sau bạn Bình.
\(\bullet\,\) \(B\colon \) Bạn Bình và bạn Cường luôn đứng liền nhau.
Xếp 6 bạn theo một hàng dọc có \(6 !=720\) cách nên số phần tử của không gian mẫu \(\Omega\) là \( 720 \).
\(\bullet\,\) Vì bạn Dũng đứng liền sau bạn Bình nên ta có thể coi \( 2 \) bạn đó là \(1\) bạn. Như vậy, chỉ còn xếp chỗ cho \( 4 \) bạn và \( 1 \) bạn Bình - Dũng. Suy ra số cách xếp các vị trí đứng hay số phần tử của biến cố \(A\) là \(5 !=120\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{120}{720}=\displaystyle\frac{1}{6}\).
\(\bullet\,\) Vì bạn Bình và bạn Cường luôn đứng liền nhau nên ta có thể coi \( 2 \) bạn đó là \( 1 \) bạn, tuy nhiên có hai trường hợp là bạn Bình đứng trước hoặc bạn Cường đứng trước.
Như vậy, số cách xểp các vị trí đứng hay số phần tử của biến cố \(B\) là \(2\cdot 5 !=240\).
Vậy xác suất của biến cố \(B\) là \(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{240}{720}=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Bài tập 6
Từ bộ tú lơ khơ có \( 52 \) quân bài thường đang được úp, rút ngẫu nhiên đồng thời \( 4 \) quân bài. Tính xác suất các biến cố sau
\(\bullet\,\) \(A\colon \) Rút được \( 4 \) quân bài cùng một giá trị" (ví dụ \( 4 \) quân \( 3 \), \( 4 \) quân \(K, \ldots\) );
\(\bullet\,\) \( B \colon \) Rút được 4 quân bài có cùng chất.
\(\bullet\,\) \(C\colon \) Trong \( 4 \) quân bài rút được chỉ có \( 2 \) quân Át.
Mỗi cách rút \( 4 \) quân bài từ \( 52 \) quân bài là một tổ hợp chập \( 4 \) của \( 52 \) phần tử nên số phần tử của không gian mẫu \(\Omega\) là \(\mathrm{C}_{52}^4=270725\).
\(\bullet\,\) Trong bộ \( 52 \) quân bài có \( 13 \) nhóm \( 4 \) quân bài cùng một giá trị. Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \( 13 \).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{13}{270725}=\displaystyle\frac{1}{20825}\).
\(\bullet\,\) Có \( 4 \) cách chọn chất của bộ bài. Mỗi chất có \( 13 \) quân bài, vậy mỗi cách chọn \( 4 \) quân bài ở mỗi chất là một tổ hợp chập \( 4 \) của \( 13 \). Suy ra số phần tử của biến cố \(B\) là \(4 C_{13}^4=2860\).
Vậy xác suất của biến cố \(B\) là \(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{2860}{270725}=\displaystyle\frac{44}{4165}\).
\(\bullet\,\) Số quân Át trong bộ bài là \( 4 \). Sau khi chọn 2 quân Át thi 2 quân bài còn lại được chọn từ \( 48 \) quân bài không phải Át. Suy ra số phần tử của biến cố \(C\) là \(\mathrm{C}_4^2 \cdot \mathrm{C}_{48}^2=6768\).
Vậy xác suất của biến cố \(C\) là \(\mathrm{P}(C)=\displaystyle\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{6768}{270725}\).
Bài tập 7
Tại một quán ăn, lúc đầu có \(50\) khách trong đó có \(2x\) đàn ông và \(y\) phụ nữ. Sau một tiếng, \(y-6\) đàn ông ra về và \(2x-5\) khách mới đến là nữ. Chọn ngẫu nhiên một khách. Biết rằng xác suất để chọn được một khách nữ là \(\displaystyle\frac{9}{13}\). Tìm \(x\) và \(y\).
Ta có \(2x+y=50\Rightarrow y=50-2x\).
Sau một tiếng, trong quán có \(50-\left(y-6\right)+2x-5=51+2x-y\) người, trong đó có \(2x-5+y\) là nữ.
Vậy ta có \(\displaystyle\frac{2x-5+y}{51+2x-y}=\displaystyle\frac{9}{13}\) \(\Leftrightarrow 8x+22y=524\Leftrightarrow 4x+11y=262.\)
Suy ra \(4x+11\left(50-2x\right)=262\) \(\Leftrightarrow 18x=288\Leftrightarrow x=16\Rightarrow y=18.\)
Bài tập 8
Một lớp có \(40\) học sinh trong đó có \(16\) nam. Trong các em nam có \(3\) em thuận tay trái. Trong các em nữ có 2 em thuận tay trái. Chọn ngẫu nhiên hai em. Tính xác suất để hai em chọn được có một em nữ không thuận tay trái và một em nam thuận tay trái.
Số phần tử của không gian mẫu là
\(n\left(\Omega\right)=\mathrm{C}_{40}^2=780\).
Gọi \(A\) là biến cố đang xét.
Lớp có \(40-16=24\) nữ, trong đó có \(24-2=22\) em không thuận tay trái.
Trong lớp em có \(3\) em nam thuận tay trái. Do đó \(n(A)=22\cdot 3=66\).
Vậy \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{66}{780}=\displaystyle\frac{11}{130}\).
Bài tập 9
Có ba chiếc hộp trong đó hộp \(I\) có một viên bi đỏ, một viên bi xanh, một viên bi vàng; hộp \(II\) có một viên bi xanh, một viên bi vàng; hộp \(III\) có một viên bi đỏ và một viên bi xanh. Tất cả các viên bi đều có cùng kích thước. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một viên bi.
\(\bullet\,\) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
\(\bullet\,\) Tính xác suất để trong ba viên bi rút ra có ít nhất một viên bi đỏ bằng cách tính gián tiếp thông qua tính xác suất của biến cố đối.
\(\bullet\,\) Kí hiệu Đ, X, V tương ứng là viên bi màu đỏ, xanh, vàng.
Ta có \(\Omega=\left\{\text{ĐXĐ};\,\text{ĐXX};\,\text{ĐVĐ};\,\text{ĐVX};\text{XXĐ};\text{XXX};\right.\) \(\left.\text{XVĐ};\text{XVX};\text{VXĐ};\text{VXX};\text{VVĐ};\text{VVX}\right\}\)
Suy ra \(n\left(\Omega\right)=12\).
\(\bullet\,\) Gọi \(A\) là biến cố đang xét. Biến cố đối của \(A\) là \(\overline{A}\): Trong ba viên bi không có viên bi màu đỏ.
Ta có
\(\overline{A}=\left\{\text{XXX}; \text{XVX}; \text{VXX}; \text{VVX}\right\}\), \(n\left(\overline{A}\right)=4\).
Suy ra \(\mathrm{P}\left(\overline{A}\right)=\displaystyle\frac{4}{12}=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Vậy \(\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}\left(\overline{A}\right)=1-\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}\).
Bài tập 10
Có ba hộp đựng thẻ. Hộp \(I\) chứa các tấm thẻ đánh số \(\left\{ 1;2;3\right\}\). Hộp \(II\) chứa các tấm thẻ đánh số \(\left\{ 2;4;6;8\right\}\). Hộp \(III\) chứa các tấm thẻ đánh số \(\left\{ 1;3;5;7;9;11\right\}\). Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi cộng ba số trên ba tấm thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả là một số lẻ.
Ta có \(\Omega=\left\{\left(a,b,c\right)\right\}\), trong đó \(a\in\left\{ 1;2;3\right\}\), \(b\in\left\{ 2;4;6;8\right\}\), \(c\in\left\{ 1;3;5;7;9;11\right\}\).
Suy ra \(n\left(\Omega\right)=3\cdot 4 \cdot 6=72\).
Gọi \(A=\{\left(a,b,c\right)|a+b+c\;\text{lẻ} \}\) thì
\(A=\left\{\left(2,b,c\right)\right\}\), trong đó \(b\in\left\{ 2;4;6;8\right\},c\in\left\{ 1;3;5;7;9;11\right\}\).
Ta có \(n(A)=1\cdot 4 \cdot 6=24\).
Vậy \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{24}{72}=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Bài tập 11
Trên một dãy phố có ba quán ăn A, B, C. Hai bạn Văn và Hải mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa.
\(\bullet\,\) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
\(\bullet\,\) Tính xác suất của các biến cố sau:
\(E\): Hai người cùng vào một quán;
\(F\): Cả hai không chọn quán C.
\(\bullet\,\) Sơ đồ hình cây như trên.
\(\bullet\,\) Ta có \(\Omega=\left\{\text{AA}; \text{AB}; \text{AC}; \text{BA}; \text{BB}; \text{BC}; \text{CA}; \text{CB}; \text{CC}\right\}\);
\(E=\left\{\text{AA;BB;CC}\right\}\); \(F=\left\{\text{AA}; \text{AB}; \text{BA}; \text{BB}\right\}\).
Vậy \(\mathrm{P}(E)=\displaystyle\frac{3}{9}=\displaystyle\frac{1}{3}\); \(\mathrm{P}(F)=\displaystyle\frac{4}{9}\).
Bài tập 12
Trên một phố có hai quán ăn A, B. Bốn bạn Sơn, Hải, Văn, Đạo mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn.
\(\bullet\,\) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
\(\bullet\,\) Tính xác suất để
+ Tất cả đều vào một quán;
+ Mỗi quán có đúng \(2\) bạn vào;
+ Quán \(A\) có \(3\) bạn vào, quán \(B\) có \(1\) bạn vào;
+ Một quán có \(3\) bạn vào, quán kia có \(1\) bạn vào.
\(\bullet\,\) Sơ đồ hình cây như hình trên.
\(\bullet\,\) Không gian mẫu của phép thử đã cho là \(\Omega\)=\{AAAA; AAAB; AABA; ABAA; ABAB; ABBA; ABBB; BAAA; BAAB; BABA; BABB; BBAA; BBAB; BBBA; BBBB\}.
Suy ra \(n\left(\Omega\right)=16\).
+ Gọi \(E\) là biến cố :
Tất cả đều vào một quán thì ta có \(E=\left\{\text{AAAA}; \text{BBBB}\right\}\).
Suy ra \(n(E)=2\) và do đó \(\mathrm{P}(E)=\displaystyle\frac{2}{16}=\displaystyle\frac{1}{8}\).
+ Gọi \(F\) là biến cố: Mỗi quán có đúng hai bạn vào.
Ta có \(F=\left\{\text{AABB}; \text{ABAB}; \text{ABBA}; \text{BAAB}; \text{BABA;BBAA}\right\}\).
Suy ra \(n(F)=6\).
Do đó \(P(F)=\displaystyle\frac{6}{16}=\displaystyle\frac{3}{8}\).
+ Gọi \(G\) là biến cố : Quán A có ba bạn vào, quán B có một bạn vào.
\(G=\left\{\text{AAAB}; \text{AABA}; \text{ABAA}; \text{BAAA}\right\}\), \(n(G)=4,P(G)=\displaystyle\frac{4}{16}=\displaystyle\frac{1}{4}\).
+ Gọi \(K\) là biến cố: Một quán có ba bạn vào, quán kia có một bạn vào. Ta có \(\mathrm{P}(K)=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Bài tập 13
Một giải bóng đá gồm \( 16 \) đội, trong đó có \( 4 \) đội của nước \(V\). Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành \( 4 \) bảng đầu \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), mỗi bảng đấu có \( 4 \) đội. Tính xác suất của biến cố Bốn đội của nước \(V\) ở \( 4 \) bảng đấu khác nhau.
Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega\) là số cách xếp \( 16 \) đội lần lượt vào \( 4 \) bảng đấu, tức là \(\mathrm{C}_{16}^4 \cdot \mathrm{C}_{12}^4 \cdot \mathrm{C}_8^4\).
Gọi \(E\) là biến cố "Bốn đội của nước \(V\) ở \( 4 \) bảng đấu khác nhau".
Số cách xểp \( 4 \) đội của nước \(V\) vào \( 4 \) bảng đấu là \(4 !=24\).
Số cách xếp \( 12 \) đội còn lại vào \( 4 \) bảng đầu là \(\mathrm{C}_{12}^3 \cdot \mathrm{C}_9^3 \cdot \mathrm{C}_6^3\).
Suy ra số phần tử của biến cố \(E\) là \(24 \cdot \mathrm{C}_{12}^3 \cdot \mathrm{C}_9^3 \cdot \mathrm{C}_6^3\).
Vậy xác suất của biến cố \(E\) là \(\mathrm{P}(E)=\displaystyle\frac{n(E)}{n(\Omega)}\) \(=\displaystyle\frac{24 \cdot \mathrm{C}_{12}^3 \cdot \mathrm{C}_9^3 \cdot \mathrm{C}_6^3}{\mathrm{C}_{16}^4 \cdot \mathrm{C}_{12}^4 \cdot \mathrm{C}_8^4}\) \(=\displaystyle\frac{64}{455}\).